图书在版编目（CIP）数据

简明线性代数/丘维声编著．－北京：北京大学出版社，2002．2

ISBN 7-301-05397-5

（北京高等教育精品教材）

Ⅰ．简…　Ⅱ．丘…　Ⅲ．线性代数-高等学校-教材　Ⅳ．0151．2

中国版本图书馆CIP数据核字（2002）第002317号

书名：简明线性代数

著作责任者：丘维声　编著

责任编辑：刘　勇

标准书号：ISBN 7-301-05397-5/O·0528

出 版 者：北京大学出版社

地　　址：北京市海淀区成府路205号　100871

网　　址：http：//cbs.pku.edu.cn

电　　话：邮购部62752015　发行部62750672　编辑部62752021

电子信箱：zpup@pup.pku.edu.cn

印 刷 者：北京大学印刷厂

排 版 者：北京高新特打字服务社　82350640

发 行 者：北京大学出版社

经 销 者：新华书店

787mm×960mm　16开本　17印张　325千字

2002年2月第1版　2005年9月第4次印刷

印　　数：15101—19100册

定价：22.00元

内容简介

本书2004年被评为“北京高等教育精品教材” . 本书是高等学校数学基础课“线性代数”课程的教材. 全书共分九章. 内容包括：线性方程组，行列式，牕元有序数组的向量空间，矩阵的运算，矩阵的相抵与相似，二次型与矩阵的合同，线性空间，线性映射，欧几里得空间和酉空间. 本书按节配置适量习题，书末附有习题答案与提示，供教师和学生参考.

本书既科学地阐述了线性代数的基本内容，又深入浅出、简明易懂. 本书精选了线性代数的内容，由具体到抽象地安排讲授体系，这使综合大学和师范院校的理科学生能由浅入深地学完全书；同时又使工科大学，经济类高校，以及大专院校学生只要学习本书前六章或前四章就可了解线性代数的概貌，掌握其最基本的内容.

本书在讲授知识的同时，注重培养学生数学的思维方式. 本书内容按照数学的思维方式组织和编写，既使学生容易学到知识，又使学生从中受到数学思维方式的熏陶，把今后肩负的工作做好，使学生终身受益.

本书可作为综合大学、师范院校、工科大学、经济类高校、大专院校以及自学考试的线性代数课程的教材. 教师可根据周学时数选用：周学时4可讲授全书各章；周学时3可讲授前六章；周学时2可讲授前四章.

作者简介

丘维声　北京大学数学系教授、博士生导师，1966年毕业于北京大学数学力学系，长期从事高等代数、线性代数、抽象代数与群表示论的教学工作，科研方向：代数组合论、编码和密码、群表示论，出版著作26部，发表学术论文40篇，发表教学改革论文9篇。1997年获宝钢教育基金会全国优秀教师特等奖，1997年、2001年分别获北京市高等教育教学成果一等奖、二等奖，1999年、2001年获北京大学最受学生爱戴的“十佳教师”，2003年获首届全国高等院校国家级教学名师奖 。

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目录

内容简介

作者简介

前言

第一章 线性方程组

§1 解线性方程组的算法

习题 1.1

§2 线性方程组的解的情况及其判别准则

习题 1.2

§3 数域

习题 1.3

第二章 行列式

§1 n元排列

习题 2.1

§2 n阶行列式的定义

习题 2.2

§3 行列式的性质

习题 2.3

§4 行列式按一行（列）展开

习题 2.4

§5 克莱姆（Cramer）法则

习题 2.5

§6 行列式按k行（列）展开

习题 2.6

第三章 线性方程组的进一步理论

§1 n维向量空间K[n]

习题 3.1

§2 线性相关与线性无关的向量组

习题 3.2

§3 向量组的秩

习题 3.3

§4 矩阵的秩

习题 3.4

§5 线性方程组有解的充分必要条件

习题 3.5

§6 齐次线性方程组的解集的结构

习题 3.6

§7 非齐次线性方程组的解集的结构

习题 3.7

§8 基·维数

习题 3.8

第四章 矩阵的运算

§1 矩阵的运算

习题 4.1

§2 特殊矩阵

习题 4.2

§3 矩阵乘积的秩与行列式

习题 4.3

§4 可逆矩阵

习题 4.4

§5 矩阵的分块

习题 4.5

§6 正交矩阵

习题 4.6

第五章 矩阵的相抵与相似

§1 矩阵的相抵

习题 5.1

§2 矩阵的相似

习题 5.2

§3 矩阵的特征值和特征向量

习题 5.3

§4 矩阵可对角化的条件

习题 5.4

§5 实对称矩阵的对角化

习题 5.5

第六章 二次型·矩阵的合同

§1 二次型和它的标准形

习题 6.1

§2 实二次型的规范形

习题 6.2

§3 正定二次型与正定矩阵

习题 6.3

第七章 线性空间

§1 线性空间的结构

习题 7.1

§2 子空间的交与和·子空间的直和

习题 7.2

§3 线性空间的同构

习题 7.3

第八章 线性映射

§1 线性映射及其运算

习题 8.1

§2 线性映射的矩阵表示

习题 8.2

*§3 约当（Jordan）标准形

习题 8.3

第九章 欧几里得空间和酉空间

§1 欧几里得空间的结构

习题 9.1

§2 正交补·正交投影

习题 9.2

§3 正交变换

习题 9.3

§4 酉空间

习题 9.4

*§5 双线性函数

习题 9.5

习题答案与提示

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前言

随着时代的发展，计算机的普及，线性代数这一数学分支显得越来越重要. 现在几乎所有大专院校的大多数专业都在开设线性代数课程. 如何教好、学好这门课程，关键是要有科学地阐述线性代数的基本内容、简明易懂的教材. 这就是本书的编写目的.

线性代数是研究线性空间和线性映射的理论，它的初等部分是研究线性方程组和矩阵. 本书精选了线性代数的内容，着重阐述其最基本的，应用广泛的那些内容；对于不那么基本，或者应用不那么广泛的内容则略为提及，不展开讲，或者不讲.

由于线性空间和线性映射比较抽象，因此本书先讲线性代数的初等部分：线性方程组和矩阵，以及具体的向量空间Kn （数域K上n元有序数组形成的向量空间）和具体的欧几里得空间Rn ；然后再讲抽象的线性空间和线性映射，以及抽象的欧几里得空间和酉空间. 这样安排教学内容体系，既可以使读者能由浅入深，由具体到抽象地学好线性代数，又可以使课时较少的读者只要学习线性方程组和矩阵，以及具体的向量空间Kn 和具体的欧几里得空间Rn 就能了解线性代数的基本面貌，掌握其最基本的内容.

学好线性代数的关键是理解和掌握它的基本理论，在理论的指导下，通过分析去做习题或解决实际问题. 如果没有理解基本理论，只是死记解题步骤，或者套题型做题，那么不仅容易忘记，连计算题也做不好，更不用说做证明题了. 那么如何让广大读者在不感到困难的情况下掌握线性代数的基本理论呢？作者积20多年在北京大学、中央电视大学等高校讲授高等代数和线性代数课的经验，从学生熟悉的例子引出概念，以线性代数研究对象的内在联系为主线，简明易懂、深入浅出地阐述基本理论，广大学生感到道理讲得清楚，线性代数不难学.

本书还有一个鲜明的特色是，在讲授知识的同时，培养学生具有数学的思维方式. 只有按照数学的思维方式去学习数学，才能学好数学. 而且学会数学的思维方式，有助于他们把今后肩负的工作做好，从而使学生终生受益. 什么是数学的思维方式？观察客观世界的现象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型；进行探索，通过直觉判断或者归纳推理、类比推理作出猜测；然后进行深入分析和逻辑推理，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序. 这就是数学的思维方式. 本书按照数学的思维方式编写每一节的内容，设立了“观察”、“抽象”、“探索”、“分析”、“论证”等小标题，使学生在学习线性代数知识的同时，受到数学思维方式的熏陶，日积月累地培养学生具有数学的思维方式，提高学生的素质.

学好线性代数必须做适量的、好的习题. 本书的每一节都配备了经过精心挑选的习题. 这些习题有助于学生加深理解和掌握线性代数的基本理论，有益于培养学生分析问题和解决问题的能力. 为了使学生能判断自己所做的习题是否做对了，本书书末附有习题答案与提示. 为了帮助学生掌握线性代数的基本理论和基本解题方法，提高解题能力；学会如何在理论的指导下分析问题和解决问题，学会用线性代数的知识去解决实际问题，我们还编写了《线性代数解题指南》一书，与本教材配套出版.

本书可作为综合大学、理工科大学、师范院校和其他大专院校以及自学考试的线性代数课程的教材. 如果周学时为4，可讲授全书各章；如果周学时为3，可讲授第一章至第六章；如果周学时为2，可讲授第一章至第四章. 书中打“*”号的内容和习题不作为教学要求.

各章的参考教学时数为：第一章5学时，第二章9学时，第三章12学时，第四章11学时，第五章7学时，第六章6学时，第七章6学时，第八章6学时，第九章6学时.

作者感谢本书的责任编辑刘勇同志，他为本书的编辑出版付出了辛勤的劳动.

作者热忱欢迎广大读者对本教材提出宝贵意见.

丘维声

于北京大学数学科学学院

2001年12月

第一章　线性方程组

【答案链接】

思考

某食品厂收到了某种食品2000 kg的订单，要求这种食品含脂肪5%，碳水化合物12%，蛋白质15%. 该厂准备用5种原料配制这种食品，其中每一种原料含脂肪、碳水化合物、蛋白质的百分比如下表所示（省写了“%”）.

用上述5种原料能不能配制出2000 kg的这种食品？如果可以，那么有多少种配方？

分析

设所需要的原料（单位：kg）A_1 ，A_2 ，A_3 ，A_4 ，A_5 分别为x_1 ，x_2 ，x_3 ，x_4 ，x_5 ，则根据题意得

如果这个方程组有解，并且x_1 ，x_2 ，x_3 ，x_4 ，x_5 取的值都是正数，那么用这5种原料可以配制出2000 kg的这种食品. 此时，方程组（1）的满足xi >0（i=1，2，3，4，5）的解的个数就是配方的个数.

抽象

上述方程组（1）的每个方程中，左端都是未知量x_1 ，x_2 ，x_3 ，x_4 ，x_5 的一次齐次式，右端是常数，像这样的方程组称为线性方程组 . 每个未知量前面的数称为系数 ，右端的项称为常数项 .

日常生活或生产实际中经常需要求一些量，用未知数x_1 ，x_2 ，…表示这些量，根据问题的实际情况列出方程组，有许多是线性方程组. 数学的各个分支以及自然科学、工程技术中，有不少问题可以归结为线性方程组的问题. 因此我们抽象出线性方程组这一数学模型，深入地研究它.

含n个未知量的线性方程组称为n元线性方程组 ，它的一般形式是

其中a_11 ，a_12 ，…，asn 是系数，b_1 ，b_2 ，…，bs 是常数项，常数项一般写在等号的右边. 方程的个数s与未知量的个数n可以相等，也可以s<n或s>n.

对于线性方程组（2），如果x_1 ，x_2 ，…，xn 分别用数c_1 ，c_2 ，…，cn 代入后，每个方程都变成恒等式，那么称n元有序数组（c_1 ，c_2 ，…，cn ）是线性方程组（2）的一个解 . 方程组（2）的所有解组成的集合称为这个方程组的解集 .

从上述配制食品的问题看出，需要研究线性方程组的下列几个问题：

1. 线性方程组是否一定有解？有解时，有多少个解？

2. 如何求线性方程组的解？

3. 线性方程组有解时，它的每一个解是否都符合实际问题的需要？（符合实际问题需要的解称为可行解 .）

4. 线性方程组的解不止一个时，这些解之间有什么关系？

这一章和第二、三章都是围绕这些问题展开讨论.

§1　解线性方程组的算法

思考

例1 　求解线性方程组

分析

如果我们能设法消去未知量x_1 ，x_2 ，剩下一个含x_3 的一元一次方程，那么就能求出x_3 的值. 进而得到含x_1 ，x_2 的方程组. 类似地，可以求出x_2 ，x_1 的值. 所谓消去未知量x_1 ，就是使x_1 的系数变成0. 为了使线性方程组的求解方法能适用于未知量很多的方程组，用计算机编程序去计算，我们应当使解法有规律可循. 今后我们用记号②+①·（-3）表示把方程组的第1个方程的（-3）倍加到第2个方程上；用记号（②，④）表示把方程组的第2、第4个方程互换位置；用记号③· 乘第③个方程.

示范

例2 　求线性方程组（1）的解.

解

因此，（3，-1，2）是线性方程组（1）的惟一的一个解.

评注

［1］从例2的求解过程看出，我们对线性方程组作了三种变换：

Ⅰ. 把一个方程的倍数加到另一个方程上；

Ⅱ. 互换两个方程的位置；

Ⅲ. 用一个非零数乘某一个方程.

这三种变换称为线性方程组的初等变换 .

［2］在例2中，施行初等变换把线性方程组（1）先变成了方程组（2），像（2）这样的方程组称为阶梯形方程组 . 对于阶梯形方程组（2）进一步施行初等变换，变成了方程组（3）. 像（3）这样的方程组称为简化阶梯形方程组 ，从它立即看出解是（3，-1，2）.

［3］不难看出，线性方程组经过初等变换Ⅰ，得到的方程组的解集与原方程组的解集相等，此时称这两个方程组同解 . 同样容易看出，初等变换Ⅱ（或Ⅲ）把线性方程组变成与它同解的方程组. 因此，经过一系列初等变换变成的简化阶梯形方程组与原线性方程组同解 . 从而，例1中线性方程组（1）有惟一的一个解：（3，-1，2）.

观察

例2的求解过程中，所有的计算都是对方程组的哪些对象做的？

分析

例2的求解过程中，只是对线性方程组的系数和常数项进行了运算. 因此，为了书写简便，对于一个线性方程组可以只写出它的系数和常数项，并且把它们按照原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵 . 而只列出系数的表称为方程组的系数矩阵 . 例如，线性方程组（1）的增广矩阵和系数矩阵依次是：

抽象

线性方程组可以用由它的系数和常数项排成的一张表来表示. 本章开头讲的配制食品的例子，5种原料所含的脂肪、碳水化合物、蛋白质的百分比也可以用一张表来直观清晰地显示. 许许多多的实际问题，各种各样的数学研究对象都常常可以用一张表来表示. 因此我们有必要建立一个数学模型来统一深入地研究这种表.

定义1 　由s·m个数排成s行、m列的一张表称为一个s×m矩阵 ，其中的每一个数称为这个矩阵的一个元素 ，第i行与第j列交叉位置的元素称为矩阵的（i，j）元 .

例如，线性方程组（1）的增广矩阵的（2，4）元是9，（4，2）元是7.

矩阵通常用大写英文字母A，B，C，…表示. 一个s×m矩阵可以简单地记作As×m ，它的（i，j）元记作A（i；j）. 如果矩阵A的（i，j）元是aij ，那么可以记作A=（aij ）.

元素全为0的矩阵称为零矩阵 ，简记作0. s行m列的零矩阵可以记成0s×m .

如果一个矩阵A的行数与列数相等，则称它为方阵 . m行m列的方阵也称为m级矩阵 .

本章和第二、三章只围绕线性方程组来研究矩阵，第四、五、六章再深入地研究矩阵的运算和其他性质.

利用线性方程组的增广矩阵，我们可以把例2中的求解过程按照下述格式来写.

示范

例3 　求线性方程组（1）的解.

解

以最后一个矩阵为增广矩阵的方程组是

因此，原线性方程组有惟一解：（3，-1，2）.

评注

［1］从上述求解过程看出，我们对线性方程组的增广矩阵施行了三种变换：

Ⅰ. 把一行的倍数加到另一行上；

Ⅱ. 互换两行的位置；

Ⅲ. 用一个非零数乘某一行.

这三种变换称为矩阵的初等行变换 .

［2］在例3的求解过程中，先把增广矩阵经过初等行变换化成了下述矩阵

像这种矩阵称为阶梯形矩阵 . 它的特点是：

（1）元素全为0的行（称为零行 ）在下方（如果有零行的话）；

（2）元素不全为0的行（称为非零行 ），从左边数起第一个不为0的元素（称为主元 ），它们的列指标随着行指标的递增而严格增大.

在例3的求解过程中，我们对阶梯形矩阵继续施行初等行变换，直至化成下述矩阵

像这种矩阵称为简化行阶梯形矩阵 ，它的特点是：

（1）它是阶梯形矩阵；

（2）每个非零行的主元都是1；

（3）每个主元所在的列的其余元素都是0.

［3］在解线性方程组时，把它的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，写出相应的阶梯形方程组，进行求解；或者一直化成简化行阶梯形矩阵，写出它表示的简化阶梯形方程组，从而立即得出解.

［4］可以证明：任何一个矩阵都能经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵，并且能进一步用初等行变换化成简化行阶梯形矩阵. 证明的思路从例3的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵的过程可以看出，然后用数学归纳法写出证明.

示范

例4 　解线性方程组

写出最后这个阶梯形矩阵表示的线性方程组：

x_1 ，x_2 ，x_3 无论取什么值都不能满足第3个方程：0=-2，因此，原线性方程组无解.

例5 　解线性方程组

最后这个简化行阶梯形矩阵表示的线性方程组是

从第1个方程看出，对于x_2 每取一个值c_2 ，可以求得x_1 =c_2 +2，从而得到原方程组的一个解：（c_2 +2，c_2 ，-1）. 由于c_2 可以取任意一个数，因此原方程组有无穷多个解. 我们可以用下述表达式来表示这无穷多个解：

这个表达式称为原线性方程组的一般解 ，其中以主元为系数的未知量x_1 ，x_3 称为主变量 ，而其余未知量x_2 称为自由未知量 . 一般解就是用含自由未知量的式子表示主变量.

观察

从例3、例4、例5的求解过程，你能找出判别线性方程组有没有解的方法吗？方程组有解时，例3的方程组有惟一解，例5的方程组有无穷多个解，你能从它们的增广矩阵化成的阶梯形矩阵找出它们的不同之处吗？

评注

［1］从例4看出，把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，如果相应的阶梯形方程组出现“0=d（其中d是非零数）”这样的方程，则原方程组无解. 从例3和例5，我们猜想：如果相应的阶梯形方程组不出现“0=d（其中d≠0）”这种方程，则原方程组有解. 下一节将证明这个猜想是正确的.

［2］例3的阶梯形矩阵的非零行个数为3，与未知量个数相等. 例5的阶梯形矩阵的非零行个数为2，小于未知量的个数. 由此猜想：在线性方程组有解的情况下，它的增广矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，如果非零行的个数等于方程组的未知量个数，则原方程组有惟一解；如果非零行的个数小于未知量的个数，则原方程组有无穷多个解. 在下一节将证明这个猜想也是正确的.

［3］线性方程组有解时，把阶梯形矩阵经过初等行变换进一步化成简化行阶梯形矩阵，则可以立即写出原方程组的惟一解或者无穷多个解.

小结

解线性方程组的方法如下：

上述解线性方程组的方法称为高斯（Gauss）-约当（Jordan）算法 .

习题　1.1

1. 解下列线性方程组：

2. 一个投资者想把1万元投入给3个企业A_1 ，A_2 ，A_3 ，所得的利润率分别是12%，15%，22%. 他想得到2000元的利润.

（1）如果投入给A_2 的钱是投给A_1 的2倍，那么应当分别给A_1 ，A_2 ，A_3 投资多少？

（2）可不可以投给A_3 的钱等于投给A_1 与A_2 的钱的和？

3. 解线性方程组：

§2　线性方程组的解的情况及其判别准则

回顾

上一节的例3，例4，例5的线性方程组分别有惟一解，无解，有无穷多个解. 例4的阶梯形方程组出现0=-2这个方程，从而无解. 例3和例5的阶梯形方程组没有出现“0=d（其中d是非零数）”这种方程，它们分别有惟一解和无穷多个解. 这启发我们猜想线性方程组的解只有三种可能：无解，有惟一解，有无穷多个解，而且猜想阶梯形方程组是否出现“0=d（其中d≠0）”这种方程，是线性方程组无解还是有解的判别准则.

上一节的例3和例5的线性方程组都有解，但前者有惟一解，后者有无穷多个解. 从它们的增广矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵的不同之处，我们猜想：在有解的情况下，当阶梯形矩阵的非零行个数r等于未知量个数n时，有惟一解；而当r<n时，有无穷多个解.

上述猜想正确吗？

论证

由于线性方程组与对它进行初等变换得到的阶梯形方程组同解，因此我们只要讨论阶梯形方程组的解有几种可能及其判别准则. 设阶梯形方程组有n个未知量.

情形1 　阶梯形方程组中出现“0=d（其中d≠0）”这种方程. 由于这种方程无解，从而阶梯形方程组无解.

情形2 　阶梯形方程组中不出现“0=d（其中d≠0）”这种方程. 我们设阶梯形方程组的增广矩阵中，非零行的个数为r，则主元个数为r.

情形2.1 　r=n. 此时n个未知量都是主变量. 由于n个主元应分布在不同的列，因此阶梯形方程组一定是下述形式：

其中c_11 ，c_22 ，…，cnn 都不为零. 对于（1）的增广矩阵施行初等行变换化成的简化行阶梯矩阵一定形如

从而阶梯形方程组有惟一解：

情形2.2 　r<n. 此时阶梯形方程组形如

其中 都不为0. 这时 是主变量，其余n-r个未知量是自由未知量. 任意给n-r个自由未知量一组值，则方程组（3）的第r个方程变成 的一元一次方程，可解出 ；将 的值代入前r-1个方程中，从第r-1个方程可解出 ；依次往上代入，可解出 . 从而得到方程组的一个解. 由于这n-r个自由未知量可以取无穷多组值，因此方程组（3）有无穷多个解. 这无穷多个解可以用一般解表示：

其中xk ，…，xl 是自由未知量.

情形2.3 　r>n. n元阶梯形方程组的增广矩阵共有n+1列，由于r个主元应当分布在不同的列，因此r≤n+1. 于是r=n+1. 这时有n+1个主元，分别位于第1，2，…，n+1列. 于是第n+1行的主元cn+1 位于第n+1列. 从而第n+1个方程为0=cn+1 ，这与情形2的已知条件矛盾. 因此r>n是不可能的.

综上述，我们得到下面的结论：

定理1 　n元线性方程组的解的情况只有三种可能：无解，有惟一解，有无穷多个解. 把n元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，如果相应的阶梯形方程组出现“0=d（其中d是非零数）”这样的方程，则原方程组无解；否则，有解. 当有解时，如果阶梯形矩阵的非零行个数r等于未知量个数n，则原方程组有惟一解；如果非零行个数r<n，则原方程组有无穷多个解.

如果一个线性方程组有解，则称它是相容的 ；否则，称它是不相容的 .

示范

例1 　a为何值时，线性方程组

有解？当有解时，求出它的所有解.

解

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