音乐是怎样算成的

[以]阿里·马奥尔　著

张岭　译

版权信息

书名：音乐是怎样算成的

作者：[以]阿里·马奥尔

译者：张岭

版权：后浪出版咨询（北京）有限责任公司

谨以此书纪念我的外祖父卡尔·施蒂费尔（Karl Stiefel，1881—1947），正是他培养了我对科学和音乐的热爱。

前 言

伟大的作曲家伊戈尔·斯特拉文斯基（Igor Stravinsky）曾经说过：“音乐这种形式和数学较为接近——也许不是和数学本身相关，但肯定与数学思维和关系式有关。”的确，许多作家对数学与音乐之间的密切关系都曾加以评论。他们指出，很多科学家都喜欢聆听音乐，甚至亲自演奏乐器；每论及此，阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）和他那把标志性的小提琴就会浮现在我们的脑海中。除此之外，类似的例子不胜枚举。

这一说法可能是正确的，但是在过去，这两个领域之间的关系从未真正保持对称。例如，数学和音乐都采用某种行之有效的符号系统——一组书面符号（尽管音乐领域还有许多口头术语，更多地用于标识演奏时的情感），业内人士均能精确地领悟和把握。另外让人感兴趣的是，尽管数学领域由于新的分支不断涌现，其所采用的符号系统时至今日仍在不断发展，但这两套系统大致在相同的时间，即公元1 000年左右，开始起步。

数学和音乐也共享不少术语。以“调和”（harmonic）一词为例，它作为形容词时，意思是“悦耳的”；如果作为名词，指的则是所有乐器合奏时所形成的一系列高亢的泛音。如今，这个词在数学和音乐领域都得到广泛运用；两卷本的《百科全书数学词典》(Encyclopedic Dictionary of Mathematics)至少列出了20多个该词汇的用法，包括“调和平均数”（harmonic mean）、“调和级数”（harmonic series）、“调和分析”（harmonic analysis），以及“调和函数”（harmonic function）。其他通用的术语还包括“转位/逆”［inversion，音乐的音程（interval）的转位/相对于圆的某个点的逆点］、“根音/根”（root，音乐和弦的根音/数字或者方程的根）、“进行/数列”（progression，音符的进行/数字的数列）、“音列/序列”［series，在音乐领域，阿诺德·勋伯格（Arnold Schoenberg，1874—1951）的十二音谱曲法用到了“音列”的概念；在数学中，求无限项的总和时则会用到“序列”的概念］。

过去的250年间，音乐一直是数学家的灵感源泉，他们在这眼泉水里总能找到非常特别的问题，让自己的头脑保持工作状态。其中，最著名的可能就是“振动弦”（vibrating string）的问题。18世纪，这个问题成为某些最伟大的数学家之间相互对垒的议题，而与此相关的争论持续了50多年，最终导致了后微积分时代的数学发展。对于两个正数a和b，其算术平均值（arithmetic means）、几何平均值（geometric means）和调和平均数（harmonic means）分别为A=、G=和H=，这三种公式极有可能源自八度的2:1、五度的3:2和四度的4:3这三个比例，它们均为毕达哥拉斯的“完全协和”（perfect consonances）音程——正如形容词“悦耳的”所蕴含的意味。作为数论的一个分支，处理连分数的理论可能就源于探求音阶（scale）中各种音程的最佳数值比的过程。

但是，数学是否对音乐也产生了同样的影响呢？显而易见，数学对音乐的技术层面有更多的发言权，例如对乐器的音调，或者如何设计音乐厅使其实现最完美的声响效果等。然而，对作为艺术的音乐而言，除了一些特例，数学产生的影响相当有限；这两个学科都各自遵循着自身的发展规律。这种认为两者相互独立的典型观点，可以参考莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）关于音乐理论的诸多论述（参见第四章），尽管有人指出，“对音乐家来说，它包含的几何知识过于庞杂，而在几何学家看来，它囊括的音乐知识又太过繁复”。

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我在一个热爱欧洲文化——文学、艺术和音乐的家庭中长大。我的父母都没有受过音乐训练，但是，我的母亲是一位艺术家，她非常热爱莫扎特；每当她坐在桌旁，描绘那些美丽的花朵时，她总会把收音机调到古典音乐频道。因此，莫扎特和他的音乐，以及母亲告诉我的关于他的许多故事，都成为我童年生活的一部分。有一天，她带我去看一部讲述莫扎特生平的电影。那时，距离彼得·谢弗（Peter Shaffer）虚构的《阿马德乌斯》(Amadeus)①成为头条新闻，还有几十年的时间。我记得，当看到莫扎特处于弥留之际，仍在病榻上向他的弟子苏斯迈尔（Süssmayr）口授那部未完成的《安魂曲》(Requiem)时，我不禁为他人生中的这最后一幕潸然泪下。

但是，使我对科学和音乐保持终生热爱的实际上是我的外祖父。1938年，由于纳粹的严酷统治，犹太人的生活难以为继，他和我的外祖母离开德国，前往以色列（接着又到了巴勒斯坦）。我有一张他的照片（参见写有献辞的那一页），［1］当时我大约五岁，照片中他正为我演奏小提琴。在这张由我母亲拍摄的照片背面，她写上了那首外祖父为我演奏的歌曲的名字——《可爱的月亮，你走得如此安详》(Guter Mond, du gehst so stille)，这是一首传统的德国摇篮曲。［2］那成为我人生中的第一场现场演出，时至今日，往昔的情景依旧历历在目。直到有一天，外祖父告诉我说他必须和小提琴说再见了——他迫切地需要钱。顷刻，我泪流满面。［3］

另外，我还有一本外祖父在中学（高中）学习时用过的物理书。这本书于1897年出版，附有数百幅精美的插图；更重要的是，它报道了物理学的最新进展，包括X射线［当时被称为“伦琴射线”（Röntgen rays）］的发现及其对医学的潜在益处。他肯定非常认真地研读过这本书，因为几乎每一页都有他手写的注释。我们会一起坐上好几个小时，他向我解释各种各样的东西，这是我接受的最早的科学启蒙。我至今还保存着这本书，并视若珍宝（参见图P.1）。

图P.1 《物理学基础》(Grundrifs der Physik)的扉页和首页

注： D. K. 森普斯（D. K. Sumpfs）著［德国希尔德斯海姆（Hildesheim），1897］。

20世纪40年代，战争的阴云笼罩着世界，但我的父母仍偶尔在位于特拉维夫的家中播放古典音乐来款待客人。他们用一个机械转盘，也就是留声机，来播放黑胶唱片，录音规格为78转/分。我是多么喜欢这些时光啊！留声机必须使用一个较大的曲柄，也就是通常所说的“曼努埃拉”（manuela），需要用手将它摇上一阵，才能让留声机转上大约10分钟，这点时间刚好够播完唱片的两个面。如果你没有及时上足发条，转盘就会慢下来，而音乐的节奏随之减缓，音高降低。一首时长40分钟的贝多芬的交响曲需要五六张此类唱片，它们一般被存放在一本看上去像老式相册（album）的夹子里（现在常用来指代歌曲专辑的“album”一词可能就来源于这种老式唱片册）。每本唱片册都像上千页的微积分教科书那么重！切记，切记！千万不要让哪张唱片从夹子里滑出来，它会在地板上跌成碎片。但是，播放唱片时，唱针才是最需要关注的。每播放十几个小时，就应该更换一下唱针，否则它会变钝，并损伤唱片的音槽。唱针由铬制成，而在战争期间，铬的供应受到严格限制。不过好在很快，替代品——木制唱针就出现了！不消说（此处不含有任何双关意义），木制唱针播放出来的声音异常沙哑，但正是这种声音带给我古典音乐的启蒙。

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“每个聪明的音乐家都应该熟悉他的艺术背后所隐含的物理定律。”克拉伦斯·G. 汉密尔顿（Clarence G. Hamilton）在他那本于1912年出版的迷人小册子《声音及其与音乐的关系》(Sound and Its Relation to Music)中写道。如果我们能暂时忽略他那些言论中略微夸大其词的成分（注意，尽管他说出的那句话只针对男性音乐家，但也的确符合当时的社会规范），事实也的确如此，仅有很少的古典作曲家在他们的职业生涯中曾与数学或物理打过交道。在这为数不多的人中，有两个名字脱颖而出：一位是让—菲利普·拉莫（Jean-Philippe Rameau，1683—1764），他写了一篇流传颇广的关于声学的论文；另一位是朱塞佩·塔蒂尼（Giuseppe Tartini，1692—1770），此人发现了如今所谓的混合音（combination tones，参见第五章）。在我们的时代也出现了某些改变，几位作曲家将他们的音乐建立在数学定律之上，都取得了不同程度的成功。他们中的佼佼者就是勋伯格，他的系列作品会在第九、十章中被详细介绍。此外，我还要提到伊阿尼斯·泽纳基斯（Iannis Xenakis，1922—2001）和卡尔海因茨·施托克豪森（Karlheinz Stockhausen 1928—2007）。前者在改行做音乐前，曾接受土木工程师和建筑师的专业训练，他在自己的音乐作品中用到了随机理论（stochastic principles）；整体看来，他的曲谱充斥着扭曲的图形和线条，而不是那种传统乐谱里的音符和五线谱。在最初的一段时间里，他们的作品受到了富有先锋主义精神的听众的热烈欢迎。但是，这些作品能否被古典音乐的主流接纳，尚待观察。

数学和音乐，这两个领域拥有如此多的相似之处，但彼此之间又保持着一定的距离。本书所讲的，正是关于这种相互关系的故事。这绝不是一本想对此做全面历史回顾的书，也不是一本关于音乐的数学物理教程，这类教材已经有很多优秀的代表。相反，我想做的只是从历史的角度来审视一下音乐和数学之间的亲密关系，着眼于那些真实发生过的事情，以及故事背后的人物——那些科学家、发明家、作曲家，以及偶尔出现的怪人。尽管在某些事情上，一些读者可能会提出反对意见，但是，我并不因此而羞于表达自己的观点，例如通常与音乐声调的设定相关的情感属性。在我看来，它们有些被过度夸大了。本书适合那些对数学、音乐和科学感兴趣的普通读者，书中没有任何超出高中代数和三角学的数学要求。但是，如果读者具备音乐符号的基本知识的话，会比较有助于阅读。

然而，最后需要指出，所有将数学与音乐联系在一起的尝试，实质上都是受到限制的，因为这两个领域的目标相互矛盾：数学，以及更广泛意义上的科学，其目标是激发我们的智慧和以客观、逻辑的方式分析抽象模式及关系的能力；而音乐，则致力于触摸我们的心灵，唤醒我们对声音、节奏、时间和听觉模式的情感反应。在这里，让我们借用亚利桑那州凤凰城乐器博物馆（Musical Instrument Museum，简称MIM）的一句迎客辞：“音乐是灵魂的语言（Music is the language of the soul）。”

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任何像这样的有关跨学科主题的讨论，都难免会涉及几个相邻的领域。不言而喻，物理定律无论是在音乐领域，还是在天文领域都发挥着作用——从毕达哥拉斯信奉行星的轨道是由音乐般和谐的定律控制，一直到19世纪晚期，人们发现行星及其卫星的运行轨道间存在共振现象，并且这种共振通常具有常用的音乐音程比例（参见第十二章）。我们或许还要提及人们最近在星系之间的广袤空间中所检测到的声波，它们具有特定的波长和音高（参见附录C），这也许反映了像古老寓言一样的《宇宙音乐》(Music of the Spheres)的轮回。

无论如何，在数学和物理科学之间，甚至推广到数学和人文科学之间，我们今天所划出的森严界限并非前人的普遍做法。事实上，直至19世纪初期，经典科学领域的大部分伟大人物都认为自己既是数学家，又是哲学家、物理学家和自然科学家。他们在诸多学科中游刃有余，且一致认为这些学科有助于理解大自然的运行方式。在这份入选的学科名单中，自然也包括音乐。

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关于参考书目的说明：为了避免重复，文本中提及并出现在参考书目中的书籍仅有作者的姓名和书名。我几乎不需要特别说明，所有与音乐有关的术语，以及诸多作曲家的生平等内容，在巨细无遗的29卷本《新格罗夫音乐和音乐家词典》(The New Grove Dictionary of Music and Musicians)［该书于2001年由麦克米伦公司（Macmillan）出版，可以通过www.oxfordmusiconline.com在线查阅］中都有详细记录。在苏格兰的圣·安德鲁斯大学的数学与统计学院（School of Mathematical and Computational Sciences, University of St Andrews）的网站（www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/ HistoryTopics.html）上，可以找到许多数学家的优秀传记。

在此，我非常感谢我的朋友和同事们，包括戴维·安德烈·阿纳蒂（David Andrea Anati）、威尔伯·霍普（Wilbur Hoppe）、罗伯特·兰格（Robert Langer）和迈克尔·斯特林（Michael Sterling），我们就数学和音乐方面的问题进行过许多讨论，都让我受益匪浅。我还要感谢匿名审稿人，正是他们阅读了手稿，给我提出了有益的评论和建议。我要大大地拥抱一下维基·卡恩（Vickie Kearn），这位我充分信任的编辑在普林斯顿大学出版社工作了近20年，感谢她在本书编写过程中的各个阶段都给予了宝贵的建议和指导。我还要衷心感谢普林斯顿大学出版社的工作人员，他们在出版本书的各个环节中均不懈地努力。特别地，我要感谢黛比·特加登（Debbie Tegarden），她监督了本书的整个出版过程，并在选择众多插图的过程中提供了巨大的帮助；感谢劳伦·布卡（Lauren Bucca）主动帮助获取了许多使用这些插图所需的权限；感谢克里斯·费兰特（Chris Ferrante）提供原版的文字和护封的设计；还要感谢迪米特里·卡列特尼科夫（Dimitri Karetnikov）、梅根·卡纳贝（Meghan Kanabay）、伊丽莎白·布拉泽耶夫斯基（Elizabeth Blazejewski）和雅基·普瓦里耶（Jacquie Poirier）的协同配合，完成了原版图片、数字文档和文字的排版工作。我还要感谢卡罗勒·施瓦格尔（Carole Schwager）对手稿进行复制编辑，以及乔迪·贝德（Jodi Beder）帮助抄写第十章中勋伯格的音列音乐。为了让文中的插图具有最好的效果，我的孙子理查德·马奥尔（Richard Maor）也提供了非常大的帮助，对此我非常感谢。最后，同样非常重要的是，我要对我亲爱的妻子达利亚（Dalia）致以最热诚的谢意。在本书的成书过程中，她一直鼓励着我，并在本书付梓之前进行了细致的校对。如果没有她，这本书将永远不会见到光明。谢谢大家！

注释

［1］  感谢我的妹妹舒拉米特·内桑森（Shulamit Nathansohn），我们从父母那里继承了数百张照片，是她从中找到了这张照片。

［2］  感谢互联网使我得以再次发现那首歌，其时距离外祖父为我演奏已经过去了整整75年。你可以在https://www.youtube.com/watch?v= 7C_yFytWKlU听到朱利·安尼尔演唱的版本。

［3］  我还保存着外祖父的音叉（tuniy fork，参见第七章），那是他用来给小提琴调音的。在一根叉上刻有字母“A”；虽然生锈了，它仍然会产生音符A（La），频率为准确无误的440赫兹（Hz，即每秒的旋转次数）。

①  又译《莫扎特之死》《上帝的宠儿》等，是“二战”后英国当代著名剧作家彼得·谢弗的代表作之一。不仅话剧版在英国国家剧院和美国百老汇票房大卖，电影版还获得第57届奥斯卡最佳改编剧本等八项大奖。——译者注

目录

1. 前 言

2. 第一章 序言：危机四伏的世界

3. 第二章 弦的理论，公元前500年

4. 编外篇A 此处仅谈及术语

5. 第三章 启蒙运动

6. 第四章 与弦有关的伟大论战，1730—1780

7. 编外篇B 机灵鬼

8. 第五章 最珍贵的礼物

9. 第六章 音律学

10. 编外篇C 值得记录的音乐

11. 第七章 音乐小工具：音叉和节拍器

12. 第八章 节奏、节拍和度量

13. 第九章 参照系：我在哪儿

14. 编外篇D 音乐结构体系

15. 第十章 相对论的音乐

16. 第十一章 余 波

17. 编外篇E 贝尔努利

18. 第十二章 最后的毕达哥拉斯主义者

第一章

序言：危机四伏的世界

1900年12月31日午夜时分，19世纪变成了20世纪，此刻，整个世界陷入一团混乱之中。维多利亚女王（Queen Victoria）作为当时大英帝国历史上在位时间最长的君主，还有22天就将告别人世。进入新世纪仅仅9个月后，威廉·麦金莱（William McKinley）总统遇刺身亡，西奥多·罗斯福（Theodore Roosevelt）继任。布尔人①与英国人之间的布尔战争（Boer War）进入第二个年头，战火还将持续到下一年，而温斯顿·丘吉尔（Winston Churchill）借此第一次踏上了世界舞台。在远东地区，菲律宾人在反抗美国的统治，中国也刚刚出现了反抗帝国主义的义和团运动。

在氛围相对更为温和的知识界，同样有震惊世人的事件发生：1900年见证了西格蒙德·弗洛伊德（Sigmund Freud）第一部影响深远的著作——《梦的解析》(The Interpretation of Dreams)的面世，以及古斯塔夫·马勒（Gustav Mahler）的《第一交响曲》(First Symphony)，即《泰坦》(Titan)，在维也纳的首演，乐队指挥由作曲家本人担任。 巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）进入了他的“蓝色时期”②，马克斯·普朗克（Max Planck）则将一个崭新的概念——能量量子（Quantum of Energy）——引入物理学领域，随即引爆了整个自然科学的革命。或许所有这些还不够热闹，达维德·希尔伯特（David Hilbert）也加入进来。1900年，在巴黎的第二届国际数学家大会（Second International Congress of Mathematicians）上，这位世纪之交德国最负盛名的数学家发起了一场挑战，发布了23道尚未找到答案的数学问题。在他看来，这些问题将对数学的未来发展起到至关重要的作用。事实证明，此言不虚。

在普朗克将量子概念引入物理学领域后的第五年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了狭义相对论（Special Theory of Relativity）；自从伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）提出他的那些发现之后的三个世纪以来，经典物理学一直统治着科学领域，然而，两种崭新的理论共同宣告了经典物理学的终结。但是，从旧世界到新世界的过渡并非一帆风顺；相反，这一改变让物理界直面最深重的危机。自从16世纪与17世纪尼古拉·哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473—1543）、约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）和伽利略推翻了古希腊对宇宙的旧有描述以来，这还从未发生过。

在这一系列意义非凡的事件中，19世纪最后几年发生的物理危机并非个案。与此相对应地，在人类思想的另一个领域，即古典音乐界，也出现了一场深重的危机。令人困惑的是，这两场危机都围绕着相同的主题：物理世界和音乐世界该如何选择合适的参照系。鉴于这种同步发展将为本书之后的章节提供相关的背景，在此，我会详细讲述一下导致这些危机发生的具体事件。

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艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在他不朽的巨作《原理》(The Principia，1687）一书中，创建了动力学的基础理论。此后的218年，科学家们都以此为基础开展工作。在牛顿描绘的力学世界中，万事万物均在引力的控制下处于永恒的运动状态，这样的一个世界即所谓的“发条世界”（clockwork universe）。任何物理现象——从原子的状态到天体的运行——均由一套精确又严谨的法则决定，具体而言，就是牛顿的三大运动定律以及万有引力定律。后来，人们又用整套微分方程来表征这些公式，至少在理论上，只要知道了系统在某个时间点（通常设定为t = 0时）的初始状态——系统的各组成部分的位置和速度，就可以得到这些方程的解。如果推算到极限状态，我们就能将这套力学理论应用于整个宇宙：只要知道了宇宙初始时每个原子的位置和速度，就一定能确定宇宙的未来状态。牛顿于1727年逝世，在之后长达两个多世纪的时间里，这种受到法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（Pierre-Simon, marquis de Laplace）大力支持的观点，一直都是科学界的主导思想。

在牛顿构建的宏大体系中，隐藏着一个因为被视为理所当然而很少有人仔细考量的假设：存在一个宇宙参照系，宇宙间所有粒子的位置和速度在这套无形的坐标系里都可以衡量。在实际运用中，星体在天穹中的位置通常被视作亘古不变的［尽管在1718年，埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）指出这些恒星也有自己的运动特征，因而并非固定不变］，人们利用这些星体作为宇宙的参照系。这些位置固定的恒星被认为属于我们的星系，即银河系，从而令银河系被赋予了参照系的作用。它就像一副稳如磐石的锚，其他任何东西都能以此进行参照。

这一假设并非没有漏洞，偶尔会有挑剔的眼睛发现其中的问题，特别是牛顿本人对此就不是很满意。早在半个世纪以前，伽利略就认识到，运动，究其本质而言是相对的。他举例说明，两艘船在远离陆地且风平浪静的水面上航行，任何一艘船上的乘客都无法判断，自己所乘的船和另一艘究竟哪一艘静止不动，哪一艘正在航行。这就是人们熟知的“伽利略的相对性原理”（Galilean Principle of Relativity）。牛顿对伽利略的这项成果非常了解，因此也完全明白问题所在。然而，直到19世纪末，几乎所有的科学家都忽略了这一问题，即谁“真的”处于运动状态，谁又处于静止状态。从1758年准确预测哈雷卫星的回归，到1846年发现了一颗新的行星——太阳系第八大行星海王星（Neptune），牛顿力学取得了一个又一个辉煌的胜利，足以证明牛顿的体系行之有效。一眼望去，“发条宇宙”会精确无误地运行下去。

但是，17世纪的物理世界出现了一位新秀——电学（electricity）。起初，人们只是对静电现象感到好奇——在干燥寒冷的日子里，如果触碰某个金属物体，就会被电一下。很快，电就成为人们竞相研究的对象。例如，电荷能够沿着一条金属导线快速传导，从此地流向彼处，形成一股电流。更令人惊讶的是，人们发现电流可以使磁罗盘的指针发生偏转；换言之，电流会在导线周围产生磁场。

19世纪30年代，自学成才的英国科学家迈克尔·法拉第（Michael Faraday，1791—1867）进行了一系列实验，揭示了电的本质，以及它与磁之间的关系。法拉第是一位卓越的实验科学家：实验室就是他的世界，在那里，他摆弄着各种实验器件，观察实验结果，并由此得出结论。但是，将法拉第的成果总结成一个连贯的理论体系的，是另一位英国科学家。这项使命降临到了苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831—1879）身上。麦克斯韦根据法拉第的诸多实验定律，用数学公式归纳总结，得到了一个由四个微分方程组成的方程组，该方程组可以描绘所有的电、磁现象，也因此被人们称为“电磁现象”（electromagnetism）。麦克斯韦理论的核心是“场”（field）的概念，场是一种无形的介质，电磁现象借此在空间中以电磁波的形式进行传播。令人震惊的是，人们发现电磁波在真空中的传播速度居然是光速，即299,792千米/秒。该速度以字母c命名，或许是因为c是拉丁语“速度”(celeritas)的首字母。［1］这一数字将成为物理学领域最重要的常数之一。

麦克斯韦方程组（Maxwell’s equations）以其优雅的内在对称性，在此后的数百年间成为理论物理学界追捧的典范；与此同时，也让人们意识到，牛顿力学所描述的物理世界要想解释所有这些新发现的物理现象，显然力有不逮。看上去，物理似乎存在两个不同的分支，分别由不同的定律支配。一方面存在一个力学领域，其中包括了热和声（前者由分子的运动产生，后者则以压力波的形式通过空气传播的机械振动）。另一方面则存在着一个电磁领域，其中包括了光（因为麦克斯韦方程组揭示出光是一种电磁波，拥有能够被人眼以色彩的形式辨识的特定频段）。这两个分支之间的差异预示着20世纪相对论和量子力学的决裂，并且必须通过某些宏大的统一理论来弥合。

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电磁波可以在真空中传播的现象让许多19世纪的物理学家坐立不安。他们还深深地沉浸在牛顿力学所描绘的物理世界中，由于空气中传播的声波看上去比较类似，他们便由此开始尝试。当压力波在空间中传播时，需要一种能够传递振动的物质介质，例如小提琴的琴弦，或者像池塘中的涟漪在水面以表面波的形式传播。［2］显然，空间中必然同样弥散着某些物质，可以供电磁波用作传播介质。“以太”（ether）［也被称为“发光介质”（luminiferous medium）］的概念便由此诞生。这个概念将贯穿19世纪晚期的物理学领域。

以太并不仅限于作为电磁波传播的介质，它还被用作一个方便的宇宙参照系，所有的运动都可以据此加以参照。但是，这随即就产生了一个问题：如果所有的运动都可以参照以太进行测量，那么，“在观察者看来”，光的速度必然取决于观察者自身相对于以太的速度。具体而言，如果光源以速度υ朝处于静止状态的观察者运动，则光到达观察者的速度应该为c+υ；相应地，如果光源是在远离观察者，则光抵达观察者的速度为c-υ。与此类似的，是光源保持固定不动，而观察者朝向或者背向光源运动的情况。换言之，“在观察者看来”，光的速度取决于观察者自身的速度，因此，光速是一个变量。危机的症结正在于此：根据麦克斯韦方程组，电磁波在传播过程中不需要任何介质；电磁场本身就是介质。因此，光速应该是一个自然常数，它与观察者相对于光源的运动状态无关。

1887年，为了一劳永逸地解决这个问题，两位美国物理学家，阿尔伯特·亚伯拉罕·迈克尔逊（Albert Abraham Michelson，1852—1931）和爱德华·威廉姆斯·莫雷（Edward Williams Morley，1838—1923），在美国俄亥俄州克利夫兰的凯斯西储大学（Case Western Reserve University，简称CWRU）进行了一项著名的实验。他们的目的是为了测量光相对于地球的速度，其中，地球作为空间中的一个运动平台，正以30千米/秒的速度在其轨道上环绕太阳运动。如果以太是存在的，那么对地球上的观察者而言，当其朝向某个远端光源运动时，光速应该为(c+30）千米/秒，而半年之后，当其背向该远端光源运动时，光速则应该为(c-30）千米/秒。这个差别尽管非常小（地球的运动速度只有光速的万分之一），但利用光学方法还是可以测量出来。他们做了多次尝试，却没有发现任何差别。光速总是保持一致，与地球相对于以太的运动方向无关。

有人试着对迈克尔逊-莫雷实验所取得的阴性结果进行说明，但是种种假设条件的出发点均基于对此做出解释，因而缺少可信度。当时，年仅26岁的阿尔伯特·爱因斯坦还是一位在伯尔尼的瑞士联邦专利局工作的小职员，他给出了正确的解释：“以太是不存在的，它就是个纯粹的臆断。”也就是说，所有运动均可以参照的单一、通用且绝对静止的参照系是不存在的。然而，放弃以太是要付出相应代价的。因为，如果在所有参照系中光速都是恒定不变的，那么，无论是空间还是时间都应该是相对的。绝对空间和绝对时间都成了过去时。更重要的是，空间和时间不再作为单独的概念存在，取而代之的是一个四维概念：“时空”（spacetime）。

1905年，爱因斯坦发表了他的“狭义相对论”。之所以称之为“狭义”（special），是因为该理论仅适用于彼此以恒定速度运动的参照系这类特定情况。在之后的10年间，他殚精竭虑，试图将该理论扩展到“所有的”参照系，特别是处于加速运动的参照系。1916年，爱因斯坦发表了他的皇皇巨作——“广义相对论”（General Theory of Relativity），这一理论一经面世，就被人们奉为物理学领域最优雅的理论。牛顿提出的万有引力概念是对一种空间作用力的几何性描述，但是在广义相对论中，时空会因为物质的存在变得不再平坦，也就是说，会发生弯曲。在这一点上，后者取代了前者。

除此之外，广义相对论还预测，如果一束光线的传播路径上存在某个质量非常大的物体，例如太阳，这束原本笔直的光线就会发生偏转。1919年5月29日发生的一次日全食证实了这一预测，当时，人们拍摄到了日食发生时在太阳附近的恒星。几个月后，人们又在同一地点进行了相同的拍摄，并对图像加以比对。通过精确测量恒星的位置，研究人员发现它们的位置的确发生了偏移，且偏移量与爱因斯坦的预测值吻合。当年11月，在伦敦的英国皇家学会和皇家天文学会的特别联席会议上，这一结果被正式公布，爱因斯坦因此一夜成名。［3］时至今日，广义相对论已经通过了所有与其相关的测试。

在经典物理学与以太问题展开艰苦搏斗的同时，古典音乐也遇到了自己的危机。一个世纪之前，在弗朗茨·约瑟夫·海顿（Franz Joseph Haydn，1732—1809）和沃尔夫冈·阿马多伊斯·莫扎特（Wolfgang Amadeus Mozart，1756—1791）的共同努力下，交响乐占据了古典音乐的核心位置。尽管他们的音乐美妙无比，但他们所服务的对象仍是维也纳的贵族精英阶层，这些人喜欢在富丽堂皇的宫殿中度过愉快的夜晚。路德维希·范·贝多芬（Ludwig van Beethoven，1770—1827）成了那个将交响乐升华成一种深刻情感体验的人物，他向整个世界宣布，交响乐也可以像伟大的文学作品那样提升人们的精神。海顿写了104部交响曲（实际是105部，但有一部遗失了），莫扎特有41部，而贝多芬仅有9部［4］——但每一部都是那么伟大！他的最后一部作品，即《第九交响曲“合唱”》于1824年首演，有一个大型管弦乐团、四位独唱及一个合唱团参加演出，该作品已经在世界范围内成为兄弟情谊的象征。1989年，在柏林墙垮塌的废墟上，人们甚至演奏起这部交响曲庆祝德国的统一。［5］

贝多芬于1827年逝世，正好是牛顿离世之后的第100年。就像牛顿一样，贝多芬的灵魂也将在此后的数百年间萦绕于西方音乐界的上空。无论是否是刻意为之，19世纪的主要作曲家们无人敢创作9部以上的交响曲［弗朗茨·舒伯特（Franz Schubert，1797—1828）写了8部，罗伯特·舒曼（Robert Schumann，1810—1856）和约翰内斯·勃拉姆斯（Johannes Brahms）各有4部，埃克托尔·柏辽兹（Hector Berlioz，1803—1869）只有1部］。根据古斯塔夫·马勒的妻子阿尔玛的说法，“第九交响曲魔咒”让他非常紧张。他担心如果自己尝试去写第十部交响乐，便将不久于人世。事实上，他的确一语成谶——马勒于1911年去世，这部作品也就此夭折。尽管作曲家个人的作品产量下降了，演奏这些作品的交响乐团规模却稳步增长。马勒的《第八交响曲》，即《千人交响曲》(Symphony of a Thousand，1906），有八位独唱演员、双倍人数的合唱团和一个庞大的管弦乐队参与演出。这支混合而成的队伍，论规模甚至令演奏贝多芬《第九交响曲》的那支团队相形失色。

但是，自贝多芬以来，得到极大增强的并不只有管弦乐队的规模或交响乐的感染力；音乐的和弦范围经历了更大的扩展。在贝多芬之前，可供作曲家选择的和弦是非常有限的，它们基本上仅限于辅音或令人愉悦的和弦，例如“大三和弦”（major triad）C-E-G。这是由贝多芬之前音乐的主要功用决定的——取悦听众。无论是在公共音乐会或者皇室招待会，还是在教堂的庄严环境中，音乐所起的只有娱乐作用，也许在最后一种情况下还被用来唤起听众对上帝创造力的敬畏之情。莫扎特于1782年写道：“音乐，即使在最可怕的情况下，也不该亵渎耳朵。”哪怕是一部以带有阴沉的“小三和弦”（minor triad）C–降E–G（之所以称之为“小三和弦”，是因为C–降E音程比C-E要低半个音）为特点的小调作品，和弦本身也仅限于和声。偶尔，乐曲中可能会被插入一个不协和音，制造出瞬间的紧张感或模仿感，但这也只是简短的小插曲，立刻就会再次“消弥”在协和和弦（consonant chords）里。

贝多芬改变了这一切。在1805年首演的《第三交响曲》(Third Symphony)，即《英雄》(Eroica)中，他反复使用刺耳的不和谐音和切分音（弱拍增强），刻意惊骇听众，并且他也的确让听众震惊不已——这部作品由于违反了所有公认的“好”音乐的规范而受到严厉批评。贝多芬一如既往地对公众的批评不屑一顾，坚持自己的道路，而且他很快就有了效仿者：柏辽兹经常使用以前“被禁止”的和弦使自己的音乐更加戏剧化，而理查德·瓦格纳（Richard Wagner）和马勒则更进一步突破了传统的限制。到了19世纪中叶，交响乐已经成为强大的情感体验的代名词，能够让听众进入极致的兴奋、狂热甚至恐怖状态之中。柏辽兹是浪漫主义早期作曲家中最具浪漫色彩的一位。有一个关于他的小故事，讲的是他有一次参加贝多芬的交响音乐会，因为情绪深受感染而无法自制，浑身强烈地颤抖。坐在他旁边的人问道：“先生，您为什么不到外面休息一下，这样才能更好地欣赏音乐？”柏辽兹闻言，厌恶地答道：“您真的以为我到这里是为了寻欢作乐吗？”［6］音乐，特别是交响乐，必须“永不亵渎耳朵”的想法已经成为过去。

随着对传统和声的放弃，调性也难逃被抛弃的命运。自17世纪至20世纪这三个世纪以来，人们认为，一段音乐应该锚定在一个基本调上，围绕其展开，并最终回归于此，这种概念已经成为西方音乐最根本的基础。这种“调性原理”（principle of tonality）或基于调的音乐，赋予作品一种方向感和目的性。调性对于古典音乐的意义，和以太对于经典物理学的意义是一样的，它们都是一个固定的参照系，而作品的每一个细节都与之关联。

但是，在19世纪走向终点之际，这一历史悠久的准则也受到了抨击。调性已经变得越来越模糊，并随着作品的展开让人越发难以把握：音乐变得愈加“没有调性”（atonal）。这种特点在柏辽兹的音乐中已有体现，而马勒的音乐更是如此。正是在这种背景下，阿诺德·勋伯格（当时，他仍然只是一位寂寂无闻的维也纳作曲家，并且他的名字还在用着德国变音符号）感到调性的发展已经山穷水尽。他决定构建一种新的作曲体系，希望通过该体系能够让调性彻底走向终结。我们很快就会看到，他的投入在多大程度上取得了成功。

注释

［1］  请参阅菲利普·吉布斯（Philip Gibbs）撰写的文章《为什么c是光速的象征？》(Why Is c the Symbol for the Speed of Light ?， 2004），网址参见http://math.ucr.edu/home/baez/physics/ Relativity/SpeedOfLight/c.html.

［2］  存在一点相异之处：对声波来说，空气分子在与波本身（纵波）相同的方向振动；而表面波的传播方向与水分子的上下运动方式（横波）呈直角正交。

［3］  这一历史事件所产生的戏剧性后果为人们津津乐道；例如，罗纳德·W. 克拉克（Ronald W. Clark）所著的《爱因斯坦：生活与时代》(Einstein: The Life and Times，纽约：Avon Book出版社，1971），第263—264页。近些年来，人们对这次日食实验结果的有效性产生了一些质疑，参见约翰·沃勒（John Waller）所著的《爱因斯坦的运气：一些最伟大的科学发现背后的真相》［Einstein’s Luck: The Truth Behind Some of the Greatest Scientific Discoveries，牛津：牛津大学出版社（Oxford University Press），2002］，第3章。

［4］  未计入所谓的《战争交响曲》(Battle Symphony)，也被称为《惠灵顿的胜利》(Wellington’s Victory)。这段夸张的音乐小品。表明，纵使再伟大的作曲家也会创作出非常平庸的作品。这部作品在贝多芬的时代取得了巨大的成功；然而时至今日，它几乎被人忘到了脑后。

［5］  1942年，德国军队在莫斯科战役中惨败，为了振奋国人的士气，柏林爱乐乐团演奏了这部作品。当时，纳粹的高级官员也观看了演出。

［6］  诺曼·莱布雷希特（Norman Lebrecht）所著《音乐逸事》［The Book of Musical Anecdotes，纽约：自由出版社（Free Press），1985］，第118页。

①  原文为荷兰人，易引起读者误解。阿非利卡人（Afrikaners）旧称“布尔人”，南非和纳米比亚的白人种族之一，以17世纪至19世纪移民南非的荷兰裔为主。——译者注

②  Blue Period，1901—1904：毕加索的作品一直给人以风格多变和色彩多样的印象，但在1901年至1904年间，他的画作却大面积地只使用蓝色，因此后人将这一时期称为“蓝色时期”。——译者注

第二章

弦的理论，公元前500年

有一种颇为奇怪的老生常谈，即最早在可观察的实体间建立起定量关系的实验科学是声学。萨摩斯的毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前585—公元前500）是一位充满传奇色彩的哲学家，直角三角形定理（the right-triangle theorem）①就是以他的名字命名的，而他正是通过研究发声物体的振动开始了自己的科学生涯。据传，有一天他走在街上，忽然听见铁匠铺里传来一阵铿锵有力的声音。他停下来前去一探究竟，发现声音来自铁匠敲击的金属片；金属片越重，声音的音高越低。

毕达哥拉斯并不满足于仅仅进行定性的观察，他继续用一切可以振动的物体做实验，诸如绷紧的弦、盛水的杯子、铃铛、吹管（图2.1）等。据说他曾经制作了一件原始的乐器——单弦琴（monochord），即一根固定在声板上的单弦，声板上沿琴弦有数字刻度（图2.2）。如果在琴弦和声板中间插入一个小小的琴桥，那么只需移动琴桥，就能改变琴弦的有效发声长度。毕达哥拉斯发现，首先让整根琴弦振动起来，然后将琴桥停在其中间位置，这时发出的两个声音就能形成一种令人愉悦、彼此和谐的效果：它们之间差着一个“八度”（octave）。在不同的八度中演奏同一段旋律，听起来基本相同，就像在酒店不同楼层的走廊上行走一样。毕达哥拉斯发现，八度音程对应于1:2的比例。

图2.1 毕达哥拉斯实验不同的发声物体

注：此图来自于弗兰基诺·加富里奥（Franchino Gaffurio）所著的《音乐理论》(Theorica Musicae，米兰，1492）。

图2.2 单弦琴

毕达哥拉斯将八度定为一个基本的音程，但接下来，他并未选择一个更广的音程，而是试着对该音程进一步细化。他尝试了其他琴弦长度的比例，发现了一个让他印象深刻的现象：小比例的琴弦长度能够产生和谐、愉悦的声音，即“协和音”（consonances）；而大比例的琴弦长度则产生“不协和音”（dissonances）。前者中首先有八度（1:2）、五度（2:3）和四度（3:4）（这些名词来自音阶中这些音程的位置，参见图2.3）。通过这一现象，毕达哥拉斯意识到自然本身——实际上是整个宇宙 ——是由简单的数值比例控制的。“数字统治宇宙”（number rules the universe）成为毕达哥拉斯的座右铭，并且这一观点在此后的2,000年内都主导着科学思想。

图2.3 八度，纯五度和纯四度

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此处，我们必须稍微跑一下题。话说从1600年左右开始，人们在实践中都根据频率比（frequency ratios），而非弦长的比例，来描述音程。对任何琴弦而言，频率都与弦长成反比，因此八度、五度和四度对应的频率比例分别为2:1、3:2和4:3。我们在下文中将按照这一方法进行描述。

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上文提及的三种音程在音乐中发挥着非常基础的作用。毕达哥拉斯将它们称为“完全协和”，并用其组成音阶——这种将乐声进行有序数值排列的方法可谓前无古人。他发现，从任何一个音符开始，先升高五度，接着再升高四度，就能得到一个比初始音符恰好高八度的音符。如果用比例表示，这个转换关系可以表示为。通常而言，这种方法是正确的，“若要增加两个音程，只需将其频率比例相乘”。毕达哥拉斯并不知道自己发现了历史上第一个对数关系。

接下来，他拿出每个完全协和音程，并利用幂函数升高其频率比例。2:1的幂就可以得到更高的八度，而4:3的幂即为3:2的转位（将某个音程的低音符升高八度，或者将其高音符降低八度，即为将该音程转位）。毕达哥拉斯在求取3:2的幂时，先从开始，并得到以下数列：

该数列中的七个比例，只有第二个和第三个存在于八度之中。若想将其余几个比例纳入八度的范围内，则需要将它们乘以或除以2的幂：

如果将这个新的序列以升序排列，并一直增至2:1的比例，得到一个完整的八度，那么会得到以下数列：

这个序列被称为“自然音阶”（diatonic scale）。它给出了每一个音符相对于基本（最低的）音符的比例。但在音乐领域，人们最关注的是两个音符“之间”的比例，即两个音符之间的间距。如果计算每个音符相对于自己前面那个音符的比例，可以得到以下序列：

该序列即为“毕达哥拉斯全音阶”（Pythagorean diatonic scale）的音程。它实际仅仅由两个不同的音程组成，较大的那个是9:8（=1.125），被称为“全音”（whole tone），较小的则为256:243（≈1.053），被称为“半音”（semitone或者half tone）。

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乍看之下，毕达哥拉斯音阶似乎是一项伟大的发明；它以简单明了著称，仅使用3:2这一种比例。但这种简洁具有欺骗性，个中原因众多。首先，正如每个学音乐的学生早就知道的，有一个“五度圈”（circle of fifths）的方案：从任意音符开始，每次以1/5的比例连续上升。经过12次之后［并且在此过程中经过一系列比自然音阶高半音的升调（sharp）或者低半音的降调（flat）］，就会回到起始的音符，但会高出7个八度（参见图2.4）。可是，毕达哥拉斯音阶无法做到这一点：没有任何正整数m和n能够满足公式 ［1］。

图2.4 五度圈

注：符号♯代表“升音符”，表示该音符升高了半个音调；符号♭代表“降音符”，表示该音符降低了半个音调。

但是，更令人困扰的是，毕达哥拉斯音阶与几乎所有乐器产生的自然“泛音”（harmonics或overtone）序列格格不入。琴弦振动时，它会发出一个有特定音高的音符，可以用于标定音乐，但同时，相伴出现的还有其他更高的音符。这种泛音的混合会赋予声音特定的色彩或“音色”（timbre），即使小提琴和单簧管演奏相同的音符，我们也能根据这一特性将它们区分开来。

在下一章中，我们将看到，这些泛音的频率总是琴弦所发出的最低的、基本的频率的整数倍，因此它们（相对于基本频率的倍数）呈现为序列1，2，3，…。从理论上讲，该序列可以永远持续下去，从而产生由更高的音符组成的无限混合。然而，通常情况下，泛音的幅度及其强度会随着序列的上升而迅速减弱，从而使其变得越来越弱，越发难以分辨。毕达哥拉斯音阶仅基于3:2的比例，而忽略了其余泛音，包括非常重要的5:4和6:5（分别为大三度和小三度），因此该音阶与声学定律并不同步；它只是一个数学上的创新，与物理现实关系不大。这是已知的人们将数学定律应用于音乐领域的首次尝试，但不会是最后一次。

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一般而言，毕达哥拉斯音阶是毕达哥拉斯哲学的典型代表。出于对音乐命理学（musical numerology）的痴迷，毕达哥拉斯的信徒坚信世间万物，从音乐和声的定律到天体的运动，都受到整数的简单比例的支配。为便于理解这种信仰上的巨大跳跃，我们必须记住，在古希腊传统中，音乐与算术、几何以及球面几何学（天文学）处于相同的地位——“四术”（quadrivium）所囊括的四门学科，是每个学生都必须精通的，相当于今天大学里的核心课程。［2］

值得注意的是，在毕达哥拉斯主义者眼中，“arithmetic”这个词的含义与如今的意思“算术”迥然不同，它那时的意思是“数论”（number theory）。这是一门研究整数特性的学问，而非那种进行整数运算的实用技能。与此类似，他们将四术中的音乐称为“乐理”（music theory），即研究音阶与和声的学问，而非演奏音乐的实用技艺。这一典例反映出毕达哥拉斯主义者对所有实用技能秉持的一种超然物外的态度。他们的思想中存在着一个完美的宇宙，由美、对称及和谐的规律支配，而与日常的、世俗的思虑无关。这或许能解释他们为什么总是开展秘密讨论：担心自己会被同胞嘲笑，因为毕竟大多数人每天都要辛勤劳作以维持生计。没有任何毕达哥拉斯的著作——倘若真的存在过——幸存下来。我们现在所了解的关于毕达哥拉斯主义的一切思想，都来自后人的记录，这些书写者生活在毕达哥拉斯身后数百年的不同时代，但在颂扬他们所尊奉的这位导师的光辉思想时，均极尽褒扬之能事。

但是，尽管相关著作未能留存下来，毕达哥拉斯的这份“遗产”还是流传了2,000余年依旧光芒闪烁。“数字统治宇宙”成为数代科学家和哲学家奉行的圭臬，他们试图基于音乐的比例或者简单而典雅的几何形态来解释整个宇宙。例如，行星应该在完美的圆形轨道上绕地球运动；认为除了完美对称的圆形之外，还存在其他几何形状可以在宇宙中占据统治地位的想法简直匪夷所思。就这样，在接下来的2,000年中，自然法则屈从于理想化的美、和谐与对称，毕达哥拉斯主义者实质上阻碍了科学的进步。

著名的德国天文学家约翰内斯·开普勒被视为现代天文学之父，同时，他也是最后的毕达哥拉斯主义者之一。开普勒一度是一位虔诚的神秘主义者，也是哥白尼日心说的狂热信徒。在大半生的时光中，开普勒都致力于通过音乐和声的理论推导出行星的轨道。

他相信，每一颗行星在环绕太阳运行时，都奏响了一首曲子，只不过因其频率低于我们的听力辨识范围而无法被听到（也就是说，在真空状态的外太空中生成了音乐，但此处我们就不提声音在真空中不能传播的事实了）。实际上，开普勒为当时已知的五颗行星（图2.5）中的每一颗，都谱写了一首用音乐符号记录下来的天体旋律，即著名的《宇宙音乐》。开普勒在这条道路上迷失了方向，直到数十年之后，他才最终抛弃了古希腊推崇的圆形轨道，转而采用椭圆形轨道；一代人之后，牛顿又在此基础上添加了抛物线和双曲线。

图2.5 开普勒的行星音乐

注：来自《世界的和谐·第五卷》［Harmonices Mundi，Libri V，德国林茨：乔·普朗克（Jo Planck）出版社，1619］

注释

［1］  这个公式可以改写成方程式3m=2k，其中k=m+n。公式的左边是3的幂，因此是一个奇数；而公式的右边是2的幂，所以是一个偶数。

［2］  “四术”的概念由波伊提乌（Boethius，6世纪）提出，但其中所列举的功课在柏拉图的《理想国》(Republic)中就已经出现。再加上“三艺”（trivium，包括语法、逻辑和修辞），就组成了中世纪大学人文教育的七门功课。

①  即“毕达哥拉斯定理”或“勾股定理”。——译者注

编外篇A

此处仅谈及术语

就像数学一样，音乐术语有时候也会引起歧义。在记录一段音阶时，使用音符的实际名称（例如C D E F G A B C'）就不是很方便。为避免这种麻烦，人们常常使用Do-Re-Mi的记谱法，也就是众所周知的“阶名唱法”（solmization）。此处，无论实际音高的高低，Do总代表基本的音符（主音，tonic），在自然音阶中，Re代表在全音阶范围内下一个更高的音符，由此可得：Do，Re，Mi，Fa，Sol，La，Si（有时也被称为“Ti”），接下来又是Do。该系统还有一个变体，其中，Do代表实际音符C，Re代表D，依此类推。阶名唱法主要在法国和意大利使用，而在英语国家，人们偏爱使用音符的实际名称。因此，下一次，当你听到朱莉·安德鲁斯（Julie Andrews）在《音乐之声》(The Sound of Music)中为她照顾的孩子们唱起“Do-Re-Mi”时，你可能会好奇她到底在唱什么音符。

使这种混乱更雪上加霜的是，德国人称大调为“dur”，小调为“moll”；降号和升号在德语中分别为“ces”和“cis”，而在法语和意大利语中则为“bémol”和“dièse”。即使是用来表征音符时值（time value）的术语，也没有统一的称呼：在美国，全音符、二分音符、四分音符、八分音符以及十六分音符分别被称为“whole note”“half note”“quarter note”“eighth note”和“sixteenth note”；但是，在英国，它们分别被称为“semibreve”“minim”“crotchet”“quaver”和“semiquaver”。似乎没有什么比音乐术语上的这种分歧更贴合温斯顿·丘吉尔曾经说过的一句话：“我们（英国人和美国人）被同一种语言分成两个阵营。”

正当我们认为自己已经捋顺这团乱麻时，“音高”（pitch，即音符的实际频率）的问题又出现了。根据现代标准，音符A被分配在中央C之上，其频率为440 Hz。音乐会开场之前，双簧管会奏出这个音符，整个管弦乐队会据此给乐器调音。音符C'比A高一个半全音调，如果根据纯律音阶调音，其频率为440×9/8×16/15=528 Hz；而如果根据十二平均律音阶（equal-tempered scale，参见第六章）调音，其频率应该是440× ≈ 523 Hz。如果基于A=440 Hz调音，则这种调音被称为“音乐会音高”（concert pitch）或者“管弦乐音高”（orchestral pitch）；1939年，这一调音方案被确定为“标准国际管弦乐音高”（the standard international orchestral pitch）。但是，出于某些原因，使用C=256 Hz作为参考音高反而更有利。这个“科学的”音高是2的幂（256=28），所有其他被标记为C的音符，无论处于乐谱中的哪个位置，它们的频率均为2的幂。例如，C'=512=29。在这套标记系统中，音符A比管弦乐音高中的A大约要低半个音。

最后，根据使用者的喜好，乐音（tone）和音符（note）的定义也有稍许不同：在美国，“乐音”一般指实际的声音，“音符”则指乐谱上对乐音的标注；而在英国，这两个术语则被同时用于声音本身或者相应的标记符号。在本书中，我会交替使用这两个术语。

第三章

启蒙运动

正当约翰内斯·开普勒致力于将音乐和声中的定律运用于宇宙天体时，与他同时代的三位科学家则选择了一条更接地气的道路，他们着手研究振动物体背后的物理定律。在声学这门重新被唤醒的学科里，伽利略具有一定的先天优势，他似乎是第一个明确地将振动物体的频率与其发出声音的音高联系起来的人。伽利略的父亲，温琴佐·加利莱伊（Vincenzo Galilei，1520—1591）是一位鲁特琴演奏家，同时也是一名作曲家和音乐教师。故此，伽利略自幼就沉浸在音乐的世界中，并因此与振动物体相关的物理学结下了不解之缘。温琴佐不是一个墨守成规的人，对于当时流行的许多教会教义，即那些基于亚里士多德思想的从哲学到音乐的理论，他均持质疑态度。他无法接受毕达哥拉斯主义的观点，即自然界及音乐理论都受到抽象数学定律的支配，他认为这种观点没有任何物理基础。在他看来，“数字统治宇宙”这一毕达哥拉斯主义的座右铭纯属老掉牙的过时理论，根本无法解释人们观察到的现象。例如，温琴佐发现，琴弦振动的音高与其所受张力的平方根成正比；而在此之前，人们假定音高只与琴弦所受张力的一次幂有关。在物理学领域，这可能是与非线性定律相关的最早发现。

少年时代的伽利略想必是从父亲那里继承了标新立异的性格。年仅17岁的时候，有一天，伽利略到比萨的教堂里参加弥撒，他注意到教堂大厅里垂下的那个大吊灯摇来摆去，而且无论其摆动幅度大小如何，每次摆动的时间都完全一样；也就是说，振动的周期与其摆幅无关。［1］同样令人惊讶的是，摆动的周期也与摆垂的重量无关，这与亚里士多德宣扬的理论——较重的物体下落速度比较轻的物体更快——相左。事实上，摆动的周期仅仅和摆垂的长度及重力产生的加速度（大约9.81米/秒2）［2］相关。伽利略利用自己的脉搏计时，发现了这一令他印象深刻的现象，也促使他留意与振动物体相关的理论。

在经受了罗马宗教裁判所那次臭名昭著的审判之后，伽利略被软禁在家，度过了人生的最后几年。在此期间，伽利略于1638年撰写了他的最后一部重要著作——《关于两种新科学的对话》(Dialogues Concerning Two New Sciences，后面简称《对话》）。由于担心再次引起教会的不满，伽利略不敢在他的祖国意大利出版这本书，而是委托朋友在荷兰将这部专著出版。在那里，教会鞭长莫及。这本书以三位朋友相互对话的形式写就，伽利略以化名“萨尔维亚蒂”（Salviati）出现在三人之中。此书面向普通读者，使用的是通俗易懂的意大利口语，而非当时学术界通用的拉丁语，因此颇受欢迎。

书中这场“对话”持续了四天，涵盖了诸多主题。在第一天即将结束的时候，对话的内容开始涉及关于机械振动的原理及其产生乐音的讨论。在物理学相关的主要著作中，这也许是“频率”（意大利语：frequenza）一词在印刷品中首次出现。因为撰写的属于通俗作品，伽利略在书中尽量避免使用数学公式，他用了较长的段落解释这一概念。他指出，一根弦的振动频率与其长度成反比，与支撑弦的张力的平方根成正比，且与弦的重量的平方根成反比（弦的振动频率的公式是f =，此处，T表示张力，希腊字母λ表示弦的线密度，l是其长度）。只要是演奏过弦乐器的人，理所当然都熟悉这一公式的基本要素：用手指按压琴衍（fret）缩短琴弦的有效振动长度，就能升高音高；另外，拧紧固定琴弦的螺丝，或者使用轻质材料制作的琴弦，也能实现相同的效果。

接下来，三位对话者试图解释为什么某些音程让人心情愉悦，有些则令人厌恶。伽利略利用两个摆垂的运动进行类比，其周期比为2:1，即音乐术语中的一个八度。较长的摆垂每完成一次摆动，较短的摆垂都能够完成两次，使它们的摆动保持同步。如果我们观察它们的运动，在视觉上，就会看到那种令人愉快、和谐且重复出现的画面。如果周期比为3:2（即五度），一个摆垂完成两次摆动的同时，另一个摆垂完成了三次，那么在视觉上，这一摆动组合所产生的画面还是能让人愉快。但是，如果周期比为9:8（即大二度），落到我们眼中的两个摆垂的运动组合则杂乱无章，在视觉上让人产生不协调之感。更糟糕的是，如果该比例为无理数，用伽利略的话来说，这一组合将“对听众的耳朵发出刺耳的噪音”。他引用了:1为例，这种不和谐的“三全音”（tritone，即三个全音的组合，例如从C到升F）直至20世纪都为作曲家敬而远之［3］。

当然，伽利略在此处如履薄冰：他将其摆垂证明实验称为“眼睛和耳朵享受同一游戏的方法”，忽略了听觉和视觉的观察角度完全不同的事实，因此这种类比可能会令人产生误解（在第五章中，我们将就此专门论述）。尽管如此，在《对话》一书中，他笔下的那两位持批判态度的合作者对他的观点并无异议，三人以大圆满的方式结束了第一天的谈话。

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然而，写下振动弦的公式是一回事，实际测量频率（按照物理术语，即校正公式）则是另一回事。这一任务落到了一位法国僧侣和最小兄弟会（Minim Order）修道士马兰·梅森（Marin Mersenne，1588—1648）身上。梅森自学成才，涉猎颇广，他最初从事神学研究，但不久就意识到自己真正感兴趣的是数学和科学，特别是声学。梅森结交了诸多当时的顶尖科学家，包括伽利略、勒内·笛卡尔（René Descartes）、布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）以及克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens），并与他们保持着频繁的通信联系。因此，在当时学术期刊、科学会议以及学术团体尚不为人知的情况下，梅森发挥了一种类似于票据交易所的作用，将科学家们的最新发现广为传播。

梅森今天之所以能被人们记住，主要是因为某一类以他的名字命名的素数。素数（prime number）在英文中也被简称为“prime”，指在大于1的整数中，能且仅能被其自身和1整除的数。任何大于1的整数，不是素数，就是合数（composite number，1本身既不是素数，也不是合数）。前10个素数分别是2（2的特别之处为它是唯一一个作为偶数的素数）、3、5、7、11、13、17、19、23和29。素数在数论中意义非凡，这是因为所有的合数都可以用某组素数的乘积表示，并且该组合的形式有且仅有一个。例如，12=3×4=3×2×2，也可以写成12=2×6=2×2×3；尽管两类组合的顺序有差别，但我们得到的素因子是一模一样的，这一现象被称为“算术基本定理”（fundamental theorem of arithmetic）。公元前300年前后，欧几里得（Euclid）在亚历山大城完成了《几何原本》(Elements)的写作，他在这部经典巨著中证明素数是无穷无尽的，即它们的数目为无限多个。截至本书撰写之时，已知最大的素数为274,207,281-1，这个超级庞大的数字由22,338,618位数字组成，如果打印出来，需要3,200页纸。［4］

梅森对一类特殊的素数非常感兴趣，该类素数的形式为Mn=2n-1，其中n本身为素数（如果n是合数，则Mn也是合数；例如，M4=24-1=15=3×5）。当n=2、3、5和7时，我们得到Mn=3、7、31和127，这四个数都是素数。但是当n为下一个素数，也就是11时，我们得到M11=211-1=2,047=23×89，因此是一个合数。这反映出n必须为素数是Mn成为素数的“必要”（necessary）条件，而非“充分”（sufficient）条件。1644年，梅森声明，当n=2、3、7、13、17、19、31、67、127和257时，Mn是素数，而当n为其他任何小于257的数时，Mn是合数。随后，他的一些判断被证明是错误的，例如M67和M257是合数，并且他遗漏了素数M61，M89和M107。截至本书写成之日，人们只发现了49个梅森素数（Mersenne primes）；其中最大的一个，是在2016年被发现的，也就是前面段落中提到的那个素数。至于究竟存在多少个梅森素数，它们的数目是有限多还是无限多，人们还无从知晓。［5］

尽管在每本关于数论的教科书中，几乎都能看到关于梅森素数的内容，但是也仅此而已。即使是在数论学家中，也没有几个人了解梅森对音乐理论的贡献。在两年的时间里，这位学者出版了两本颇具影响力的专著，一本是《和谐之书》(Harmonicorum Libri，1635），首次发布了有关振动弦的正确理论；翌年，他又出版了《宇宙和谐：关于乐器的书》(Harmonie Universelle: The Books on Instruments，图3.1）。［6］这本具有里程碑意义的专著——其英文版有572页——包括7个部分，书中有100多幅各种乐器的插图，以及大量的音乐引用，详细讨论了各种律制，还包含数值计算和表格。这本书对音乐理论做了完整的论述，在巴洛克时期（Baroque period，约1600—1750）之初便广为人知。

图3.1 梅森所著的《宇宙和谐》（1636）的扉页

但是，梅森不仅是一位理论家，还是对各种音符的频率进行实质性测量的第一人。在一架单弦琴上，梅森不断调整琴弦的长度，直到奏出的琴音具有一个可识别的音高。接下来，（在保持琴弦的张力不变的前提下）他不断加倍琴弦的长度，直至振动缓慢到他能够清楚计数。因为第一个音符与最末的音符被精确数量的八度音程隔开，梅森能够确定较高音符的频率，并且由于这些音符间的比例是已知的，就可以由此确定音阶中其他所有音符的频率。

梅森似乎并不满足于此，他还亲自创作了一些音乐作品。不过，时至今日，大部分已经遗失在时间的流逝之中。意大利作曲家奥托里诺·雷斯庇基（Ottorino Respighi，1879—1936）在自己创作的三部曲中，将梅森的一首乐曲放在了第二部《古代的曲调和舞蹈》(Ancient Airs and Dances)之中；而在其第一部中，也有一首温琴佐·加利莱伊创作的《嘉雅舞曲》(Gagliarda，16世纪流行于意大利的一种舞蹈）。通过这两首曲子，作曲家巧妙地向他的两位音乐家兼科学家前辈致敬。

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声学的下一个主要发现是由一位科学家做出的，与梅森相比，他的名字更加罕为人知，这就是约瑟夫·索弗尔（Joseph Sauveur，1653—1716）。索弗尔一出生就患有严重的语言和听力障碍，但他在科学，特别是解剖学、植物学和数学中找到了自己的救赎。索弗尔靠给法国的王公贵族做私人教师谋生，沙特尔公爵（Duke of Chartres）也是他的学生之一。后来，他又投入工程领域，参与了水利项目和军事防御工事的修建。索弗尔为何会对音乐产生兴趣？这无人知晓。但是，这一兴趣很可能是由他与艾蒂安·卢利耶（Étienne Loulié，1654—1702）的交往触发，此人给沙特尔公爵教授音乐理论。两人成为好友，并在1694年合写了一本书——《声音的科学》(The Science of Sound)。

至此，索弗尔已经完全沉浸在他新发现的音乐世界中，但是听力障碍令他举步维艰。对此，他毫不畏惧，一群音乐家聚集在他的周围，他们愿意充当他的耳朵。我们能够从传记作家贝尔纳·勒·博维耶·德·丰特内尔（Bernard le Bovier de Fontenelle，1657—1757）笔下读到一段精彩的描述：“虽然他口不能言、耳不能听，但是他除了音乐，心无旁骛。他被迫借助于他人的声音和耳朵，而作为回报，他给出了迄今为止被音乐家视若天书的证明结果。”［7］“声学”（acoustics，源自希腊语akoustikos，意思是可以被听见）一词就是由他创造的。

索弗尔对音高与频率间的关系特别感兴趣。他设计了不同的方法将八度音程细分成若干小的音级（steps），诸如43、55、301、602，甚至3,010个音级。他的那些音乐家伙伴对此嗤之以鼻；他们认为，人们根本就听不见，也无法演奏出如此精细的划分。同样地，他们也不喜欢他提出的平均律（equal-tuning）方法（参见第六章）。1699年，他的助手们拒绝配合他的工作。两年之后，作为报复，他向法国皇家科学院（French Royal Academy of Sciences）提交了一篇论文。在文中，他嘲讽音乐家们是一群心胸狭隘的家伙，对于科学原理狂妄无知。

图3.2 由两个正弦波（上面的频率为104 Hz，下面的为110 Hz）形成的拍频

注：参阅“拍频（声学）”［https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)］。

索弗尔尝试测定管风琴两个音管的频率，他的科学知识在这一过程中发挥了极大的作用。两个声源的声调稍有差异时，它们合奏出的声音的强度就会出现一个缓慢的波动（参见图3.2），［8］这就是“拍频”（beats）。利用这一现象，他就能进行频率测定。在音乐助手的帮助下，索弗尔判断两个音管发出的乐音差一个半音，即其频率比为16:15，而其拍频为每秒6次。借此，他得到了一组方程式：

通过解这个方程组，索弗尔便得到每秒的振动次数（即频率）x=96，y=90。这或许可以被称为“服务于科学的音乐”。

然而，索弗尔做出了第二个，或许也是更为重要的发现。他沿着振动的琴弦放置了若干小纸片，通过观察它们的上下起伏得出结论：弦的不同部分在振动的时候彼此独立，仿佛这根弦被分解成许多独立的小段。他随即认识到，对一根完整的弦而言，其频率是最低的基础频率，而那些独立部分的振动频率则为该基频的整数倍，并且每一个都会产生自己的音符。索弗尔称之为“谐音”（harmonic tones），即所谓的泛音。它们能够赋予声音独特的色彩，即音色。［9］然而，音乐和谐的奥秘就隐藏在其中，因为所有自然音程的比例都来自这些谐音：如果比例为2:1，则为八度；如果是3:2，则为五度，以此类推。图3.3展示了低音C（每秒64个周期）的前16个泛音，标注以音乐符号及其绝对频率，同时注释了它们之间的相对音程。这一组音符被称为“泛音列”（harmonic series）；它可以用无限发散序列表示：1+1/2+1/3+1/4+1/5+…，在数学和音乐中发挥着同样重要的作用。

图3.3 低音C（64 Hz）的前16个泛音

注：以星号标记的泛音仅与字面意义的音符大致对应。

用一个简单的实验就可以令人信服地证明这些和谐泛音的存在。选取一根吉他琴弦，用铅笔的笔尖轻触琴弦的中间位置：一瞬间，你就能听见一个比基音高出一个八度的微弱音符，这是基音的第一个泛音（即第二谐音）。它的频率为基音的两倍，故其波长也随之减半；因此，在琴弦的中点，存在一个“节点”（node），这是一个静态的非振动点（图3.4）。只要触碰琴弦的中点，我们就能压制基音——实际上，所有奇数编号的泛音都会受到影响，但偶数编号的泛音未受影响。如此这般，我们就能让乐音升高一个八度。与此类似，如果触碰琴弦的1/3处，就能压制基音以及第二谐音，但对振动频率为基频三倍的第三谐音没有影响；与其对应的音符比基音高出了“十二度”（twelfth），即高出一个八度加一个五度。我们可以在1/4处、1/5处及其他位置重复这一实验，得到更高的谐音。但是，只有训练有素的耳朵才能听见这些较高的音符，因为它们的声音会越来越微弱。由此也就不难理解为何长期以来这些谐音都悄悄地隐藏在基音的影子里，人们对其所知甚少，甚至曾一度被视为仅出现在我们脑海中的“鬼音”（ghost tones）。索弗尔（通过实验）展示出这些音符在物理上是真实存在的。

图3.4 振动弦的模式

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有两位巨人与索弗尔差不多处于同一时代，他们的理论和观点将在数学和科学的大多数领域占统治地位，那就是艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）。尽管两人性格迥异，隔着英吉利海峡相对而居，但在1666年至1676年的10年间，他们各自创立了微积分理论。自从欧几里得在2,000年前写下《几何原本》以来，微积分理论成了数学领域最为重要的进展。但是，这一彪炳日月的伟大发现有着不堪入目的丑陋余波：两位主角在过去就算不是彼此友善，也至少惺惺相惜，这之后却为了争夺“微积分理论创始人”这一殊荣，爆发了激烈的冲突。此后这一争斗逐渐席卷整个科学界，导致牛顿的英国支持者与莱布尼茨那些欧洲大陆的同行互相攻讦。两人逝世之后，这场纠纷依旧持续了若干年，并在很大程度上导致英国数学在后来的100年间停滞不前。［10］

微积分迅速改变了科学家思考问题和对其研究工作进行数学推导的方式，轻松破解了几个世纪以来一直困扰着人们的大量问题，并涵盖了诸多领域，从代数和几何学一直到物理学和天文学。而其中最重要的就是振动弦的问题，我们将在下一章就此展开讨论。

注释

［1］  据传，伽利略从比萨斜塔上抛下轻重不同的物体，然而这个故事的真实性值得怀疑。参见斯蒂尔曼·德雷克（Stillman Drake）所著的《工作中的伽利略：他的科学生涯》［Galileo at Work: His Scientific Biography，纽约：达夫（Dover）出版社，1978］，第19—21页。

［2］  今天，我们知道这一理论只适用于摆幅较小的情况。对于非常大的摆幅，其摆垂的运动是非线性的，这将导致振动周期为一个变量。

［3］  这个比例即为八度的中间点，这是由于。也许有人认为半个八度会产生令人愉悦的音程，实际上却并非如此。事实再次证明，数学上的简洁并不一定就能产生令人赏心悦耳的乐音。

［4］  《已知最大的素数——总结》(The Largest Known Primes—A Summary)，参见http://primes.utm.edu/largest.html.

［5］  梅森素数有着精彩绝伦的历史。爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas）于1876年证明M127实际是一个素数，这与梅森的判断一致。这个数在之后的75年里一直是已知最大的素数，并且在人工证明的素数中也一直是最大的那个。同年，卢卡斯发现梅森给出的数列中存在一个错误。虽然并没有真正找到任何因数，但卢卡斯证明M67是一个合数。人们一直没有找到该数的因数，直至1903年，弗兰克·尼尔森·科尔（Frank Nelson Cole）在美国数学协会（American Mathematical Society）的会议上做了一次著名的报告。当时科尔一言不发地走到一块黑板前，从2开始一直写到2的67次幂，接着减去1。在黑板的另一边，他将193,707,721乘以761,838,257,287——整个过程仅用手算——并得到了相同的数字。做完这些，他回到自己的座位，在全场响起的一片热烈掌声中，科尔依然沉默不语。

1883年，伊万·米赫伊维奇·佩尔武申（Ivan Mikheevich Pervushin）证实M61是一个素数，尽管梅森认为它是个合数。 这是当时已知第二大的素数，该记录一直保持到1911年。在梅森发表了素数列表以后，一张包含2 ≤ n ≤ 257范围内所有（正确）梅森素数的列表终于完成了。［这一总结可参见戴维·M. 伯顿（David M. Burton）所著的《数论基础》(Elementary Number Theory)第4版，纽约：麦格劳-希尔（McGraw-Hill）出版社，1997），第206—207页。］

［6］  这段文字来自罗杰·E. 查普曼（Roger E. Chapman）的英文译本［荷兰海牙：马蒂纳斯·奈霍夫（Martinus Nijhoff）出版社，1957］。

［7］  “致索弗尔之颂辞”(Éloge de Monsieur Sauveur)摘自《致1699年以来逝世的皇家科学院院士之赞颂辞》(Éloges des Académiciens de l’Académie Royale des Sciences morts depuis l’an 1699，巴黎：1766），第424—438页。

［8］  这一现象可以用以下的三角恒等式来解释：

cosA + cosB = 2cos(A -B)·cos(A + B)

当A和B的数值非常接近时，其平均值为(A+B)/2，而(A-B)/2则为一个非常小的数值。因此，当两个具有相近频率的声音叠加在一起时，就会合并生成一个新的声音，其频率与二者大致相同。但振幅会缓慢变化，且变化频率为最初两个声音的频率之差。参见图3.2。

［9］  严格说来，我们应该将泛音和谐音区分开。前者是一种（频率）较高的振动，几乎会伴随所有的声音出现，无论该声音是否为乐音；而后者则属于那些频率为基音频率整数倍的泛音。大部分乐器都能奏出和谐的泛音，使其声音具有一定的音高。但是，打击乐器通常会产生非和谐的泛音，因此其音高很难被确定，或者根本就不存在。注意，第一谐音就是基音，而第二谐音是第一泛音，以此类推，这往往让人们在标定它们时产生误解。有时，泛音也指代上分音（upper partial tones，或者简写为“upper partials”）。

［10］  参见理查德·S. 韦斯特福尔（Richard S. Westfall）所著的《生生不息：艾萨克·牛顿的生平》［Never at Rest: A Biography of Issac Newton，纽约：剑桥大学出版社（Cambridge University Press），1980］，第14章；以及杰森·苏格拉底·巴迪（Jason Socrates Bardi）所著的《微积分之战：牛顿、莱布尼茨以及有史以来最伟大的数学之争》［The Calculus Wars: Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time，纽约：雷霆之口出版社（Thunder’s Mouth Press），2006］。

第四章

与弦有关的伟大论战，1730—1780

很久很久以前，也许是5,000年前的某一天，一位不知名姓的猎人发现，当他拨动猎弓的弓弦时，弓弦发出的声音具有某种特定的音高。大约2,500年前，萨摩斯的毕达哥拉斯发现，在琴弦长度和其音高之间存在着一个定量关系，这是人们将音乐与数学联系起来的首次尝试。但是，要想更为全面地理解两者之间的关系，则要等到18世纪，那时，将有四位伟大的数学家致力于解决这一问题——他们试图用新近创立的微积分来寻找答案。

如果我们拨弄吉他的琴弦，或者用琴锤敲击钢琴的琴弦，琴弦的静止状态就会受到扰动，那么此时，问题的关键就是如何确定这条紧绷的、柔韧的琴弦的形状。在前一种情形下，琴弦被赋予初始的位移；而在后一种情形下，琴弦被赋予的则是初始的速度。总之，这两种情况均给出了琴弦的“初始状态”。原则上，根据初始状态就可以确定琴弦在未来任何时间的形状。

我们拨弄琴弦的时候，会瞬间扰动其静止状态，琴弦会形成一个三角形，尽管这个三角形又长又矮（肉眼很难确定高度）。在我们放开琴弦的一瞬间，这种干扰会分成两个脉冲，沿相反的方向顺着琴弦传播开来。它们传播的速度取决于琴弦的物理参数，即撑住琴弦的张力和琴弦材料的线密度（单位长度的质量）。实际上，琴弦所起的作用相当于一个一维的波导，使信号沿着该介质传输。

如果琴弦无限长，那么这两个脉冲将沿相反的方向永远行进下去——当然，这里有个假设条件，即不存在迟滞运动的摩擦力。但实际上，琴弦的长度是有限的；其两端被紧紧固定，导致两个脉冲在两个端点间来回运动，它们会周期性地组合成“驻波”（standing wave），即一种上下运动，而琴弦上的每一个点都参与其中。这种周期性运动只能是一种以琴弦的最低频率，即基频，振动的纯粹的正弦波，或者是若干频率为基频的2、3、4、…倍的正弦波的叠加组合。这就是我们在上一章中提到的谐波，它们将琴弦分解成单个的部分，其波长分别为基本波长的1/2、1/3、1/4、…，并且每一部分的振动都彼此独立（参见第三章的图3.4）。琴弦的实际运动则是所有这些波的总和或者叠加。

18世纪的数学家面临着一个困境：如何确定琴弦被拨弄时所形成的初始三角形的形状？该三角形有一个尖锐的顶角，它会演变成许多——也许是无数个——正弦波彼此叠加在一起，每个波的形状都异常平滑。这个问题成了一场激烈辩论的焦点，几乎每位数学家都不遗余力地参与其中。他们之中，有四个名字脱颖而出：丹尼尔·贝尔努利（Daniel Bernoulli，1700—1782），莱昂哈德·欧拉，让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond D’Alembert，1717—1783）和约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736—1813）。下面，我们先简单介绍一下这四位主角。

丹尼尔·贝尔努利是一个显赫家族的第二代，他的家族数学家和物理学家辈出。这个家族来自瑞士巴塞尔（Basel），一座安详宁静的大学城。经过五代的传承，贝尔努利家族至少出过八位杰出的成员。这些家族成员之间相互竞争，彼此嫉妒，他们做出了很多的发现，也不断卷入因这些发现而引起的诸多论战之中。他们会就工作中的技术细节激烈辩论，而家族成员之间的论战对此更是火上浇油。

丹尼尔的父亲约翰［Johann，也被称为让（Jeanne），1667—1748］，及其兄长雅各布［Jakob，也被称为雅克（Jac-ques）或者詹姆斯（James），1654—1705］是贝尔努利家族在数学领域取得非凡成就的第一代成员。老贝尔努利们充分利用新近创立的微积分理论，在连续介质力学的几个领域做出了重要的贡献，其中包括弹性力学、流体力学以及振动理论等。雅各布还撰写了一篇关于概率理论的、具有里程碑意义的论文，即《推想的艺术》(Ars conjectandi，该书在雅各布去世后于1713年出版）。丹尼尔·贝尔努利继承了父辈的事业，他在1738年发表的论文《流体力学》(Hydrodynamica)中提出了一个以他的姓氏命名的著名定律（即“贝尔努利定律”），为飞行理论奠定了基础。丹尼尔和父亲经常投身于相同问题的研究工作，他们分享各自的见解，但会为某些细枝末节而争吵不休。有一次，约翰由于不得不和丹尼尔一起分享巴黎科学院（Paris Academy of Sciences）的一项殊荣而大为光火，最终将儿子永远逐出门墙。在家族中，丹尼尔是唯一一位在数学理论及实验物理学方面均取得不朽成就的人，而其他人的最主要成就都是成为数学家。［1］

在四人当中，莱昂哈德·欧拉显然是成果最为丰硕的一位。他的成果如此繁多，以至于尽管尚未全部出版，就已经堆积了大约70卷专著，涉及当时已知的所有数学和物理学领域，包括数论、力学、流体力学、天体力学，以及他所开创的拓扑学。以欧拉命名的定理和公式比其他任何科学家都多，其中最著名的公式有两个。一个是方程V-E+F=2，数值V为任意简单多面体（由平面围成，且不存在任何孔洞的固体）的顶点数目，E为边的数目，F为面的数目，该方程解释了这三个数值之间的关系。另一个是谜一般的eπi+1=0，它将数学中最重要的五个常数融为一体。该公式中的三个符号里，有两个，即e和i，是因为欧拉才出现在数学表达式的。另外，他还引入了函数的表示方式f(x)。他所发表的影响力最大的专著是两卷本的《无穷小分析引论》(Introductio in analysin infinitorum，1748），被认为是现代数学分析的奠基之作。从广义上讲，此书探讨了连续性的问题。

欧拉出生在巴塞尔，他先师从约翰·贝尔努利，之后于1720年入读巴塞尔大学，仅用了两年便从大学毕业。1727年，欧拉移居到俄国圣彼得堡，并在那里待了14年。此后，他接受腓特烈大帝（Frederick the Great）的邀请加入柏林科学院（Berlin Academy of Sciences）。但是，国王和他的这位学者相处得并不融洽，腓特烈更喜欢那种夸夸其谈的人，而不是性格羞怯的欧拉。因此，1766年，年近六旬的欧拉又回到了俄国，并在那里度过余生。晚年的欧拉厄运不断：他先是失去了一只眼睛的视力，接着另一只眼睛也失明了；他的房子毁于火灾，许多手稿都因此遗失；但他的厄运远不止于此，5年之后，他的妻子撒手人寰。百折不挠的欧拉再次走进婚姻的殿堂，失明也未能阻止他继续从事研究工作。他具有强大的专注力，这使他能够完全凭借心算进行最复杂的计算。在生活中，欧拉谦逊大度地赞扬他人的工作成果，这一特点使他与学界中的其他人迥然不同。

让·勒朗·达朗贝尔是巴黎城里一位玻璃匠收养的私生子；这个刚落地的婴儿是在圣·让·勒朗教堂（Church of St. Jean-le-Rond）被人发现的，于是长大以后，他就用教堂的名字为自己命名。像同时代的大多数数学物理学家一样，他在连续介质力学和天体力学领域涉猎广泛。1743年，达朗贝尔发表了《动力学》(Traité de dynamique)，在该书中，他提出了一条公式化的定理（“达朗贝尔原理”），即任何处于外力影响下的动态系统都可被视为处于静态平衡。达朗贝尔通过改写牛顿的第二运动定律得到了自己的定理，将广为人知的F=ma改写成F-ma=0，并将该公式解释为作用于系统上的所有力的总和为零。凭借该定理，达朗贝尔顺利解决了当时困扰众人的诸多问题，包括流体力学以及地球的分点岁差问题①。

达朗贝尔曾担任《德尼·狄德罗大百科全书》(the Great Encyclopedia of Denis Diderot)的编辑，这部作品旨在涵盖当时人类全部的知识。但天主教会显然对此书相当不满，也许主要原因在于它以理性而非灵性作为要旨。所以，他最终放弃了自己的编辑身份。后来，达朗贝尔设法陆续得到了法国国王路易十五（Louis XV）、普鲁士统治者腓特烈二世（Frederick II），以及俄国女皇叶卡捷琳娜二世（Catherine II）的青睐。从某种程度上讲，达朗贝尔的性格颇为傲慢，有着强烈的自我意识，这无疑与他和当权者之间的联系有着密切的关系。

约瑟夫·路易·拉格朗日伯爵是四人之中最年轻的一位；当他卷入到有关振动弦问题的论战时，还是个寂寂无闻之辈。尽管他拥有法国姓名，但是在意大利都灵出生和长大的。他是家里十一个孩子中年纪最小的，也是唯一活到成年的。拉格朗日很早就展示出对数学的浓厚兴趣，并在年仅19岁时便成为都灵皇家炮兵学校（Royal Artillery School of Turin）的教授。1766年，他迁居德国，接替欧拉的位置成为柏林科学院的院长。1794年，他被任命为著名的巴黎综合理工学院（École Polytechnique of Paris）的教授。拉格朗日的暮年备受抑郁症困扰，还未及50岁，他的工作成果就直线下降。于是，他将工作重心转移到管理事务方面。1793年，在法国大革命之后，拉格朗日被任命为一个委员会的主席，该委员会负责向全世界推广重量及测度的公制度量系统，这是法国对科学界最伟大的贡献之一。

拉格朗日的主要贡献是差分方程（differential equations），以及与离散介质和连续介质相关的力学领域。他在代数和数论方面也做出了卓越的贡献。他对牛顿的三大运动定律做了公式重构，即用差分方程以及变分法（calculus of variations）的形式重新构建。原有运动定律的关注点是作用于系统的力，拉格朗日却将焦点转移到系统的能量上。［2］拉格朗日引入了T-U 这个量（即系统的动能与其势能之间的差值），并使其成为力学的核心概念；它也因此被称为“拉格朗日函数”(Lagrangian)。凭借这一方法，力学定律被他用一种完全通用的方式进行公式构建，而与特定坐标系的选择无关。事实上，拉格朗日将牛顿力学变成了一个纯数学的分支。他从19岁起就开始动手撰写，直到52岁时才全部完成著作《分析力学》(Mécanique analytique，1788），这部作品在理论力学领域具有里程碑般的意义。此书的写作方式更像一本抽象的数学专著，全篇没有一幅插图。

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在18世纪，这四个人代表着欧洲数学界的精英，他们围绕振动弦的问题发表了大量信件、回忆录、论文以及演讲，在学术界掀起阵阵波澜。这几个主角在论战过程中经常变换阵营，有时候会就某些技术细节达成一致，但下一次又会相互攻讦。与现代的、更尊重事实的学术话语风格形成鲜明对比的是，他们之间的交流火药味十足，充斥着人身攻击和相互抬杠，让人不由质疑这些绅士怎么会有如此多的时间和精力做这么无聊的事情。

第一个挑起论战的是丹尼尔·贝尔努利。早在1732年，他就认识到琴弦具有基础频率，除此之外，若干其他纯音的频率为该基频的2、3、4、…倍，它们均能通过琴弦的振动被弹奏出来；他甚至推测存在无穷多个这种纯音。1740年，他写道：

有多种方式能让一根绷紧的琴弦发出许多同步产生的颤音，在理论上，其数量甚至可以是无穷多个……当［通过拨动］琴弦形成一个弧形时，第一个，也是最根本的模式就出现了；接下来，琴弦会呈现出最为缓慢的振动，并发出该琴弦能产生的最低沉的乐音，此音即为所有其他乐音的基础音。另一种模式是让该琴弦产生两个弧形，则振荡将加快两倍，琴弦会发出比基础音高出一个八度的乐音。［3］

请注意，在解释这一问题的时候，贝尔努利是如何利用音乐术语的：“琴弦”“最低沉的乐音”以及“八度”。很明显，他的双手和双耳都与真实存在的琴弦亲密接触过，这种方式与欧拉以及达朗贝尔过于抽象的理论方法相比特点鲜明、大相径庭。在他的回忆录《关于弦振动的最新理论的思考和启示》(Reflections and Enlightenments on the New Vibrations of Strings，1747—1748）中，贝尔努利写道：“在我看来，只需要关注一下弦振动的本质，不必依靠任何计算，就足以推测出相关结论。而伟大的几何学家（即达朗贝尔和欧拉）经过分析思考极其复杂和抽象的计算方法，才最终得到这一结果。”［4］1753年，贝尔努利重新加入战团，他指出，不同的振动模式可以同时存在，并同时保持相互独立；他由此发现了叠加原理（principle of superposition）。

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丹尼尔·贝尔努利或许对同行们过度使用数学方法来解决这个问题颇为不屑，但是，问题的解决的确要用到数学方法。1727年，约翰·贝尔努利（丹尼尔的父亲）曾研究过振动弦的问题，他将弦看作一串珠子，即弦的振动被视为n个点状物体的共同运动。这些点彼此相邻，并通过张力与两侧的相邻点接触。这种对真实的弦进行近似的方法要求人们必须同时求解n个常微分方程，那是一个相当烦琐的过程。1746年，达朗贝尔仅用一个偏微分方程对该问题进行重新表述，该方程就是从此以后为人所熟知的“一维波动方程”（one-dimensional wave equation）。他所做的就是让n趋向于无穷大，则单位质量相应变小，同时相邻质量点之间的距离趋近于零。在处理与连续介质相关的问题方面，这种从离散系统向连续系统的过渡是数学方法上的一个巨大进步。［5］

达朗贝尔在发表于1746年的一篇论文中，发现了波动方程的解可以用两个波来代表，它们从初始扰动开始背向传播。这两个波的形状是由弦的初始状态，即在t=0时，弦上每个点的位移和速度决定的，但扰动自身可能具有任意形状。这随即就引发了一个矛盾：弹拨琴弦的时候，琴弦最初会呈现为一个三角形，即两条直线在一个尖点处（此处，曲线的斜率无法定义）连接在一起；而波动方程有一个最基本的假设，即琴弦的任何位置均处于光滑状态，那么该方程的解怎么能是一个三角形呢？很快，这一矛盾便将争论转移到更加宽泛的话题：到底应该如何定义一个方程。方程能否包含一个尖点，即斜率会从一个值瞬间变成另一个值的点？函数的图象是否必须连续变化？当然，方程的概念如今已经得到了清晰的阐释，但是在18世纪，人们对方程的了解还很贫乏，导致相关的解释众说纷纭。

针对这一问题，贝尔努利和欧拉给出了一种不同的答案：琴弦的形状是琴弦振动所包含的所有正弦波的总和。这就完全避免了尖角问题，也更加符合振动的物理性质：毕竟，当人们弹拨吉他时，可以听见乐音，但并没有看到波沿着琴弦传播。至此，这场争论引发了一个新的问题：达朗贝尔提出的波传播的理论，以及贝尔努利提出的正弦波观点，这一对截然不同的基本事实如何才能成为同一个方程的答案？此处，我们不必讨论具体的技术细节，这会让今天的读者失去耐心；我们只需要挑出这场争论的几个片段：

作为主编以及法国大百科全书的首席数学权威，达朗贝尔从未忘记自己的这个身份，他在《弦的振动》(Vibration of Chords，1745）一文中写道：“大体上……我坚信我是第一个解决该问题的人；在我之后，欧拉先生给出了几乎完全一样的解决方法，唯一的区别就是他的方法似乎更冗长一点。”［6］贝尔努利在一封寄给欧拉的信（1750）中写道：“我没法弄清达朗贝尔先生到底想说什么……除了摘要，他给不出任何一个具体的例子。依据他的观点，一根琴弦的基本声音［频率］为1，而其他的声音［频率］分别为［基频的］2、3、4等整数［倍］，我很好奇他如何得出这样的结论。他在试图模仿你，但是在他的文章中，除了他的［这种行文］风格，我找不到一点事实。”［7］

即使是一贯温文尔雅的欧拉也逐渐失去了耐性，没心思和达朗贝尔周旋下去。1757年，在一封寄给法国数学家皮埃尔·莫佩尔蒂（Pierre Maupertuis）的信中，他写道：

达朗贝尔先生通过论战让我们火冒三丈……他对自己的观点确信不疑，还炫耀在当初和［丹尼尔·］贝尔努利先生就流体力学进行的论战中获得了最终的胜利，尽管每个人都同意实验结果站在贝尔努利先生这边。如果达朗贝尔先生有克莱罗先生［亚历克西斯·克莱罗（Alexis Clairaut），在差分方程方面有所贡献的法国数学家］那样的坦率，他就该立刻缴械投降。但就事情的发展来看，如果法国科学院公开表示会将他的观点记录下来，那么数学科（这一章节）在很多年内都将充斥着关于振动弦问题的争论，而这些东西没有丝毫意义，因此在最后的合集中最好还是将达朗贝尔先生就该话题发表的言论压制下来。他还要求我承认从他那里剽窃了很多东西。但是，我的耐心已经耗尽了，我要让他知道，我什么都不会做，他随便到什么地方去发表他的东西，我才不会出面阻止。在《百科全书》里，他有足够多的东西填满《声明》(Claims)那篇文章。

这之后，“达朗贝尔先生不再骚扰我了，我已经下定决心，无论他发表什么针对我的言论，我都不会和他兵戎相见”［8］。

表面上，达朗贝尔和其他“几何学家”（这是他给予自己同行的称呼）之间的分歧并不完全与学术相关。由于达朗贝尔与普鲁士国王腓特烈大帝关系特殊，而且他是柏林科学院的院长，同行们或许都曾试图与他维持良好的关系。但是，当欧拉最终与达朗贝尔决裂时，出于打击报复，后者劝说腓特烈把身为科学院首席数学家的欧拉轰走，换上拉格朗日。

在论战的后期，拉格朗日也加入战团。尽管作为一名数学物理学家，拉格朗日的声誉日隆，但在其他人已经得到的成果之外，他几乎没有任何新的进展。有时，他的数学推理难以让人信服，特别是在那篇从离散介质谈到连续介质的有关弦的论文中，他使用的逻辑漏洞百出。为掩饰这些问题，他用了大段的冗词赘句［据数学历史学家莫里斯·克莱恩（Morris Kline）所言，“基本空洞无物”］。［9］但是，我们或许还是可以稍微谅解一下他，因为当时，拉格朗日的精力主要放在他的代表著作《分析力学》(Mécanique analytique，1788）上面。

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如果就辩论的激烈程度以及主角们各具特色的鲜明性格而言，这场发生在18世纪的关于弦问题的论战，似乎预兆着20世纪20年代那场关于“量子力学”（quantum mechanics，简称“QM”）本质的争论。和关于弦的论战非常类似，QM争论的焦点是物质在亚原子层面是离散还是连续的。电子是否应该被视为一种物质粒子或者一个波——抑或两者皆是？“波粒二象性”（wave-particle duality）让每一个勇于钻研的理论物理学家都深陷其中，维尔纳·海森伯（Werner Heisenberg）提出了矩阵力学（matrix mechanics），与他唱对台戏的是埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）基于连续介质的“波动方程”（wave equation）［该方程的发现受到音乐的启发，路易斯·德布罗意（Luis de Broglie）将电子围绕原子核的运动描绘成具有不同频率的波的组合，与小提琴的琴弦相类似，后者的形状是琴弦振动包含的所有正弦波的总和］。

有意思的是，量子理论的好几位先驱者在其大半生中都钟爱音乐：阿尔伯特·爱因斯坦和他那把标志性的小提琴已经成为一个传奇（很少有人知道他还弹奏钢琴），马克斯·普朗克和保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）都是不错的钢琴家，而维尔纳·海森伯最初是想投身音乐事业，之后才转入理论物理领域。他们与这些18世纪的数学家形成了鲜明对比，后者喋喋不休地争论着让他们着迷的弦问题，大概除了欧拉，无人对音乐保持着基于艺术的终身爱好。他们演奏着或可被称为“数学音乐”（mathematical music）的乐曲，将毕达哥拉斯学派对数值比例的痴迷带到了一个新的高度。青年时期的欧拉，年仅23岁时就撰写了一部关于音乐理论的长篇大作——《一种新的音乐理论》(Tentamen novae theoriae musicae，1730）。在文中，他尝试依据“愉悦”的程度给不同的和弦标定某个数字尺度。这是一项雄心勃勃的工作，不过，据他的助手和未来的女婿尼古拉·菲斯（Nicolas Fuss）所言，“这篇论文造成的影响非常有限，对音乐家来说，它包含的几何知识过于庞杂，而在几何学家看来，它囊括的音乐知识又太过繁复。”［10］

最终，这场关于弦的伟大论战并没有完全解决引发这一讨论的问题：如何用数学公式来确定以及表征振动弦的形状？尽管四位数学家已经接近问题的答案，但是，人们不得不再等上半个世纪，直到另一位法国人给出了最终的解决方案。关于他的故事，我们将在下一章讲述。

毫无疑问，这场论战对微积分之后的数学发展产生了深远的影响：它探索了应对连续介质问题所要使用的技术手段，而振动弦正是这类问题最简单的范例。这场论战也起到了跳板的作用，人们由此开始研究其他诸多的连续系统问题，从质量分布不均的琴弦到振动的梁、膜、钟以及气柱。简而言之，这场论战导致了人们称之为理论声学（theoretical acoustics）的诞生。但是，它对音乐是否产生了影响？毕达哥拉斯主义者的梦想就是将音乐置于数学的规范之下，但是音乐遵循着自己的道路，特立而独行，尽管存在一些明显的例外，却对数学这位睿智伙伴的影响具有免疫力。两者之间存在的亲密关系为众人称道，但这种关系在很大程度上只是一厢情愿。

注释

［1］  关于贝尔努利家族的更多故事，包括约翰·贝尔努利和约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（Johann Sebastian Bach）之间的那次虚拟会面，可参阅阿里·马奥尔所著的《e：一个数的故事》(e: The Story of a Number，美国新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1994），第11章。

［2］  微积分有一个基本问题，即对于某个函数f(x)，找到能使函数值最大或者最小的x——x可以是单个数值，也可以是多个。变分法则对这个问题进行了扩展，即对于某个定积分 ，此处，找到能使其获得最大值或者最小值的函数 f。

［3］  摘自克莱恩所著的《从古至今的数学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)，第2部，第508页。

［4］  此处以及之后对这四位主角之间的交流所做的摘录均来自特鲁斯德尔（Truesdell）编著的《柔性或弹性物体的理性力学：1638—1788》(The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies: 1638–1788)，第3部分，第255页。

［5］  波动方程运用了牛顿第二运动定律，即F=ma，来计算两个量：琴弦上每个点上下起伏时的加速度，以及琴弦上两个相邻点之间的斜率变化率，该变化率决定了作用于这两个点的垂向作用力。波动方程的数学表达式为：，其中，u=u(x, t)，代表琴弦上距离端点x处在t时间的垂向位移； 符号和分别是u对于x和t的二次导数（因此符号里有一个2次幂）；常量c则表示扰动沿着琴弦传播的运动速度。c的大小取决于张力T，即保持琴弦处于拉张状态的力，并且琴弦的线密度为m；具体而言，c=。波动方程还可以用于解释其他各种现象，包括弹性杆的扭转振荡和管风琴中空气柱的振动。

前文提到的叠加原理基于一个条件，即波动方程是线性的，仅涉及一次变量及其导数。在线性方程中，两个或多个解之和同样被视为一个解。

［6］  鲁斯德尔，第245页，第3段。

［7］  同上，第254页，第4段。

［8］  同上，第273—274页。

［9］  克莱恩，第2章，512页。作为拉格朗日可疑逻辑的一个例子，当n=∞时，他将sin替换为（在18世纪时，人们经常写成n=∞，而今天我们则写成n→∞），而忽略了一个事实，那就是p可能会具有和n同样级别的数值。

［10］  摘自大卫·布鲁斯特（David Brewster）所著的《欧拉书信集》(Letters of Euler)的第一卷（纽约：1872），第26页。罗伯特·爱德华·莫里茨（Robert Edoard Moritz）所著《关于数学和数学家（数学大事记）》［On Mathematics and Mathematicians（Memorabilia Mathematica），纽约：达夫出版社，1958］，第156页。

如果想了解更多欧拉的音乐偏好，可以阅读彼得·佩西奇（Peter Pesic）撰写的《欧拉的音乐数学》(Euler’s Musical Mathematics)，参见www.academia.edu/ 3771204/Eulers_musical_ mathematics.

①  分点岁差（precession of the equinoxes），在天文学中指的是以春分点（或秋分点）为参考系，观测到的回归年与恒星年的时间差。起因于地轴缓慢地绕着垂直于黄道的轴线旋转。——编者注

编外篇B

机灵鬼

机灵鬼（Slinky）是海军工程师理查德·汤普森·詹姆斯（Richard Thompson James）于20世纪40年代发明的一种玩具，至今仍旧让孩子和大人为之着迷。它能够从书架上优雅地弹跳下来，或者无须借助外力就能跳下楼梯（参见图B.1）。1945年11月，机灵鬼首次出现在位于费城的金贝尔（Gimbel）百货公司的柜台上，立即大获成功（库存的所有400个标价为1美元的机灵鬼在90分钟内就全部售罄）。“机灵鬼”的名字来自理查德的妻子贝蒂·詹姆斯（Betty James）；在《韦氏字典》(Webster’s Dictionary)里，它被定义为一个形容词：“以悄然无声、光滑蜿蜒的运动为特征。”但是，很快它就变成了一个名词，以及一个家喻户晓的名字。2002年，宾夕法尼亚联邦①授予机灵鬼以殊荣，宣布它为本州的官方玩具。甚至还有一首专门为它写的歌——《这就是机灵鬼！》(It’s Slinky!)，由荷马·费斯佩曼（Homer Fesperman）作词，查尔斯·韦格利（Charles Weagley）作曲。［1］

图B.1 机灵鬼

但是，机灵鬼并不只是一种玩具，声学上的许多原理都能够用它来演示。在光滑的地板上，将机灵鬼的一端系在桌子腿或者其他较重的物体上，用手攥住另一端，然后向后退，将它拉长十几英尺②。接下来，手中依旧攥着机灵鬼的一端，让这一端与机灵鬼呈直角进行慢速的往复运动。如果你能让这种运动与机灵鬼的固有频率同步，那么它的形态将变成半个正弦波。如果你以两倍的频率移动你的手，它的形状就会变成一个完整的正弦波，同时出现两个相同的弧形以反方向来回运动。只要更小心地控制手的运动时机，你甚至可以激发第三个和第四个谐波。这是一个令人信服的证据，表明振动的琴弦上的确可以出现和谐泛音。在第四章中，丹尼尔·贝尔努利和欧拉提出“驻波”作为波动方程的答案，而该答案在这个实验中也得到了体现。

然而，还不止于此。如果你依然攥着机灵鬼的一端，然后沿着其垂直方向猛地一抖，扰动就会顺着机灵鬼传播，直至抵达另外一端，也就是固定的那一端。接着，它会翻转过来，重新传回到你的手上。这一现象与达朗贝尔给出的波动方程的解相吻合。你甚至可以通过拉伸或者松弛机灵鬼来增加或者减少其维持形状的张力，以此控制扰动传播的速度。

在上述两种演示中，扰动垂直于传播方向，并形成“横波”。但是，声波在空气中的传播形式是“纵波”，即扰动（空气的快速压缩和膨胀）的方向与传播方向一致。这种方式也能够通过机灵鬼演示出来：用手攥着机灵鬼的一端，然后顺着机灵鬼的延展方向猛地一抖。这时，你就会看见压缩波顺着机灵鬼向前传播，直至抵达固定的一端。在那里，它再作为回波被反射回来。

如果机灵鬼在两百多年前就被发明出来，也许那场有关弦的伟大论战就根本不会发生。机灵鬼是一根真实弦的低频模型，能够让扰动沿着它以肉眼可辨的低速传播。对于真实的弦，波的频率相当高，扰动又过于细微，以至于很难分辨。事实上，首先发现这些较高频率振动的是耳朵，而非眼睛。

注释

［1］  这段文字参阅了《机灵鬼》(Slinky)一文，参见http://en. wikipedia.org/wiki/Slinky。另外，还参阅了Priceonomics网站上扎卡里·克罗克特（Zachary Crockett）撰写的《机灵鬼的发明》(The Invention of the Slinky)一文，参见https://priceonomics.com/the-invention-of-the-slinky/.

①  美国宾夕法尼亚州的正式名称。——译者注

②  1英尺（foot）=30.48厘米（cm），下文同。——编者注

第五章

最珍贵的礼物

到底是什么将音乐声，即乐音，同噪声区分开来？答案取决于你询问的对象是谁，以及发问的时间。大约在1,900年之前，人们基本上持有以下共识：乐音由周期性的振动产生，这种具有精确规律的往复振动会产生清晰可辨的音高（参见图5.4）。其他的声音则是噪声，其特点是无周期性且随机变化的振动。但是，对后古典主义音乐而言，这种区分方法几乎无人问津。法国作曲家埃里克·萨蒂（Erik Satie，1866—1925）写过一首名为《游行》(Parade)的作品，机械打字机和汽笛声在其中发挥了非同寻常的作用。与此相应，美国先锋派作曲家约翰·凯奇（John Cage，1912—1992）在1959年创作了《威尼斯之声》(Sounds of Venice)。在该作品中，他用以谱曲的装置包括一架钢琴、一块大理石板、一把威尼斯扫帚、一个金丝雀鸟笼子（鸟笼的英文是birdcage，难道是凯奇在拿自己的名字Cage消遣？）、一个可以拉伸的机灵鬼，以及其他一些稀奇古怪的东西。当然，在这之前，作曲家们使用“非音乐”设备已经有几百年历史了，大多数都是缺乏音高的打击乐器。但是，这些设备主要被用于营造特殊效果，并未被视作真正的乐器。然而，正如美国作曲家科尔·波特（Cole Porter，1891—1964）所言，在今天这个喧闹的世界上，“任何事情都有可能发生”。

最简单的音乐声就是正弦波，即 y=asinωt；此处，t代表时间，a代表“振幅”（amplitude），即振动偏向任一边的最大距离，ω（希腊字母欧米伽）是“角频率”（angular frequency），依据公式ω=2πf，这个量与真实频率f（每秒钟的循环次数）成正比。周期（period）T，即振动完成一个循环的时间，是频率的倒数，因此T=1/f=2π/ω。以中央C以上的音符A为例，其频率为每秒440次（440 cps或Hz），因此周期为1/440秒。这种最简单的振动有三个不同的名字，具体用法取决于使用者：数学家会称其为“正弦函数”（sine function）或者“正弦波”（sine wave），物理学家则称其为“简谐运动”（simple harmonic motion，简称SHM），而音乐家则喜欢称之为“纯音”（simple tone或者pure tone）。图5.1展示了正弦函数的一个完整周期。

图5.1 函数y=sinx的图象

像任何声音一样，乐音必须由某些振动的物体产生，例如音叉、吉他弦，或者管风琴的气柱。以空气为介质，振动以压缩波的形式传播，即空气分子间的一系列压缩和扩散。当声波到达我们的耳朵时，会被转换成神经脉冲，并最终抵达大脑。在那里，它们会留下听觉效果，即具有一定音高的音符。但是，这些振动的频率必须处于一定范围内，我们的听力才能分辨。频段的下限约为20 Hz，低于此阈值的任何声音都是人耳无法辨识的次声波（infrasound）。在频段的另一端，年轻人所能听到的最高频率约为20,000 Hz，但是随着年龄的增长，这个最高值可能会下降到10,000 Hz（一个全八度）甚至更低。所有频率高于这个阈值上限的声音都被归类为超声波（ultrasound），人耳对此无法辨识。不过，某些动物，例如蝙蝠，却能够清晰地听见它们。

20～20,000 Hz这一频段囊括了10个八度。要知道，一架三角钢琴也不过跨越7个八度而已。我们的眼睛则更是相形见绌，所能观测到的（光线）在电磁波频谱内仅占两个八度，即4,000～7,000埃米（1埃米=100亿分之一米=10-10 米），其对应的频段为750～430太赫（THz，1THz=1万亿Hz=1012 Hz）。而且，耳朵在另一方面，甚至可以说是最显著的一个方面，远远超过眼睛：眼睛每次仅能分辨一种波长或一种颜色（例如，当黄色和蓝色混合后，人眼只能看到绿色），耳朵却能同时听出许多频率，而且能将它们一一区分开来。人耳具有将声音分解成为若干纯音的本领，如同光学三棱镜能够将白光分解成一组彩虹色一样，这就好像是听觉方面高效的三棱镜。如果没有这件礼物，我们就无法分辨出（音乐中）所用到的不同乐器。即使演奏同一个音符，小号与小提琴也有着明显的音色差异，但如果我们丧失了分辨音乐的颜色，也就是音色的能力，这两件乐器奏出的声音在我们听来便别无二致。

从音乐的观点来看，纯音听起来相当单调。唯一能够发出接近纯音的声学（与其相对的是电子类）器材是音叉。每个音叉都有其固有的频率，但是由大量音叉组成的管弦乐队显然无法获得多数听众的青睐。幸运的是，大部分乐器都能发出“复合音”（compound tones），复合音都有一个最低的同时也是基础的音符，以及一系列频率是基频的1、2、3、…倍的其他音符（打击乐器是个例外，它们的泛音是非和谐的）。这些和谐泛音，每一个都有其固有幅度，共同构成了声音的“声谱”（acoustic spectrum）。图5.2对比了长笛和小号的声谱：相对而言，长笛基本没有谐音，因此它的音色醇厚，较为柔和，小号则有许多幅度较高的谐音，因此音色华丽而绚烂。

图5.2 长笛和小号的声谱

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此处，我们必须暂时把话题转移到三角函数上。在前文中，我们提到正弦波 y=asinωt的周期为2π/ω。一般说来，所谓“周期函数”（period function），指的是对于任意x取值，函数 y=g(x)均满足g(x+P)=g(x)的条件。这就意味着沿x轴，每隔P个单位距离，g(x)的图象就会重复一次。满足条件的P的最小值就是函数的“周期”（period），或者“波长”（wavelength），即相邻波峰或者波谷之间的距离（显而易见，如果x增加的数值为P的整数倍，函数图象就会重复，这就是为什么我们要专门强调P的最小值）。“频率”（frequency）指的是图形重复其自身的重复率，等于周期的倒数：f=1/P。

根据三角函数理论，我们可知函数 sinx、sin2x、sin3x、…、sinnx、…的周期分别为2π、2π/2、2π/3、…、2π/n、…，因此其频率分别为1/2π、2/2π、3/2π、…、n/2π、…，均为1/2π的整数倍。如果我们将这些函数做线性组合，也就是说，将每个函数都乘以一个常数，然后将各项进行加和，便得到以下表达式：

a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx+…

这仍是一个周期为2π的周期函数，但是它的图象与单纯的正弦波完全不同（这一点可以从图5.3展示的函数sinx+1/2sin2x的图象中看出）。由于可以赋予这个表达式中的系数任意数值，还可以随心所欲添加任意多项，我们就能生成大量不同的周期函数，每个函数都有自己的波形，并且每个波形都代表一个具有特定音高和声谱的乐音。图5.4展示的就是这样一个波形。

图5.3 函数sinx+1/2 sin2x的图象

图5.4 一个乐音的波形

卓越的法国数学家和物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）在其意义深远的论文《热的理论》(The Theory of Heat，1822）中，证明上述理论反过来讲也是正确的：任何周期为2π的周期函数，都要受到某些限制条件的制约，即它是无穷多个正弦和余弦波的总和，而这些波的周期分别是2π、2π/2、2π/3、…，且其频率分别是1/2π、2/2π、3/2π、…。这一由无穷多个波组成的和被称为三角级数（trigonometric series）或傅立叶级数（Fourier series）。我们说f(x)可以用其傅立叶级数表示，即可以将其写成：

在该公式中，常量被写成a0/2的原因是一个技术性细节，此处，我们不做详细解释。对于任何特定的函数f(x)，我们可以使用欧拉早在1750—1751年就发现的一对公式（该公式以欧拉的名字命名为“欧拉公式”）来算出系数an和bn。毫无疑问，在那场关于弦问题的论战中，四位主角的发现已经非常接近傅立叶定律。但他们之所以功败垂成，是因为并没有认识到，即使某个函数的图形中存在尖角（例如琴弦被弹拨时的形状），无穷多个正弦和余弦项依然会收敛并形成该图形。图5.5展示出函数f(x)的图象，其中f(x)=x，f（-π）=f（π）=0，在-π < x < π的取值范围内，该函数被视为一个周期函数；其傅立叶级数为。图5.6显示出该级数前四项的和。我们可以看出，这些级数项通过累加，就能在其定义区间的末端逐渐逼近f(x)=x的图形。［1］

图5.5 周期函数f(x)在（-π，π）这一区间的图象，其中f(x)=x，-π < x < π，f（-π）=f（π）=0

图5.6 函数f(x)=x（-π < x < π）前四项的傅立叶级数之和

对音乐而言，傅立叶定理的意义不能被过分夸大：因为每个周期性振动都能产生乐音（当然了，假设的前提是这些振动的频率都处于人耳可以听见的频段），该振动可以被分解为单个谐波，且分解方式是唯一的。换言之，每个乐音有且仅有一种声谱，这就像是它的谐波指纹。在某种程度上，包含乐音的泛音所发挥的作用类似于数论中的素数：它们是生成所有声音所必需的基本构建。

傅立叶身上充分体现了法国的一个悠久传统，即国家培养出伟大的科学家，而科学家们同时也投身于军队或者公共管理机构，为国效劳。傅立叶出生于法国中北部的欧塞尔（Auxerre），后被一所遵循本笃会（Benedictine）信条的军校录取。在那里，他很早就展示出在数学方面的天赋。年轻的傅立叶希望成为一名炮兵军官，但是由于他来自较低的社会阶层，因此不得不在军事学校谋求一份数学教员的工作。1789年，他积极支持法国大革命，后来因为保护恐怖统治时期（Reign of Terror）遭受迫害的人而身陷囹圄，险些丧命于断头台。渐渐地，由于出色的工作，傅立叶收获颇丰，并在1795年获得了久负盛名的巴黎综合理工学院的教授职位。当时，拉格朗日也在那里教书。

1798年，拿破仑·波拿巴（Napoleon Bonaparte）皇帝发动了入侵埃及之役，他邀请了大批“专家”加入自己的幕僚队伍。这些来自不同领域的杰出人士走遍这个古老的国度，四处搜寻考古宝藏。傅立叶也加入其中，并被任命为埃及南部的总督，同时负责法国军队的工厂。1801年，拿破仑被英国人击败。随后，傅立叶返回法国，被委任为格勒诺布尔地区的总督。他的职责之一是监督道路建设和排水工程，并在工作的过程中展示出非凡的能力。似乎这还不足以让他忙碌，他还被任命为埃及学院（Institut d’Égypte）的秘书长，并在1809年完成了一部与古埃及相关的重要作品——《历史的前奏》(Préface historique)。

许多18世纪与19世纪的学者涉猎之广泛，往往让人非常惊诧。在忙于公职的同时，傅立叶还潜心于数学研究，涉及包括方程理论以及数学物理等在内的诸多领域。年仅16岁的时候，他就提出了一种新的方法来证明勒内·笛卡尔的符号法则（rule of signs），该法则用于确定多项式的正根或负根的个数。在傅立叶由于下楼梯时不慎摔倒而意外故去前，他正忙于撰写一本名为“确定性方程分析”(Analyse des équations déterminées)的书，在书中他预测了线性规划（linear programming）。具有讽刺意味的是，尽管傅立叶发现的定律（即傅立叶定律）使他名垂千古，但人们只记得他这项工作与热量在固体中的传导相关，而没有注意到该定律与声学之间的关系，这实在是出人意料。［2］

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傅立叶定律本身是一个纯粹的数学概念，但令人印象深刻的是，它证明我们的耳朵可以将一个复合音分解成为若干纯音。这就是欧姆声学定律（Ohm’s acoustic law）；该定律的公式是由德国物理学家格奥尔格·西蒙·欧姆（Georg Simon Ohm，1789—1854）于1843年提出的，但他更为出名的成果是以他的名字命名的电学定律（即“欧姆定律”）。我们具有将乐音分解成若干单个纯音的能力——更广泛而言，我们可以通过双耳将同时被演奏出来的若干音符的组合解析成一个个独立的音符——这是上苍赐予我们的最不可思议的礼物。这正是音乐和声理论的基础所系，它使我们能够听出三和弦（例如C–E–G ）的每一个音符，即使它们被C大调和弦同时演奏出来。视觉并不具备这样的能力：正如前文已经提到的，当两种颜色被混合在一起时，我们能看到的只是单独的第三种颜色，并不存在光学和弦这种东西。

我们必须感谢一个人，作为19世纪最伟大的科学家之一，他为我们详细解释了这份天赐的礼物，此人就是赫尔曼·费迪南·路德维希·冯·亥姆霍兹（Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz，1821—1894）。亥姆霍兹也许是最后一位科学通才，此人智力超群，在数学、物理学以及生理学方面均做出了突出的贡献。他还写就了两部具有里程碑意义的专著，即使放在今天也依旧影响深远：《生理光学手册》(Handbook of Physiological Optics，三卷本，1856）和《论乐感作为音乐理论的生理基础》(On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music，1863；该书被列入本书参考书目）。亥姆霍兹既是理论学家，又是实验学家，这种特质在他那个时代已经很罕见了，在如今这个术业有专攻的年代，更是早就被人抛在脑后。他还是一位技艺高超的钢琴家，对音乐理论了如指掌。最重要的是，亥姆霍兹是一位优秀的科学普及工作者，他的著作《科学专题之通俗讲座》(Popular Lectures on Scientific Subjects，1873，1881，共两个系列）就是这样一个典范。该书题材广泛，其中有一章对引起和谐感觉的生理原因做了充分的论述。［3］

亥姆霍兹出生在普鲁士的波茨坦，其父是一家高级中学的校长，一直希望自己这个儿子能学习医学。因此，在1849年就任柯尼斯堡大学（University of Königsberg）生理学教授一职前，年轻的亥姆霍兹的职业生涯开始于在普鲁士军队中担任军医。1851年，他发明了眼底镜（ophthalmoscope），这是他的首个重大贡献，可以帮助医生窥视到眼睛的内部结构。他还发展了托马斯·杨（Thomas Young）的三原色理论。1852年，他取得了另一项早期成就，成为测定神经脉冲进入大脑的传导速度的第一人；他发现这一速度在25米/秒至38米/秒，远远低于从前的认识。

不久，亥姆霍兹的注意力转移到耳朵的解剖学方面。通过大量的实验，他发现数以千计的微小共振纤维存在于耳蜗之中。耳蜗是位于耳朵内部的一个螺旋结构，声波通过它被转化为传递给大脑的神经脉冲。如果我们继续向耳蜗螺旋结构的深处探究，就会发现这些纤维变得越发纤细，因此能够对不同频率做出响应——共振纤维越小，其响应的频率越高。这种频率的空间分布意味着，耳朵实质上能够对听到的声音进行傅立叶分析。自从亥姆霍兹提出他的听觉感知理论以来，该理论历经多次修改，但是，听觉神经脉冲到达大脑的过程中究竟发生了什么，人们至今仍旧无法完全确切地了解。

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大约在1855年，亥姆霍兹的兴趣转向了所谓的“混合音”（combination tones），这一现象是由德国管风琴家、作曲家和音乐理论家格奥尔格·安德烈斯·佐尔格（Georg Andreas Sorge，1703—1778）于1745年首次发现的，著名小提琴家和作曲家朱塞佩·塔蒂尼于1754年再次察觉到这一现象，混合音也因此以他们二人的名字命名。塔蒂尼发现，如果两个响亮的乐音同时鸣响，就可以听到第三个乐音。它非常微弱，几乎很难被人察觉，其音高对应于最初两个乐音的频率之差。这种“鬼音”在当时还是一个谜，因为人们无法将它归因于原始声音所产生的泛音。

亥姆霍兹解释说，这种现象的发生是因为耳鼓的弹性特征中存在着一点非线性。如果耳鼓做出严格的线性响应(y=kx)，那么任何纯音抵达耳鼓时都只会被简单地增益放大，而其频率不会有任何变化。但是假设响应中存在稍许的非线性项，y=kx2。当两个具有相同幅度a（我们可以取a=1），但角频率不同（分别为α和β)的纯音抵达耳鼓时，合并后的输入为 x=sinαt+sinβt，输出则为 y=k（sinαt+sinβt)2。将该表达式展开，并利用三角函数的特性 sin2A=（1-cos2A)/ 2 和2 sinA sinB=cos (A-B)-cos (A+B)，我们就能得到：

y=k[1–（cos2αt+cos2βt)/2–cos(α+β)t+cos(α–β)t]

括号中的常数项1仅仅改变了振动的平衡点，因而并非声学研究的关注点，而cos2αt和cos2βt则是原始乐音的八度，因此可被解释为泛音。但是，cos(α+β)t和cos(α–β)t 这两项是新出现的乐音：第一项是“和音”（summation tone），其频率比两个原始乐音都要高出许多，第二项是“差音”（difference tone），佐尔格和塔蒂尼发现的正是它，其频率比两个原始乐音都低不少。亥姆霍兹给出的解释让人们明白，这些乐音并非什么“鬼音”，而只是一种物理现象。

在亥姆霍兹的时代，即使是泛音这种确凿无疑存在的现象也未被普遍接受。为了证实泛音的存在并回应那些质疑的声音，亥姆霍兹使用了一系列“共鸣器”（resonators），这是一些尺寸各异的中空玻璃球体。鉴于音乐声是由诸多泛音组合而成的，因此每个球体仅对一种频率（即一种纯音）发生响应。如此这般，一系列的共鸣器就起到了原始的傅立叶分析器的作用，作为声学上的分光镜对声音进行分类。但是，亥姆霍兹所做的并不仅限于此：1863年，他发明了一种电声装置，精心设计、定时发出的电磁脉冲能够触动音叉发出纯音，该装置可以将几种纯音组合在一起，模拟不同乐器的声音以及语音中的元音，可谓现代电子合成器的前身。古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff）和罗伯特·威廉·本生（Robert Wilhelm Bunsen）（此二人均为亥姆霍兹在海德堡大学的同事，亥姆霍兹于1858年至1871年担任该校的生理学教授）当时也发明了光学分光镜，我们或许可以认为亥姆霍兹的“声学光谱学”（acoustic spectroscopy）恰巧与这项发明同时出现。在经典物理学即将谢幕之际，他们的发明创造无疑成为实验科学的亮点。

但是，亥姆霍兹在理论物理和实验物理两方面均游刃有余，因此他的工作还涵盖了其他诸多领域，例如热力学、流体动力学和电磁学等。1847年，他推导出了自己的能量守恒定律（law of conservation of energy）公式，这是19世纪物理学的支柱之一。接下来，他将注意力转向太阳，并在1854年提出一套理论，试图解释太阳庞大的能量输出是由引力吸积作用引起的（现在我们知道这一作用产生的能量远远少于太阳的实际输出，太阳的能量主要来源于其内部的核聚变）。然而，直到1871年被聘为柏林大学（University of Berlin）的物理学教授之时，亥姆霍兹才“正式”成为一名物理学家，而他也在这个职位上度过了余生。［4］

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《论乐感》（On the Sensation of Tone）一书被认为是19世纪最经典的科学专著之一。这本书（英文译本）密密麻麻地印满了576页（其中20个附录就占了229页），内容涵盖面异常广泛，包括声学、生理学和解剖学、音乐理论和音乐史、乐谱，以及大量的高等数学内容。我在以色列理工学院（Technion-Israel Institute of Technology）准备博士论文期间，曾决心从头到尾研读这本著作，但很快我就明白这是个几乎不可能完成的任务。最大的挑战不是书中涉及音乐的部分，也并非数学讨论的内容，而是那些长得不可思议而又纷繁芜杂的德语散文。尽管这些章节已经被翻译成了英文，但是很多段落依旧包含着大段的长句子，而且动词总是出现在这些句子的末尾。唉，这部著作以最好的（或者最糟的）19世纪风格写就，通篇散发着“掉书袋”的迂腐味道。要想从如此丰富的信息中挖掘出一条通路实非易事，我的收获并没有与投入的巨大精力成正比。

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傅立叶和亥姆赫兹的成果是声学黄金时期的最高成就之一。但是，我们必须再次发问：它们真的对作为艺术的音乐产生了影响吗？以下是伊戈尔·斯特拉文斯基就该问题给出的回答：“虽然我一生都靠声音过活，但是，从学术的观点来看，我甚至根本不了解声音到底是什么东西。我曾经试着读一下瑞利写的《声学理论》(Theory of Sound)，却没办法从数学的角度弄懂那些最简单的解释。”［5］第三代瑞利男爵约翰·威廉·斯特拉特（John Willam Strutt，3rd Baron Rayleigh，1842—1919）是经典物理学步入黄昏之时英国最杰出的物理学家。1877年，瑞利男爵发表了《声学理论》，迄今为止，这部长达上千页的两卷本仍是声学领域的权威著作。［6］这本皇皇巨著几乎涵盖了该领域的各个方面，从琴弦、气柱、膜、钟和板的振动，到声波在空气和水中的传播等。书中充分利用了当时高等数学领域最先进的技术，但无论如何，它都无法成为一部畅销书。当然，它也从未打算对音乐产生什么直接的影响，事实也的确如此。

注释

［1］  傅立叶定律可以推广到具有任意周期的函数，而不仅仅适用于周期为2的函数。它也能扩展到非周期函数，在这些函数中，傅立叶级数的离散频谱变成了连续频谱。如果想更好地了解这一主题，请参阅欧文·克雷斯奇格（Erwin Kreiszig）所著的《高等工程数学》(Advanced Engineering Mathematics)，第四版［纽约：约翰·威利（John Wiley）出版社，1979］，第10章。

［2］  关于傅立叶生平的章节摘自阿里·马奥尔所著的《三角函数的乐趣》(Trigonometric Delights，新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1998），第15章。

［3］  摘录的英文翻译由达夫出版社于1962年出版。

［4］  关于亥姆赫兹的生平，请参阅莱奥·柯尼希斯贝格尔（Leo Königsberger）所著的《赫尔曼·冯·亥姆霍兹》(Hermann von Helmholtz)，由弗朗西丝·A. 韦尔比（Frances A. Welby）翻译（纽约：达夫出版社，1965）。

［5］  摘自伊戈尔·斯特拉文斯基和罗伯特·克拉夫特（Robert Craft）所著的《回忆与评述》(Memories and Commentaries，伦敦：Faber & Faber出版社，2003）。

［6］  纽约：达夫出版社，1945。

第六章

音律学

或许，没有任何课题能像如何将一个八度分割为更小的音级这样吸引音乐理论家的眼球。正如我们在第二章中了解到的，毕达哥拉斯曾尝试实现这一目标，却因为出现几个重大失误，铩羽而归。然而，音乐演奏家们认为，如果仅仅涉及一个声音或者一种乐器，那么他们所使用的音阶足以完成音乐表演。事实上，他们所用的音阶完全依赖于比例2:1、3:2以及4:3，即简单的数值序列4:3:2:1，这引起了痴迷于数字的毕达哥拉斯主义者及其中世纪追随者的强烈兴趣。比例9:8就是“二度”（second，这是一个全音，用3:2除以4:3就可以得到），而如果加上这个音阶，则得到的四个音程就可以浓缩为序列12:9:8:6（12:9=4:3，即四度；12:8=3:2，即五度；12:6=2:1，即八度；9:8，即二度）。所有其他音程都被视为不和谐音，应该避免使用或至少将它们转化为和谐音。

但是，中世纪的音乐家们开始注意到两个新的音程，它们听上去像以前公认的那些和谐音一样令人心情愉悦，包括“大三度”（major third，例如从C到E）和“小三度”（minor third，例如从C到降E），分别对应于当时仍被排除在和谐音之外的比例5:4和6:5。这些新的音程，及其转回音程，即“小六度”（例如从C到降A）和“大六度”（例如从C到A）——分别对应于比例8:5和5:3，不久就被列入和谐音的行列，受到作曲家的热烈欢迎。然而，这就要求毕达哥拉斯音阶做出调整，使之更符合声学定律。为此，意大利作曲家和音乐理论家焦塞夫·扎理诺（Gioseffo Zarlino，1517—1590）创造了“纯律音阶”（just-intonation scale）：

我们注意到该序列中的第三个音符，即5:4=80:64，比其对应的毕达哥拉斯音阶81:64略小一点。如果我们将该序列中的每一项都除以其前面一项，就得到了这些音符之间的音程：

由音阶组成的这一序列中包括纯律大调音阶［其中还有一个相应的小调音阶，只要将第三个和第六个音符（在一个变体中，还要加上第七个音符）降低半个音符就能获得］。然而，我们应该谨记在心，音乐演奏家几乎总是根据乐名（八度、五度、全音等）而非频率比例来确定音程。

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纯律音阶的优点在于它是基于泛音列的前六个乐音建立的，而几乎所有的乐器都可以奏出这一泛音列（参见第39页的图3.3）。因此，该音阶比纯数学的毕达哥拉斯音阶更符合声学定律。但是，它同样存在一个颇令人苦恼的问题，即有两个差别微小的音程，9:8和10:9，它们皆被称为“二度”或全音。这两个音程的差别极其细微，但是依然可以被听出来。对普通的听众而言，音程（9:8）:（10:9）=81:80=1.0125这种程度的杂音是可以容忍的（人耳能区分的音程可以细小到1.003）。然而，假设你试图转换一段旋律，例如，从C大调转换到D大调，并在具有固定预设音符的乐器（比如钢琴）上演奏，那么，C大调上所有的音符都应该依照9:8的比例升高，并产生以下序列：

我们可以看到，第二个音符现在变成了81:64，比原有的5:4（= 80:64）稍高一点；而第三个音符则对应于45:32，比原有的3:2（= 45:30）略低一些：该序列与（钢琴）键盘的音符格格不入。

对于诸如小提琴或长号这类拥有连续音符的乐器，就不存在这种问题；但在键盘或带有固定孔洞的管乐器上，则无法进行移调（transposition）。为了解决这一问题，巴洛克时代的大键琴经常用到多达三排键盘，每一个对应不同的音调。当然，这也使人们在演奏时困难重重，并且演奏者仅能在已有的音调之间进行移调。随着音乐变得越发复杂，逐渐从单音发展为复音（一次能听见几个声音），这就成为一个非常棘手的问题。针对这个问题，解决的办法就是找到一种新的音阶，其中一个八度分被为12等份的半音，每一个与其前一个的频率之比均为:1。这种无理数在毕达哥拉斯主义者眼中实属邪魔外道，因为它无法用整数间的比例来表示。它的十进制数值约为1.0595，比纯律半音16:15（约为1.0667）仅少了不到0.72%，大多数音乐家都能容忍这种听觉上的差异。

“十二平均律音阶”的历史可以追溯到塔兰图姆（Tarentum）的亚里士多塞诺斯（Aristoxenus，约公元前335年）。此人曾师从亚里士多德，一生著述颇丰，据说他曾写过200多本数学和音乐理论方面的书。但令人遗憾的是，只有少数几本以残卷的形式流传下来，其中就有《和声学》(Harmonics)，此书是古希腊最早的音乐理论著作。亚里士多塞诺斯对毕达哥拉斯主义者所尊奉的“数字统治宇宙”的哲学理论嗤之以鼻，尤其是在音乐领域。他坚持认为，音程应该仅凭耳朵来判断，而不是靠算术关系式。遵循这一思想，他设计了一系列连续分布的音程，与毕达哥拉斯提出的离散分布的音程相比，可谓泾渭分明。

亚里士多塞诺斯的这一想法沉睡了2,000年，直到16世纪，才被温琴佐·加利雷重新发掘出来。在《古代与现代音乐的对话》(Dialogo della musica antica e della moderna)一书中，温琴佐建议将八度分解成12等份的半音，每个的比例均为18:17≈1.0588。这一比例比纯律半音略少0.7%，但是让八度稍许降低［（18/17）12≈1.9856］。大约在同一时期，中国大明王朝的皇子朱载堉（1536—1611）撰写了好几篇关于音乐理论的文章，在文中，他提出了十二平均律。另外，佛兰德数学家西蒙·斯蒂文（Simon Stevin，1548—1620）也坚定地认为，五度的比例应该是()7≈1.4983，而非毕达哥拉斯音阶的比例3:2=1.5。不过，1636年发表《宇宙和谐》一书的马兰·梅森似乎是第一位对十二平均律做出完整描述并给出详细数值计算的人。据说，他建议使用比例≈1.0597作为对十二平均律半音≈1.0595的最佳近似值。虽然这一比例可以用尺规作图得到，不过，这种所谓的优点颇为可疑。这12个半音组成的八度等于2.0061，比准确的八度略高。［1］

在音乐和声的理论指导与键盘乐器上进行的演奏实践之间，音乐家借助十二平均律达成了一个可以接受的折中（“平均律”的英文单词temperament暗示了纯律音阶被平均或者被折中的事实）。据说，约翰·塞巴斯蒂安·巴赫所著的《平均律键盘曲集》(The Well-Tempered Clavier)中包括了半音音阶（chromatic scale）的所有十二个大调和十二个小调，其目的在于让其他音乐家信服新体系的优点。19世纪中叶，十二平均律成为西方音乐的标准音律体系。然而，并非所有人都为之喝彩。例如，赫姆霍兹就反对它，因为它“对音乐演奏产生了令人遗憾的影响，特别是在歌唱方面”。即使现在，一些弦乐演奏者和歌唱家在表演时依旧坚持用纯律来调整他们的乐器和唱调。［2］

实质上，十二平均律的这些比例是一组几何数列：

1，，()2，…，()11，()12 = 2。

由于是一个无理数，因此除了八度音程外，纯律音阶的所有比例值均被剔除。例如，比基音高五个半音的四度，其所对应的比值为()5，约为1.3348，比纯四度4 : 3=1.3333稍高一点。正如一位点评者所言，十二平均律让“所有的音程均不完美”。为了测定这种细微的差别，一种度量音高的标度已经被设计出来，其中，十二平均律的每个半音都等于100“音分”（cents），因此，一个完整的八度音程等于1,200音分。这是一个对数标度，类似于用来测定音量的分贝标度或地震学里所采用的里氏标度。频率比例等于1200log2音分，如果以常用对数（以10为底）来表示的话，该值约等于3986lg。上述三种音阶具有以下音分值：

毕达哥拉斯半音 256:243=90 音分

纯律半音 16:15=112 音分

十二平均律半音 :1=100 音分

人耳所能听到的最小音程因人而异，但其间的差异可细微到仅有5音分。因此，三个半音之间的差异完全在人类听觉能力的掌控范围之内。

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许多数学家都曾试图创造一种“完美的”音乐音阶，艾萨克·牛顿也是其中一员。这值得我们关注一番，倒并不是因为他在这个方面——人们今天对音阶问题的关注主要是出于历史方面的兴趣——有多大贡献，而是由于他毕竟是牛顿。成年后的早期阶段，牛顿就对“和声学”产生了浓厚的兴趣，这门学问是毕达哥拉斯在2,000多年前开创的一种音乐命理学。据传，牛顿对作为艺术的音乐并不感兴趣；在他出席的唯一一场歌剧中，他“兴致勃勃地观看了第一幕，到第二幕就耗光了耐性，第三幕时直接逃之夭夭”［3］。他对音乐的兴趣仅限于探索音阶比例中存在的数值规律；在他那些千奇百怪的想法中，有一个基于纯律的“回文音阶”（palindromic scale）的想法，但顺序是从音符D开始的：

这个音阶看上去颇为古怪，却因具有数学上的对称性而使牛顿对其情有独钟。在随后的1675年，他效仿彩虹的七色光谱，将八度音阶分成七段，形成了这一回文音阶，每个部分分别对应于红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫。［4］当然，这是一种有缺陷的类比方法：实际上，彩虹的“七”种颜色连续渐变地融合在一起，音乐的音阶频率却必须是离散分布的。与此类似，将视觉和听觉置于相近的地位进行类比的想法吸引了许多科学家（我们应该还记得，伽利略曾用过类似的方法，将两个钟摆的运动与两个同时奏响的和谐乐音进行类比）。然而，切莫忘记这两种现象根本不是一回事。

正如其所取代的其他音律体系一样，十二平均律音阶也只是一种音阶，即一种结构。作曲家创作音乐，用音符去匹配这一结构，演奏家则将这些音符转化为真正的声音。我们还应该记住，没有任何音阶敢于声称自己就是“正确的”音阶。最终，音阶的选择只是一种主观决策。此处，我可以分享一些我作为一名业余单簧管演奏者的经验：当时，老师让我练习一段全音曲目，这首曲子乍听上去非常奇怪；然而，大概演奏完第50次以后，这首曲子在我耳中就非常自然了，我发现它与那种古老的自然音阶相比并无优劣之分。十二平均律音阶同样如此：最初，它遭到了音乐家们的强烈抵触，但到了19世纪中叶，它已经被广泛接受为西方音乐的标准音律体系。这或许是数学赠予音乐的一件最棒的礼物。

注释

［1］  有关音律体系历史的著述，可谓汗牛充栋。请参阅《音律》(Temperaments)一文中的大量参考书目，该文来自《新格罗夫音乐和音乐家词典》(The New Grove Dictionary of Music and Musicians)，第二编，第25卷，第264—269页。还请参阅en.wikipedia.org/wiki/Equal_temperament上面关于十二平均律的相关文章。

［2］  然而，这件事情依然会引发争议。相关例子请参阅罗斯·W. 达芬（Ross W. Duffin）所著的《十二平均律是如何摧毁了和声（以及为什么你需要关注）》［How Equal Temperament Ruined Harmony （and Why You Should Care)，纽约：诺顿（W. W. Norton）出版社，2008］。

［3］  佩内洛普·古克（Penelope Gouk）撰写的《牛顿科学的和声基础》(The Harmonic Roots of Newtonian Science)，该文来自约翰·福维尔（Johan Fauvel）、雷蒙德·弗勒德（Raymond Flood）、迈克尔·肖特兰德（Michael Shortland）和罗宾·威尔逊（Robin Wilson）编著的《别干涉牛顿！关于他的生活和工作的新视角》(Let Newton Be! A New Perspecitve on His Life and Works，纽约：牛津大学出版社，1988），第101页。

［4］  同上，第118页。

编外篇C

值得记录的音乐——最低沉、最悠长、最古老，以及最奇怪的

2013年3月，据天文学杂志《天空与望远镜》(Sky and Telescope)报道，人们在宇宙中发现了已知最低沉的音符。这个音符的来源是星系团阿贝尔426（Abell 426），距离我们2.5亿光年。这个星系团被温度高达25,000,000摄氏度的炙热气体包裹，并以声波形式向外发出同心波。根据声音在此温度的速度（大约1,155千米/秒），以及观测到的波纹之间的距离（大约3.6万光年），我们可以轻易计算出声波的频率约为3×10-15Hz。该频率所对应的音符是降B，比中央C低57个八度。报道中指出：“要想弹出这个音符，你需要在钢琴的左边增加635个琴键！就算是低音巴松管，也演奏不了如此低沉的音符。”

《4分33秒》(4′33″)是美国先锋派作曲家约翰·凯奇最著名的，同时也是最富争议的作品。该作品中，一位钢琴家走上舞台，打开钢琴琴盖并坐下，在接下来的4分33秒内保持一动不动。长期以来，这部作品被当作一种音乐讽刺表演，但凯奇创作它的真实意图在于迫使听众聆听一片寂静，或者更精确地说，去聆听传入耳朵里的一片混杂着呼啸而过的车辆、叽叽喳喳的小鸟、唧唧作响的蟋蟀，以及观众席上传来的一阵咳嗽的背景噪声。1952年8月29日，《4分33秒》在美国纽约州伍德斯托克（Woodstock）的一座仓库首演，在听众中引起一片哗然。它同时提出了一个问题：音乐究竟是由什么构成的？在凯奇看来，这是他最重要的作品。

2006年5月5日，《纽约时报》的头版报道了德国小镇哈尔伯施塔特（Halberstadt）的一群音乐家，他们演奏了凯奇创作的另一部名为“尽可能慢”(As Slow as Possible)的作品。这群音乐家将凯奇的号召响应到了极致：表演至今仍在进行，并计划在未来的639年中持续进行。某天添加一个音符，第二天再删掉一个；由于演奏是在圣·布尔夏迪教堂（St. Burchardi Church）的管风琴上进行的，演奏者会相应地增加或者去掉某些音管。显然，这些创作者并不急于在他们的一生中完成表演。该作品共有8个乐章，每个乐章持续约71年。《纽约时报》报道说：“2001年9月5日，管风琴开始有动静，这一天是凯奇89岁的生日。但是，它什么声音也没有发出，因为根据安排，音乐演奏进入了长达20个月的休息时间。直到2003年2月5日，第一个和弦才被奏响，那是两个升G和一个介于其间的B，然后又是停顿。”针对这篇报道，有读者提问：“演奏中有幕间休息吗？”不妨想象一下，在2640年这场演出的结束之日，阅读这些评论将多么有趣。

在古典音乐的演奏史中，最大规模的管弦乐队这一记录是在演奏埃克托·柏辽兹创作于1837年的《安魂曲》(Requiem)时创造的：演奏共需108名管弦乐手、20件木管乐器、12个法国号、8个短号、12个小号、12个长号、6个大号和4个奥菲克莱德号（一种管状乐器，现已过时），10个定音鼓、2个低音鼓、4面锣和10对铜钹，再加上一个至少拥有200名歌手的合唱队——如此庞大的声响力量足以将贝多芬的《第九交响曲》衬托得就像室内乐。更令人惊诧的是，柏辽兹从未学习过钢琴，他除了在巴黎音乐学院（Paris Conservatory）读过两年书以外，基本上是自学成才。［1］

《创世记》（Book of Genesis）中说“朱巴尔（Jubal，亚当的第七代后裔）是所有那些七弦琴和管乐器演奏者的父亲”（《创世记》第4章第21节）。但是直到2008年，考古学家才在德国乌尔姆市（Ulm）附近的一个洞穴中真正发现人类最早的乐器。他们挖出一只兀鹫的翼骨，上面有五个精确的钻孔——这是一根笛子。据测算，其年代可追溯到3.5万年前。托马斯·H. 莫二世（Thomas H. Maugh II）在给《芝加哥论坛报》(Chicago Tribune)的一篇文章中写道，这件遗物来自“一个早期的人类社会，那时的人们在冬夜里畅饮啤酒，演奏笛子和鼓，围着篝火跳舞”［2］。文中，他还引用了考古学家约翰·谢伊（John Shea）的话：“在我们所知的每一个社会中都有音乐。”3.5万年前，这根笛子的主人曾用它演奏，如果我们能有当时的录音该多棒啊！

与艺术或者文字记录不同，音乐记录直到1860年才出现。在那年的4月9日，爱德华-莱昂·斯科特·德马丁维尔 （Édouard-Léon Scott de Martinville）首次录制了一段音乐，这是一位女性演唱的法国民歌《月光下，我的朋友皮埃罗》(Au Claire de la lune, mon ami Pierrot)，被刻在一张涂满了蜡的纸上。17年后，托马斯·阿尔瓦·爱迪生（Thomas Alva Edison）录制的更著名的唱片《玛丽有只小羊羔》(Mary Had a Little Lamb)才正式问世。［4］2012年，位于美国纽约州斯克内克塔迪（Schenectady）的创造与科学博物馆（Museum of Innovation and Science）播出了这张唱片的复制版本，该唱片是爱迪生于1878年用留声机在一张锡纸上录制的。据《芝加哥论坛报》报道，“录音的开头是一段由短号独奏的无名乐曲，持续了23秒后，一个男声开始朗读《玛丽有只小羊羔》和《哈伯德老妈妈》(Old Mother Hubbard)”［4］。如果留声机能再早100年被发明出来，我们或许就能拥有一张海顿或者莫扎特弹奏键盘乐器的录音，而音乐的历史也会变得难以想象的丰富。如果……

现在，让我们快进到1982年，索尼公司在这一年发行了世界上第一张光盘。据该公司总裁兼主席大贺典雄（Norio Ohga）的讣告所言，大贺“推广了12厘米的光盘格式，它提供了足够的存储空间，使听众能够不间断地听完贝多芬的《第九交响曲》”［5］。这些规格至今仍被广泛使用。可以毫不夸张地说，正是它们让《第九交响曲》成为流传最广的乐曲。据说，大贺之所以做出这项决定，和他曾经作为一名音乐家所受的训练密不可分。

注释

［1］  古多尔（Goodall），《音乐的故事》(The Story of Music)，第154页。

［2］  《芝加哥论坛报》(Chicago Tribune)，2009年6月25日。

［3］  古多尔，第237—238页。

［4］  《芝加哥论坛报》，2012年10月26日。

［5］  《芝加哥论坛报》，2011年4月25日。

第七章

音乐小工具：音叉和节拍器

过去，如果一位音乐家想给自己的乐器调音，他要完全依赖自己的双耳来分辨音高。但在1711年，英国小号手和鲁特琴演奏家约翰·肖尔（John Shore）发明了一种名为音叉的装置，能够发出每个音符的精准音高。有了它的帮助，训练有素的音乐家就能将其乐器的每一根琴弦都调节到正确的音高。肖尔选择中央C之上的音符A作为参考音高，并将其频率设为423.5 Hz。后来，肖尔的音叉又经历了一系列改进，特别是在1850年左右，为制定国际通用的音高标准，德国物理学家鲁道夫·柯尼希（ Rudolph König）将参考音高的频率设为A=435 Hz。但是，正如其他许多国际标准一样，并非所有人都愿意遵守这一标准。于是，围绕什么才是“正确的”或者“绝对的”音高，爆发了激烈而广泛的争论。1834年，在德国斯图加特举办的一次物理学家大会上，现代标准A=440 Hz被确立，但直到1939年，它才成为正式的国际标准。

尽管如此，有关音高的纠纷仍没有就此平息。大约从1970年开始，用古乐器（period instruments）演奏管弦乐成为一种风尚，“古乐器”这个术语通常适用于巴洛克时期。该风尚的倡导者认为，古乐器听上去更加真实，也更接近作曲家的所思所想［乐器本身可能是流传下来的真品，比如著名的斯特拉迪瓦里（Stradivarius）、瓜尔内里（Guarneri）以及阿马蒂（Amati）制作的小提琴；也可能是复制品，例如管乐器这一类］。但是，为了真正做到严谨，必须给这些乐器调音，让它们奏出旧时那种较低的音高，特别是上文所提到的A=435 Hz，甚至更低的巴洛克时代的音高［亨德尔音叉（Handel’s tuning fork）的历史可追溯到1751年，其音高 A=422.5 Hz，1780年莫扎特的音叉为 A=421.6 Hz］。［1］

音叉可以产生几近纯正的正弦波乐音，其振动基本没有泛音的存在。一旦受到撞击，它就会持续振动很长时间，直至声音衰减到无法听清为止。就像机灵鬼一样，几种声学定律都可以借助一把音叉得以展现。如果选用两把音叉，每把都安装在一个充当谐振器的音箱上面，甚至能取得更好的展示效果（图7.1）。将两把音叉隔开几英尺，敲击其中一个，接着轻轻地触碰使它停止振动。这时如果你认真聆听，就会发现另一把音叉以相同的频率发生了振动，仿佛在自发振动一样（这一现象取决于室内环境，甚至在间隔为30英尺时也会发生）。这就是共振（resonance）现象，即当两个物体的固有频率完全相同时，其中一个物体的振动会引发另一个物体产生振动。但是，如果你轻微改变两个音叉中一个的频率（要做到这一点，只需将一个小金属环搭在一个插脚上即可，该音叉的频率就会降低），共振就会消失；第二个音叉将对其伙伴的召唤无动于衷。

图7.1 两把音叉，它们分别安装在音箱上面

如果你同时敲击两把音叉（它们的音高被设置得略有差别），你会听到一个跳动的音调，其频率与两把音叉均非常接近，但其振幅变化的频率等于两把音叉频率的差值。这就是“拍频”现象（参见第三章注释［8］）。木管乐器演奏者在搭档演奏时，会利用这一现象对乐器进行微调，直到拍频消失，这就是“零拍”（zero beat）方法。

音叉的两个叉脚在振动的时候，彼此之间存在180度的相位差，这就引起一个声波相互抵消的区域。事实上，如果你握住音叉的柄，靠近耳朵，然后旋转音叉，就能察觉到这一“干涉模式”（interference pattern）：你会瞬间听到声音的变化和消失。有趣的是，叉脚是横向振动的（向两侧振动），它们却将振动纵向地传递到音叉柄上，使其上下振动。不过，在临近柄的位置上存在一个点，叉脚在此处完全不会振动，这个点就是一个“节点”。当一把音叉以其固有频率振动时，你可以通过沿着音叉的一个插脚逐步向下移动金属环的方法确定节点的位置。当金属环逐渐靠近节点时，拍频会渐渐变慢，一旦到达节点，拍频就会消失；尽管金属环本身有质量，但把它放在节点处时，音叉的固有频率不会发生任何变化。

如果你碰巧有一部还能正常工作的老式黑胶唱机，你就能用它来演示一个人们更为熟悉的声学原理——多普勒效应（Doppler effect）。将唱机设置为33或45转/分钟，然后在它上面放置一个接着音箱的音叉，敲击一下音叉，然后打开唱机。这时，你能清晰地听见，每当音叉靠近你时，音高会升高，而当音叉远离你后，音高就会下降。奥地利物理学家克里斯蒂安·安德烈斯·多普勒（Christian Andreas Doppler，1803—1853）于1842年提出了这一效应，同时准确预测出该效应同样适用于电磁波。［2］多普勒推算出的公式与发送声波的频率f及接收声波的频率f'有关：f' =，其中v 是移动声源的速度（当声源远离观察者时取正值，当声源接近观察者时则取负值），c是声波的速度。几年后，有人用一种非同寻常的方法检测了多普勒的公式：荷兰物理学家克里斯托夫·海因里希·迪特里赫·白贝罗（Christoph Heinrich Dietrich Buys-Ballot，1817—1890），时任荷兰乌特勒支（Utrecht）皇家气象研究所（Royal Meteorological Institute）所长，让一组小号手站在铁路平板车上，在机车的牵引下以不同的速度来回移动。在地面上，他安排了一组精通音高的音乐家，由他们来判断小号手们接近或远离时音高的变化。他的实验发现证实了多普勒的公式。

你可能已经注意到了，多普勒的公式仅与声源和声音的速度之比υ/c相关，而与真实的速度大小无关。例如，当v/c=1/2时，f'=（2/3）f，因此若平板车上的演奏者演奏音符G，则原地不动的听众实际听到的是音符C，也就是说，比演奏者奏出的音高要低一个五度；当υ/c=-1/2时，f'=2f，则听到的音高比实际奏出的音高要高出整整一个八度。当υ/c=-1（声源以声速接近听者）时，一个有趣的现象出现了：该速度比使公式中的除数为零，f'无意义——至少，这是数学家会得出的结论。但是，物理学家会毫不犹豫地指出此时f'=∞，即声波堆叠在一起，形成一个“激波”（shock wave）。这是一种音爆，而并非乐声。［3］

音叉一般被人们作为调音设备使用，但除此之外，人们发现它还可以用于医疗：医生用它来测试患者对外部刺激的神经反应。但是，让音叉成为一种真正的乐器显然更接近其原始设计目的，比如音叉琴（dulcitone），这是在19世纪晚期由格拉斯哥的托马斯·梅切尔（Thomas Machell）设计的一种钢琴类键盘乐器，但使用的不是琴弦，而是音叉［1866年，维克多·摩斯蒂尔（Victor Mustel）发明了一种类似的乐器——钢片琴（typophone）］。音叉琴的优点是不用频繁地调音，但声音过于微弱，不适合在音乐厅中演奏。只有很少几次，这种乐器出现在音乐厅中，例如法国作曲家樊尚·丹第（Vincent d’Indy，1851—1931）便在他的歌剧《钟之歌》(Song of the Bells)中给了它亮相的机会。

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如果说音叉确立了频率（或1/时间）的标准，那么节拍器（metronome）就标记了时间本身——或者更确切地说，标记了时间率。节拍器是迪特里希·尼古拉斯·温克尔（Dietrich Nikolaus Winkel）于1814年发明的，但是，它更多地与约翰·内波穆克·梅尔策尔（Johann Nepomuk Mälzel，1772—1838）的名字联系在一起，后者发明了许多机械工具。据说，他从温克尔处剽窃了这项发明，并在两年之后造出了节拍器。一般说来，要想让节拍器以预设的节奏打拍子，只需要调整物理摆垂的重心即可（图7.4）。节拍器甫一问世，贝多芬就不可救药地迷上了它，并与梅尔策尔结为好友。［4］故事讲到这里并没有结束，1812年，贝多芬的一些密友（包括梅尔策尔）聚在一起，设宴恭送作曲家前往林茨，以及梅尔策尔前往英格兰推广其最新的机械发明。为向这位发明家朋友表达敬意，兴致勃勃的贝多芬即兴创作了一首音乐小品，将节拍器也融入其中（图7.2）。

图7.4 机械节拍器

图7.2 贝多芬为向梅尔策尔致敬而写的歌曲

这段简单的小调模仿了节拍器的嘀嗒声，在作曲家的脑海中才一出现就生了根，之后又被引入到他创作的《F大调第八交响曲》(Eighth Symphony in F Major)的第二乐章，即作品93号。［5］10年之后，贝多芬整理他的早期作品，用节拍器对其进行了标注。也许，他所做的最广为人知的标注就是将《C小调第五交响曲》(Fifth Symphony in C minor)的第一乐章——有活力的快板(allegro con brio)，即作品67号，标为108拍/分（bpm）。

与音叉类似，之所以需要用到节拍器，也是因为人们想对音乐节奏给出一个客观的、可量化的标准，使演奏者能以作曲家指定的确切速度演奏其作品。不过，一切都是徒劳的：就像因标准音高而引起的分歧一样，节拍应该如何设置的问题不断（而且至今依然）引起演奏者的非议，对于什么才是“正确的”节奏，每个人都有自己的看法。贝多芬的《第五交响曲》以著名的“短—短—短—长”主题开头——“命运的敲门声”(knock of fate，图7.3）。在利奥波德·斯托科夫斯基（Leopold Stokowski）的指挥下，这段曲子以40 bpm的速度极其缓慢地演奏；而在阿图罗·托斯卡尼尼（Arturo Toscanini）的指挥下，演奏速度则严格遵循贝多芬设定的108 bpm。［6］1945年5月8日，为纪念第二次世界大战欧战胜利纪念日（VE Day），以严格遵循贝多芬的设定而闻名的托斯卡尼尼在纽约的音乐厅指挥乐队演奏《第五交响曲》。这一次，演奏的速度甚至超过了108 bpm，被认为是有史以来演奏速度最快的一次。［7］

图7.3 贝多芬的《C小调第五交响曲》（作品67号）的开头主题

一些作曲家非常排斥节拍器；其中包括约翰内斯·勃拉姆斯，他在1880年给朋友的一封信中写道：“节拍器毫无价值……我绝不相信自己的血液能和一个机械装置融为一体。”的确，“遵循节拍的演奏”意味着演奏者只需枯燥乏味、简单机械地演奏乐谱上的那些音符，全无精神和激情。你可以称之为“依照数字的演奏”。

近200年来，几乎在所有的作曲家或者键盘乐器演奏者的家中，都能看到节拍器的身影，它们煞有其事地盘踞在钢琴的顶端。但是，正如大多数机械物件一样，音叉和节拍器也实现了从模拟装置到电子装置的过渡。大约花上25美元，你就能买到一个单手即可握住的装置，音叉和节拍器均已囊括其中。通过电驱动，它不仅能产生任意音高、给出任何音乐节拍，还能通过接收外部声调来确定其是升音、降音或基本音。这一新装置进入市场后还不到10年，却已经将自己的那些机械前辈淘汰出局，后者注定要和对数计算尺、机械打字机一样，最终成为收藏家的爱物。［8］

注释

［1］  参阅爱德华·E. 斯文森（Edward E. Swenson）撰写的《关于用音高对钢琴调音的历史》(The History of Musical Pitch in Tuning the Pianoforte)，参见http://drjazz.ca/musicians/pitchhistory.html； 以及参阅《钢琴之标准音高或音乐会音高》(Standard Pitch or Concert Pitch for Pianos，作者未确定），来自网站www.h2g2.com/approved_entry/A87740373。亨德尔音叉的音高设为C=512 Hz，其对应于 A=426.7 Hz。

［2］  他的名字有时被写成约翰·克里斯蒂安·多普勒，但这个名字被证实是错误的。他的名字不该同阿尔伯特·弗兰兹·多普勒（Albert Franz Doppler，1821—1883）混为一谈，后者是波兰出生的奥地利长笛演奏家和作曲家。

［3］  此处，我不由想起我的一位好友，当时我们都在耶路撒冷希伯来大学（Hebrew University of Jerusalem）的物理专业学习。他告诉我：“不能除以零的说法是错误的；你当然可以这么做，只要旁边没人瞧着。”

［4］  关于贝多芬对节拍器态度的有关详情，参考了马修·圭列里（Matthew Guerrieri）的著作《前四个音符：贝多芬第五交响曲与人类想象力》［The First Four Notes: Beethoven’s Fifth and the Human Imagination，纽约：艾尔弗雷德·A. 克诺夫（Alfred A. Knopf）出版社，2012］，第24—27页。

［5］  然而，该故事未经证实，贝多芬是否真的创作了这段“戏谑式卡农”(Joke Canon)一直备受质疑。尽管如此，你可以在www.youtube.com/watch?v=GVHYtaKREAc聆听这段乐曲。

［6］  圭列里，第217页。

［7］  《古典笔记：路德维希·凡·贝多芬的第五交响曲》(Classical Notes: Ludwig van Beethoven Fifth Symphony)，请参考www.classicalnotes.net/classics/fifth.html.

［8］  实际上，你根本用不着真正的调音设备，网站或者智能手机应用这种虚拟设备就能帮你实现。例如www.onlinetuningfork.com.

第八章

节奏、节拍和度量

节拍器从容不迫而又反反复复的嘀嗒声：

缺乏节奏，按照正常思维，没人会在这组嘀嗒声中找到音乐的感觉。但是如果插入一些时间分隔，即所谓的“小节”（bars或者measures），事情就会出现变化：

现在，这些嘀嗒声被按照一种时间模式组织起来，这种模式被解释为每小节两拍——“二拍”（duple meter）。这里，我用到了“解释”，因为音符本身没有发生任何变化，它们与节拍器的嘀嗒声别无二致，发生改变的只是我们感知它们的方法。如果改为每次在第三个音符之后放置小节线，那么，模式就变成了“三拍”（triple meter）：

再一次地，每次在第四个音符之后放置小节线，就得到了“四拍”（quadruple meter）：

根据音符的实际时间值，我们给每种节拍一个“拍号”（time signature）。在每首乐曲的开头，拍号被写在“调号”（key signature）之后。例如，如果每一个嘀嗒代表一个四分音符（♩），那么以上三种模式的拍号则分别为2/4、3/4和4/4，也就是说它们分别代表每小节分别有2拍、3拍和4拍，并且每拍都落在一个四分音符（♩）上。这些“音乐分数”有点像常用的代数分数，但它们各自遵循不同的规则。例如，3/4拍与6/8拍是不一样的，后者意味着每小节有6拍，而每拍均落在一个八分音符（♪）上。

节拍（meter）本身只是提供了一个时间上的框架，好比一个骨架。节奏（rhythm）则为这个框架注入了生命活力，并将其转化为音乐。作曲家、指挥家、钢琴家和音乐讲师伦纳德·伯恩斯坦（Leonard Bernstein，1918—1990）在其著作《音乐的无穷变化》(The Infinite Variety of Music)［1］中写道：“只靠节奏的模式——即使没有旋律感十足的音符，也没有和声或者管弦乐色彩——仅仅是节奏的设计，音乐就能充分展现其自身。”在贝多芬的《第五交响曲》中，绵绵不绝、细不可闻的定音鼓鼓点（均敲击在低沉的音符C上）营造出一种无处不在的压抑感，但也是它们将听众从带有忧郁色彩的谐谑曲带入到欢庆胜利的终曲：

你可能已经注意到，其节奏的模式是在模仿这首交响曲的开头，也就是“命运的敲门声”这一主题（参见图7.3）。这一著名的主题也被用于电影《最长的一日》(The Longest Day)。随着D-Day①的战役行动即将展开，在坚定且略显沉闷的节拍

背景声中，庞大的攻击舰队随时待命冲向诺曼底的海滩。颇为巧合的是，节拍声“···-”在莫尔斯电码中代表字母V，即胜利（Victory）的首字母。

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自1600年以来，二拍、三拍和四拍，以及由此而来的一些变化，诸如2/2或者3/8等，已经成为西方音乐的三种基本节奏模式。一些作曲家偶尔也会用到其他节拍，如柴可夫斯基（Tchaikovsky）就选择过一种五拍（quintuple），即5/4，用于他的《B小调第六交响曲》(Symphony no.6 in B minor)［作品74号，即《悲怆》(Pathétique)］的第二乐章。这一非同寻常的节拍让该主题听上去像“跛行华尔兹”(limping waltz，图8.1）。

图8.1 柴可夫斯基的《B小调第六交响曲》（作品74号，即《悲怆》）第二乐章的主题

现在我们显然不会按照5拍来打节奏，因此我们将该节拍诠释为2/4+3/4。换言之，我们把重音放在每个小节的前两个音符，这样就将一个小节分解成两个长度各异的次一级小节。值得注意的是，2/4+3/4与3/4+2/4是不同的，因为这种音乐分数是按照时间顺序搭配的，而时间一旦启动就不可逆转：“第一”总是在“第二”之前。

伯恩斯坦在《音乐的无穷变化》一书中指出，直至1900年，尽管其“分子”各不相同，但绝大多数节拍实质上都是乔装打扮的二拍。这是因为一个主题很少独立存在，它通常会在乐曲中或反复出现，或原封不动，或略有变化，从而形成一种“超级小节”（superbar），但总体上都是一个二拍。图8.2展示了莫扎特的《G小调第40号交响曲，K.550》(Symphony no. 40 in G minor, K.550)的开头主题。看看（能听听更好），感受一下在乐曲的开头，第1、2、3小节的节奏模式是如何在第3、4、5小节中重复的。

图8.2 莫扎特的《G小调第40号交响曲》（K.550）的开头主题

根据伯恩斯坦的说法，二拍的优势源自一个事实，即在我们的生活中，几乎任何事情都遵循1-2的节奏：我们的心脏每两拍跳一下，我们走路的步子是1-2、1-2，我们的身体是左右对称的，我们的呼吸是一个吸进-呼出的循环，就连我们的日常作息也是按照昼夜交替的循环来安排的。因此，音乐遵循相同的模式是再自然不过的，这样能够确保一部音乐作品整体的平衡和稳定。

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如果要找到一位作曲家，他的音乐接近数学般完美，那么这个人一定就是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫。凭借至高至上的美感、定如磐石的节奏，以及对使用外部音效的小心持重，他的音乐成为后世音乐家的终极典范。图8.3 展示了巴赫创作《B小调第15号序曲》(Sinfonia no.15 in B minor，BWV 801)的手稿。乐谱上仅有音符，没有动态指令，没有节奏变化，也没有意味深长的口头评论——只有音符：这是一种时间上纯粹的、具有宏大几何美感的架构，一种坚定不移、稳如磐石的音乐平衡的最高体现。

图8.3 J. S. 巴赫创作的《B小调第15号序曲》（BWV 801）的一页乐谱

乐曲的节奏结构——“节拍”——对于音乐的重要性，就好比“度量”（metric）之于几何空间：它决定了一部作品形成的基本纹理。直到1900年，一段音乐，例如交响乐的某一乐章，通常都会有一个预先设定且固定不变的节拍，可以从这段音乐开头的拍号辨认出来。有时候，作曲家会在乐章的中间改变节拍，尽管该节拍并未用于全曲，但按照惯例，至少大部分曲子会依照其进行。偶尔也有例外：莫杰斯特·穆索尔斯基（Modest Mussorgsky）在《图画展览会》(Pictures at an Exhibition)［该作品创作于1874年，最初是一首钢琴曲，但拉威尔（Ravel）演绎的管弦乐版本更著名］中使用了一种变化的节拍，即5/4和6/4拍交替出现，形成一个11/4拍的超级小节，让整部作品呈现出一种庄严稳重的感觉（图8.4）。

图8.4 穆索尔斯基的《图画展览会》的主题

然而，那都是过去时了。20世纪早期的作曲家不但要与稳定的节奏告别，更要将其彻底摧毁：伊戈尔·斯特拉文斯基，这位勋伯格的仇敌和对手对节奏所做的一切，勋伯格很快也会用到音高上。在《春之祭》(The Rite of Spring)这部作品中，斯特拉文斯基将现有的节奏规范全都抛到九霄云外，各个小节的节拍不断变化：主节拍本是6/8，接着变成7/8，再变到3/4、6/8、2/4、6/8、3/4以及9/8，然后乐曲中突然出现狂暴的波澜（图8.5）。伯恩斯坦说：“从《春之祭》这座伟大的节奏丰碑中释放出的力量，足以毁灭那些老掉牙的舒适对称。”［2］

图8.5 斯特拉文斯基《春之祭》的一页乐谱

1913年5月29日，《春之祭》在巴黎香榭丽舍剧院首演期间，一场骚乱爆发了，观众们无法忍受瞬息万变的节奏和嘈杂刺耳的不和谐音。据报道，他们大声嘲笑、吹口哨、往台上扔东西，直到警察出面干预。虽然引发这场混乱的主要原因也可能是瓦斯拉夫·尼金斯基（Vaslav Nijinsky）编排的极富挑衅性的舞蹈，而非令人躁动不安的音乐，但至少巴黎的报纸是如此报道这一事件的。［3］尽管如此，在皮埃尔·蒙特（Pierre Monteux）的指挥下，管弦乐队始终保持镇定。按照这位作曲家的评价，整个演奏过程“看上去像一条鳄鱼那样浑然忘我，冷静如常”［4］。这一事件被一位评论家讥讽为“春日大屠杀”(The Massace of Spring，对这部作品的法语名称——La Sacre du Printemps—的一种戏谑）。相形之下，勋伯格的《第二弦乐四重奏》(Second String Quartet，参见第11章）在1908年引发的“丑闻”不由黯然失色。在很多人看来，《春之祭》标志着现代音乐的诞生。

在我看来，斯特拉文斯基在《春之祭》中创造的那些突兀的节拍变化，与弯曲变形的平面的可变度量（variable metric）相比，在概念上有着惊人的相似性。一直到1850年前后，空间（无论是二维还是三维）都被认为是符合欧几里得特性的，即“平坦的”。这符合我们在学校中所学的毕达哥拉斯定理所持有的简单形态，尽管形式上稍有不同：ds2=dx2+dy2。1851年，格奥尔格·伯恩哈德·黎曼（Georg Bernhard Riemann，1826—1866）在其博士论文中引入一个观点，即空间中的所有点都有固有的度量，可以表达为ds2=a(dx)2+b(dxdy)+ c(dy)2。其中，a、b和c一般为x和y的函数（还请注意公式中出现的“混合”项dxdy)。也就是说，空间的特性是局部的，而非整体的。这将导致每一点的纹理都互不相同，就像《春之祭》中的音乐纹理在每一小节都各不相同。黎曼的观点在当时非常具有革命性，但在六年后，阿尔伯特·爱因斯坦使用这一观点——现在被他扩展到四维时空——推导出了广义相对论的公式。

注释

［1］  纽约：西蒙和舒斯特（Simon and Schuster）出版社，1962，第88页。

［2］  同上，第101页。

［3］  古多尔，《音乐的故事》，第236—237页。

［4］  摘自约翰·冯·莱茵撰写的《纪念斯特拉文斯基的〈春之祭〉问世100周年》(Celebrating Stravinsky’s ‘Rite’ at 100)，《芝加哥论坛报》，2013年5月29日。

①  D-Day：二次世界大战中著名的诺曼底登陆战的首日。——译者注

第九章

参照系：我在哪儿

在数学史上，1637年是一个里程碑。在那一年，勒内·笛卡尔这位行伍出身的法国哲学家和数学家，发表了他的鸿篇巨制——《正确引导理性在各门科学上寻找真理的方法论》(Discours de la Méthode pour Bien Conduire sa Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences，英文译名为Discourse on the Method of Reasoning Well and Seeking Truth in the Sciences)。在此书中被简单标名为《几何》(La Geométrie)的附录部分，他向全世界隆重宣布：解析几何（analytic geometry）的理论将让整个数学领域发生翻天覆地的变化。据传说，一天早上，赖在床上不肯起身的笛卡尔看着一只苍蝇在天花板上爬。就在这时，他想到了一个理论，也就是将平面上任意一点都赋予两个数值，从而标明该点到两条固定直线的距离，即该点的坐标。他的两条线是斜交的，而非垂直正交，而且它们仅包括正数（也就是说，仅有我们现在使用的直角坐标系的第一象限）。尽管如此，笛卡尔还是能够利用坐标将几何问题转化为代数方程，接下来解决这个方程，把答案再翻译成几何信息。几何和代数的这种统一，与经典的欧氏几何背道而驰，从根本上改变了数学家思考和工作的方式。

当然，利用网格或者参照系确定点的位置的方法，早在笛卡尔之前就已经为人所知。早在2世纪，古希腊地理学家和天文学家克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemaeus），也就是人们所熟知的托勒密（Ptolemy），绘制了一张旧大陆①的地图，并画上了经度线和纬度线组成的网格系统（图9.1）。这张著名的地图被复制了无数次，几乎成为所有旧大陆地图的母本，并一直沿用到15世纪。

图9.1 托勒密的世界地图及经纬度网格

注：根据其著于公元150年的《地理学指南》(Geographia)重新绘制。

但是，参照系并不仅仅用来在地图上确定一个点的位置，它还能够给人们带来一种归属感和安全感。从一个参照系转换到另一个参照系常常会让人迷失方向，比如每一个首次来到华盛顿特区的游客都会承认：这座城市共存一体的矩形网格和对角网格系统对驾车导航是一个挑战（图9.2）。你驾车开进一条大道，正惬意地沿着笔直的方向（这是你的临时参照系）前进。无论向右还是向左均无问题：我们已经习惯了矩形参照系，以至于很难想到还有其他种类的参照系可以用来定位。但是紧接着，出乎意料的情况发生了，你的面前出现了一个六岔路口，30度方向冒出的一个十字路口使你无所适从，一瞬间你丧失了方向感——特别是在早晨或者傍晚的交通高峰期。设计这座美丽首都的建筑规划师可能心里想效仿法国小镇凡尔赛，但是他们没能想到，这种双重网格结构搞得后世的旅行者们晕头转向。

图9.2 皮埃尔·夏尔·朗方（Pierre Charles L’Enfant）所绘制的华盛顿特区的规划图，安德鲁·埃利科特（Andrew Ellicott）在此基础上又做了修改，1792

参照系在艺术领域也发挥着作用。在文艺复兴之前，当画家面对画布拿起画笔之时，笔下所绘的并非双眼所见的景物，而是脑海中出现的画面。特别是在描绘中世纪的主流题材宗教场景时，就更是如此：各种人物——通常是圣徒或者教会的神职人员——根据他们在教会等级体系中的地位被分别绘制出来，而形象的相对大小则反映出他们等级的高低。

直至15世纪，一种更有写实意义的绘画基础技法出现了：透视法（perspective）。这种方法是在1425年由意大利建筑师菲利波·布鲁内莱斯基（Filippo Brunelleschi，1377—1446）发明的，后来又经过阿尔布雷希特·丢勒（Albrecht Dürer）和莱昂纳尔多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）进一步完善。透视法为艺术家提供了一种固定的参照系，画面中的各个细节均能与之相关。它结合了两种要素：视平线（horizon，即艺术家视线所及的位于无限远处的虚拟线）和“灭点”（vanishing point），或者说“无限远处的点”（point at infinity，即艺术家视线与视平线相交的点）。在这一体系下，真实场景中彼此平行的所有线条，会在画面中的一个灭点处聚合，另一组平行线则会在另一个灭点上聚合（图9.3）。因为所有的平行线最后都会汇聚在视平线上，那么物体离（观察者的）眼睛越远，看上去就越小。在上述论述中，需要我们注意的是，这种情形完全是互为对称的：当你观察到一个站在九米开外的人时，在你眼中，他/她的高度大约只有真实高度的一半；同理，你在对方的眼中也只有你本身真实高度的一半。每个观察者都有自己的参照系，每个人都有理由宣布自己的参照系才是真正的参照系。哈哈，有点相对论的意味！

图9.3 透视法

透视法的发明标志着人们告别了过去的绘画技法，人们发表了诸多论文来向艺术家们解释这种方法（图9.4）。透视法被视为几何学的一个分支，同时也是一个艺术的分支。据说，达·芬奇曾评价它是“数学研究中最为奇妙的发现”。从那时起，客观性成为当时的一种法则：人们希望艺术家在严格遵循透视法规则的同时，将画布变成一种照相底板，从而描绘出其视野中真正显现出的场景。

图9.4 罗马西斯廷庭礼拜堂（Sistine Chapel）中，彼得罗·佩鲁吉诺（Pietro Perugino）所绘的《将钥匙交给圣·佩德罗》(Entrega de las llaves a San Pedro，1481—1482）

当然，透视法被刻意用于生活，而生活中我们的日常活动场所通常仅限于脚下的平地。因此，我们每个人都很清楚“上”与“下”的概念。但是，由于我们生活在一个球形的星球上，“上”与“下”只是“局部的”概念，它们取决于我们恰巧位于地球的什么位置（信奉地球是平面的人认为，如果地球是球形，那么“大头朝下”的地球居民就会坠入无限宇宙空间的深渊，从众人的视野内永远消失）。在外部空间，“任何一个”方向都无法被称为“上”或者“下”；与此相反，指向任意方向的直线都有其自身的地平面，即与该直线垂直正交的平面。荷兰艺术家M. C.埃舍尔（M. C. Escher，1898—1972）影响力最大的版画作品中，《相对性》(Relativity)和《其他的世界》(Other Worlds)（参见图9.5和9.6）这两张描绘的正是这一观点。

图9.5 M. C. 埃舍尔创作于1953年的《相对性》

图9.6 M. C. 埃舍尔创作于1947年的《其他的世界》

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音乐也有自己的参照系：包括各种音调或者调性，作曲家可以借此作为参照。最简单的调是C大调，它既没有升音符，也没有降音符：

此处，C'是指比C高出一个八度的音符，并且这些音符之间的音程被标为1（全音）或者½（全音的一半，即半音）。C大调的音符对应于钢琴上从C开始的白色琴键。

此处，我们必须暂时偏离正题，解释一下音调与音阶之间的差别。音调总是根据其最低的也是最基本的乐音（例如上例中的C）来命名的，音阶则是音调中音程的内部结构。无论起始于哪一个音符，任何由全音和半音1 1 ½ 1 1 1 ½组成的音阶，均被称为“自然大调音阶”（diatonic major scale），或者简称为“大调音阶”（major scale）。例如，D大调：

如果在大调音阶中，我们将第三个和第六个音符降低半个音符，则该音阶就变成了“小调音阶”（minor scale，之所以称之为“小调”，是因为第二个和第五个音程消失了）。例如，C小调是：

大调音阶和小调音阶［1］这两种类型的音阶从1600年一直到20世纪初在西方音乐中几乎独领风骚，并且至今仍是令大多数古典音乐爱好者赏心悦耳的音阶。然而，我们应该指出，还有其他类型的音阶为人们使用，例如“五声音阶”（pentatonic scale）：

该音阶在亚洲和非洲音乐中较为常见（此处展示的版本，如果各升高半调，就得到了C♯ D♯ F♯ G♯ A♯，均对应于钢琴上的黑色琴键）；另外，还有“全音音阶”（whole-tone scale），20世纪早期，克劳德·德彪西（Claude Debussy）经常使用这种音阶：

除此之外，我们还应该加上“半音音阶”（chromatic scale），该音阶由八度的所有12个半音组成：

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现在，我们来谈谈音乐理论家正在进行的一场论战。原则上，所有拥有相同音程序列（即相同音阶）的调，彼此之间应该是等同的，听上去也应该一致。例如，当你用C大调或者升F大调哼唱《一闪一闪小星星》(Twinkle Twinkle Little Star)的时候，歌曲的旋律听上去应该完全一样。这是因为绝大多数人只对相对音高（relative pinch，即两个音符间的音程）敏感，而很难察觉实际音高的绝对大小。

但是，你可能已经注意到，在前一段文字的开头有“原则上”这一限定条件，我之所以加上它，是出于以下几个原因。首先，乐器所发出声音的质量在其音域覆盖范围内并非均一，声音质量会随所演奏的音域或音符组的改变而发生变化。例如，在单簧管的低音区，音色丰富而浑厚；而到了高音区，声音就会变得非常尖锐。其次，人群之中仅有极少数幸运的人（或者说被诅咒的人）对“绝对音高”（absolute pitch）比较敏锐，只有他们才可能轻易地觉察出短暂如1/16乐音中的某个音符是否走调。因此，如果某首乐曲没有按照规定的音调演奏，这些人就会对此有所觉察。最后，人耳对不同频段的反应是有差异的：它对听力的下限（大约20 Hz）或者上限均反应迟钝，年轻人的听力上限为20,000 Hz，而老年人只有他们的一半。这些因素都会在（听音匹配）方程中引入某些微妙的参数，而作曲家在选择特定的音调时也会对此加以考虑。

1800年左右，浪漫主义时期（Romantic period）开始了，音调开始被附带上各种情绪属性。音乐评论家开始在文章中使用诸如“生动的”“英雄般的”或者“悲剧性的”等定性的词汇，来描绘各种音调的特点，似乎仅仅通过标上名称，就能赋予该音调相应的情绪感染力。毫无疑问，正是由于贝多芬的九部交响曲给19世纪的听众带来了巨大的情感震撼，才促成了这一趋势。这九部作品中的任意一部都比海顿或者莫扎特的交响乐曲篇幅长许多，需要规模更大的管弦乐队来演奏，并且独具特色。这给听众留下了无法磨灭的印象，使得他们很快就开始将每首交响曲与音调上标注的文字联系起来。

据说，贝多芬的交响曲可以被分为两类：奇数编号的交响曲具有英雄般的、戏剧化的特点，偶数编号的交响曲则比较轻松愉快。1805年，他的《第三交响曲“英雄”》(Third Symphony, the Eroica)在维也纳首演，该曲被献给拿破仑（据说，当贝多芬听说拿破仑大权独揽、登上皇帝宝座后，他自己立即将献辞撕成碎片），并且被视为古典音乐浪漫主义时代的开山之作。这部作品开场乐章雄壮有力、大胆无畏，紧接着是悲恸哀伤的葬礼进行曲，然后是活力四射的诙谐曲，在这一乐章中，三支圆号奏出戏剧感十足的不和谐音，最后随着旋律的急剧变化结束。《英雄》以及降E大调成为表现英雄主义宏大场景的象征。似乎是为了令英雄主义同更轻松的作品形成鲜明对比，贝多芬的《第四交响曲》(Fourth Symphony)则是一部令人心情愉悦的作品，使其中采用的降B大调与活力和欢乐联系起来。1841年，罗伯特·舒曼创作了他的《第一交响曲“春天”》(First Symphony, the Spring)。他引用了一位音乐评论家的话，在作品中标注上“生动的降B大调”的字样，似乎这个调本身作为一种纯粹的音乐参照系，已经事先预设了感性的特征。

将特定的音调与情感特性相关联的最奇妙的作品，或许是埃克托·柏辽兹创作的一个系列。它由12首半音阶大调和12首半音阶小调组成，每首作品都对应一种特定的情绪。例如，升D大调对应于“沉闷”，降E大调则对应于“雄壮，较为洪亮、柔和、庄重”（在柏辽兹的时代，十二平均律已经被广为运用，在此音律下，升D和降E这两个音符属于异名而同音，即它们听上去完全一样，唯一的差别只在于名字和标注。对此，我们不过多纠结）。美国作曲家艾米·比奇（Amy Beach，1867—1944）走得更远：她将不同的音调与可视的色彩联系在一起。她的音乐调色板包括代表C大调的白色、代表降F小调的黑色、代表E大调的黄色、代表G大调的红色，以及代表降E大调的粉色。［2］

当然，这些音调的内在结构并不会让它们真的“雄壮” “沉闷”或者“生动”。弗朗茨·舒伯特的《第四交响曲“悲剧”》(Fourth Symphony, the Tragic)之所以如此命名，据说只是因为这位作曲家同样使用降C小调，模仿贝多芬的《第五交响曲》，即《命运交响曲》(Fate Symphony)。实际上，这是一部可爱且活泼的作品，人们很难在其中发现任何“悲剧性的”东西［舒伯特的交响乐中最接近悲剧性的作品，是他的《B小调第八“未完成”交响曲》(Eighth, the Unfinished, in B minor)］。既然如此，那么是否可以用其他音调，即不同的音高，来演奏这些作品？大概除了一些铁杆乐迷，普通听众很难发现其中的差别。

但是，“正确的”音高这类神话似乎很难彻底消亡。马修·圭列里在《前四个音符：贝多芬第五交响曲与人类想象力》一书中，讲了一个安东·辛德勒（Anton Schindler）的故事。此人在贝多芬人生的最后三年中成为他的密友，并为他撰写了第一部传记。一天，辛德勒去观看《第五交响曲》的演出。但是，音乐厅湿漉漉的墙壁影响了管弦乐队演奏出来的音高，这让他非常不满，以至于演奏中途便愤然离席。他抱怨道：“我可不想听用B小调演奏出来的贝多芬C小调交响曲！”［3］

尽管存在言过其实的风险，但我还是想将音乐所面临的情形，与为了简化曲线方程而对坐标系进行的选择加以比较。例如，圆心位于(h, k)且半径为1的圆，其矩形坐标下的方程为(x-h)2+(y-k)2=1。但是，如果将原点移到(h, k)点，在新的坐标系下，其方程则变为x2+y2=1（在极坐标系下，该方程还可以进一步简化为r=1）。圆形本身及其各种几何特性都没有发生丝毫改变，唯一变化的只是方程而已。音乐中的移调也与此类似，作曲家是按照C大调，而不是根据某种乐器的固有音调为其创作音乐的。例如，在现代管弦乐中，小号被调整为降B调。但是，演奏者依照的乐谱仍是按照C大调写的，忽略了降B大调调号中的两个“降号”。当然，这对音乐本身并无丝毫影响，只是为了便于阅读乐谱。尽管用降B调演奏时，音乐听上去比乐谱记录的要低一个全音，但在实际表演过程中，诸如单簧管、法国号和小号等移调乐器的大部分演奏者都会将乐谱上书写的调当作自己真正听到的。

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正如我们在第七章中了解到的那样，在巴洛克时期以及19世纪，乐器的音高被调整得比现代所用的A=440 Hz要低——有时甚至低至415 Hz。这就会产生一个问题。现在的流行趋势是用古乐器演奏管弦乐作品，人们认为这些古乐器能够更令人信服地还原出该音乐在作曲家时代的原貌。但是，这也要求演奏者将他们的乐器调到较低的音高，否则人们听到的作品的音调就会与作曲家最初的设定风马牛不相及。《哈佛音乐词典》(Harvard Dictionary of Music)中对“绝对音高”一词做出了如下解释：

例如，所有那些关于贝多芬C小调交响曲的“真实音高”的讨论都是无的放矢，除非人们将贝多芬时代的标准音高纳入考虑范畴……从绝对音高的角度来看，现代所使用的音乐会音高（A=440 Hz）已被普遍接受，因此，对在此之前创作的那些作品而言，人们的演绎都是“错误的”。如果一个一百年前执着于绝对音高的音乐家今天还活在人间，那么当他听到贝多芬的《第五交响曲》正按照他所认为的升C小调演奏时，一定会大惊失色。［4］

现在，让我们回到本章开始时涉及的话题：音调只是一种音乐坐标系而已。它本身并不能创作音乐，也无法赋予音乐某种特定的情感特性（正如我前面指出的那样），那只是作曲家的一厢情愿。在《音乐是如何炼成的：天籁之音的科学与哲学，从贝多芬到披头士及后世诸人》(How Music Works: The Science and Psychology of Beautiful Sounds, from Beethoven to the Beatles and Beyond)一书中，约翰·鲍威尔（John Powell）走得更远：在讨论莫扎特的《G大调第17钢琴协奏曲，K.453》(Piano Concerto no.17 in G Major, K. 453)之时，他指出这部作品标题中的“G大调”一词“没有任何实际意义……我完全不能理解为什么那些做古典音乐广播的人总要对我们强调乐曲是按照什么调创作的，因为这对我们来说没有任何区别”［5］。

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当作曲家构思一部新作品时，是什么原因让他/她选择某个特定的音调？这对我而言一直是个未解之谜。但有时候，答案是现成的。小提琴的四根琴弦的定音依次为G、D、A和E，它们的调号上均有一个“升音符”。在创作一部小提琴作品时，作曲家自然而然会从其中进行选择。事实上，那些19世纪和20世纪早期的伟大小提琴协奏曲，大部分都是按照这些音调创作的，例如贝多芬、勃拉姆斯和柴可夫斯基的D大调，菲利克斯·门德尔松（Felix Mendelssohn）的E小调，西贝柳斯（Sibelius）的D小调，德沃夏克（Dvorak）和格拉祖诺夫（Glazunov）的A小调等。与此类似，莫扎特在创作那些美妙的单簧管作品时，依照的也是该乐器固有音调的两个变体，即A大调和降B大调。但是，他的27首钢琴协奏曲又是怎样的情况呢？与其他的大部分乐器不同，钢琴对音色并不具有“音调的敏感性”：在三角钢琴上演奏时，钢琴的音质在七个八度上的变化非常细微。不同的音调似乎会在作曲家的心中形成各异的心理图像，以降B大调为例，它会产生“生动明快”的图像，相比之下，A小调产生的图像则“黯淡无光”。但是，这些都只是我们的揣测。虽然莫扎特留下了大量的书信，可如果想从中洞悉这位富有创造力的作曲家的内心世界，我们依旧无路可循。

尽管如此，到了19世纪末期，那些坚持古典音乐必须基于音调的结构或者调性进行创作的观点开始土崩瓦解。瓦格纳和马勒的作品甚至没有特定的音调，这让人们开始质疑调性是否还有存在的理由。一些作曲家感到调性已经走到尽头，他们决定采用新的方法创作，其中最重要的代表就是阿诺德·勋伯格。

注释

［1］  小调音阶有几种变体，前文提及的由音阶衍生出的“和声小调音阶”（harmonic small scale）就是其中之一。如果降低第7个音符，它就变成了“自然小调音阶”（natural small scale）。还有一种是“旋律小调音阶”（melodic minor scale），当音阶上行时，仅降低第三个音符；而当音阶下行时，则需要降低第三、第六和第七个音符。

［2］  路易斯·C. 埃尔森（Louis C. Elson）所著的《音乐及音乐教育中的错误和争议》［Mistakes and Disputed Points in Music and Music Teaching，费城：西奥多出版社（Theo. Presser Co.），1910］，第13—16页。

［3］  纽约：艾尔弗雷德·A. 克诺夫出版社，2012，第49页。

［4］  威利·阿佩尔（Willi Apel）著，第二版［美国马萨诸塞州剑桥：哈佛大学出版社（Harvard University Press），1972］，第2页。

［5］  纽约：利特尔&布朗出版（Little, Brown and Company），2010，第217页。

①  “旧大陆”是指在哥伦布发现新大陆（主要指美洲大陆）之前，欧洲人所认识的世界，包括欧洲、亚洲和非洲。——译者注

编外篇D

音乐结构体系

从1600年到20世纪初这300年间，音乐作品均遵循一套约定俗成的结构：作品通常会以一个既定的主调（home key），即从“主音”开始，这也是整部作品的核心所系。随着作品的推进，音乐会转向其他的音调，这一过程被称为“转调”（modulation）。这种从一种音乐参照系转移到另一种参照系的变化，旨在激起听众的惊诧之感。他们本来正享受着主调统治的音乐，却被这种变化从舒适区抛了出来，甚至像进入了一个意想不到的世界，刹那间迷失了方向。这就如同搭乘一架飞机：飞机沿着直线平稳航行时，你丝毫觉察不到运动的迹象；倘若飞机忽然改变运动速度或者方向，你就会感到剧烈的抖动。我们对存在状态的变化比对状态本身更敏感。

音乐作品从主音转换到其他的音调并非随意进行，而是遵循某些有着悠久历史的规则。在作品进入主题之后，主音通常会转换到它的“属音”（dominant），即基于主音之上第五个音符的音调（例如，C大调会转换为G大调）。接着，更多的转调会逐渐让作品远离主音。然而，一如既往地，这部作品还是会回到它的主调，并在此结束自己的乐章。直至1900年左右，这一“调性法则”（principle of tonality）或者基于音调进行的音乐创作，都是古典音乐的基石。

另外，每一种音调中都存在一个清晰的层次结构，其中，每个音符均与主音保持特定的音乐关联。这种关联很难用语言描绘出来，但是每一位音乐家都对此有着深刻的体会。例如，从主音向属音的转换通常会营造出一种紧张感加剧的效果，似乎在期盼着什么事情发生。在18世纪和19世纪诸多伟大的协奏曲中，“华彩乐段”（cadenza）是整部作品中的最高潮，到了这一部分，整支交响乐队均保持安静，由独奏者即兴表演，炫耀他/她的技艺。引领该乐段的第一个音符就是“属音”，如勃拉姆斯的《D大调小提琴协奏曲》(Violin Concerto in D Major，作品77号）的片段所示（参见图D.1）。

图D.1 勃拉姆斯的《小提琴协奏曲》的第一乐章：在华彩乐段之前，管弦乐的音符为A，即D的属音

自然音阶的第七个音符是“导音”（leading note），正好位于主音之下。华彩乐段通常会在该音符上结束，并宣告整个管弦乐队即将重新投入演奏（参见图D.1）。与此类似，许多古典音乐作品的慢板乐章是用“下属调”（subdominant key）写成的，这个音调基于主音之下的第五个音符，就像是从第一乐章高度紧张的氛围中释放出一个放松的信号。欧洲在其大部分历史时期都处于阶级制度的统治之下，因此每个人都知道自己在社会等级体系中的位置。与此类似，在一部音乐作品中，不同音符也都严格遵循着自己在由音调确立的音乐等级体系中的位置。

在古典音乐中，这些音调之间的关系为何能起到如此重要的作用一直是音乐理论家、神经科学家和心理学家争论的焦点：难道这只是一种心态，是音乐经过数百年的演化并形成今天这种模式的结果吗？或者，是否有一些内在的物理或生理的因素在起作用，导致一些音程比另一些更重要？对此，至今没有明确的答案。

第十章

相对论的音乐

第一眼看上去，这两个人几乎没有任何相似之处：阿诺德·勋伯格身材不高，头发秃得仅剩下头顶一圈，双眼总是闪烁着紧张和兴奋的光芒；比他年轻四岁的阿尔伯特·爱因斯坦身材粗壮，头发乱蓬蓬的——这副尊容让人印象深刻，他的眼神深邃而宁静，似乎能穿透你，直入无垠的时空。在性格方面，他们也分属两个世界：勋伯格总是对自己的历史地位有着清醒的认识，他常常以第三人称谈论自己，容易被激怒，在批判他的反对者时更是直言不讳；相比之下，爱因斯坦似乎包裹着一层大象皮，无论是如潮而至的批评，还是蜂拥而来的赞誉，他均视若无睹。他对自己思想的正确性极为自信，但也保持着足够的谦逊，因而不会得意忘形。

尽管存在以上种种差异，他们的生活却极为相似。两人的生日仅相差四年，阿诺德·勋伯格出生在维也纳，阿尔伯特·爱因斯坦出生在德国的乌尔姆；他们都来自中产阶级犹太家庭，在德国—奥地利文化传统中成长。他们的母亲都叫保利娜（Pauline），都是小有成就的钢琴演奏家，所以这两个年轻人都很早就接触音乐。［1］他们早期都笃信宗教，但爱因斯坦后来排斥任何有组织的宗教，勋伯格——当时依然在其姓氏中使用德语变音字母①——却在24岁时皈依基督教。在后来的人生中，由于受到反犹主义（anti-Semitism）及随之而来的犹太大屠杀的深刻影响，他们均回归了自己的犹太身份。爱因斯坦明确认同他的犹太同胞，并成为犹太复国主义（Zionism）的狂热支持者，勋伯格则放弃了他所皈依的基督教，并在最引人注目的几部作品中重申自己的犹太信仰。

1933年，纳粹党攫取政权，他们先后移民到美国，时间间隔还不到一年。勋伯格最初住在波士顿，后来又搬到了洛杉矶，在这期间，爱因斯坦到普林斯顿安家；他们都再没踏上欧洲的土地（尽管勋伯格的遗体被归葬在他的家乡维也纳）。勋伯格于1934年到达美国，并在1941年成为美国公民，随即将自己的姓氏拼写改成了“Schoenberg”；爱因斯坦在一年之后到来，他并没有改名换姓，但被迫按照美式英语改变了姓名发音［按照德语，其姓氏发音为“爱因史坦恩”（Einshtein）］。他们都热衷于自己的爱好，爱因斯坦喜欢拉小提琴以及驾驶自己的小帆船，勋伯格则是个技巧娴熟的画家，同时还是狂热的网球手。两人都喜欢做点小玩意：勋伯格设计了一台乐谱打字机；爱因斯坦和他的工作伙伴——物理学家利奥·齐拉特（Leo Szilard）——一起发明了冰箱，并获得专利。当纳粹政权将德国大学的犹太裔教授全部扫地出门后，他们不知疲倦地帮助这些背井离乡的学者在避难国找工作。到了晚年，两人均受到新成立的以色列国（State of Israel）的敬仰，爱因斯坦被邀请担任以色列的第二任总统（但他谢绝了），勋伯格则当选为以色列顶级音乐学府——耶路撒冷鲁宾音乐学院（the Rubin Academy in Jerusalem）的名誉院长（他接受了这一任命，却因为健康状况恶化而无法就任）。他们均享年76岁，先后离世的时间间隔正好和生日的间隔一致。

从某种意义上来讲，他们的人生历程也颇为相近。两人都以低级职员的身份开始职业生涯，勋伯格在维也纳一家银行上班，爱因斯坦则在伯尔尼的瑞士联邦专利局（Swiss Federal Patent Office）谋生。勋伯格基本上是自学成才，他从没有接受过正规的学院教育；而爱因斯坦虽然毕业于苏黎世大学（University of Zurich），但他后来所需要的全部知识均是自学19世纪的经典物理学论文所汲取到的。他们都深深地沉浸在19世纪欧洲的古典世界之中，这个世界的擎天柱是音乐界的约翰内斯·勃拉姆斯、古斯塔夫·马勒和理查德·瓦格纳，还有物理学界的迈克尔·法拉第、詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）。然而，勋伯格和爱因斯坦所做出的成果与他们的前辈相比，可谓泾渭分明；他们的思想具有革命性且充满争议，在学者及大众中引发了激烈的争论。

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1905年，爱因斯坦那篇关于狭义相对论的论文横空出世，随即他就开始构思广义相对论。他的目标是提出一种新的引力理论，其中，时空的曲率这种超越了“平坦的”欧几里得空间的认识，将取代牛顿力学中关于超距作用（action at a distance）的概念。为此，他耗费了远超过预期的时间，整整10年都埋首其中。1915年11月25日，爱因斯坦终于形成了最终的理论，并于次年公之于众。

广义相对论的核心是“等效原理”（principle of equiva-lence），据说，某天爱因斯坦在设想一个人从高楼坠落下来（并有幸存活下来讲述发生的一切）时，这一理论就出现在他的头脑中。爱因斯坦认为，坠楼的家伙根本感受不到任何重力的作用：他/她会失重。但是，假设同一个人被封闭在外太空的一架电梯中，远离任何引力的影响，那么当电梯突然以自由落体的加速度（9.81米/秒2）被提升起来时，电梯内的人会感到自己正被一股重力压向地板；他们此时的重量和站在地球的固体表面时是一样的。“思想实验”（thought experiment）这种爱因斯坦最喜欢的思辨方式，让他坚信在加速度和重力之间没有任何分别。尽管电梯和地球是两种不同的参照系，但乘客的感受是一般无二的。

设想一下，有一束光通过一道狭缝射进电梯，打到电梯间的一面墙上。如果电梯相对于光源是静止不动的，那么被光束照射到的墙面高度与狭缝高度应该完全一致。然而，如果电梯处于加速上升状态，那么光束照射到的这一点的位置应该比狭缝稍低；同时，在乘客眼中，光束在电梯中的传播路径应该略微向下弯曲。如果乘客认为自己稳稳地站在地球上，就会将这种现象解释为平直的光线在重力的作用下被拽弯了。因此，爱因斯坦得出以下结论：引力会导致光线发生弯曲。虽然光线在两点之间总是遵循最短的那条路径，根据欧氏几何，这条路径应该是“直线”，但在这场实验中，它实际上变成了曲线：引力引起了时空改变，使它不再保持欧几里得空间中的那种平坦状态。至此，在这场纯粹基于假设的思想实验中，现代科学中最伟大的理论之一诞生了。

在上述实验中，我们假定想象的这个电梯飘浮在空旷的空间，远离任何引力的影响。但实际上，没有任何空间是真正空无一物的：其中充斥着星际尘埃、气体、行星、恒星和星系，它们中的任何一种都会对电梯施加引力。电梯内的观察者会解释说，似乎时空的几何形态（它已经不再是欧几里得空间中的平坦状态）在每一点上都是不同的；这些几何形态仅具有“局部的”时空特性。但是，这又再次引发了相同的问题：当观察者进行观测时，应该将物理定律用于哪个参照系？对此，爱因斯坦给出的答案是，从本质上讲，观察者均拥有自己的局部参照系，在时空中，该参照系通过局部的度量仅与距观察者无限接近的相邻系统有关联。

今天，当电视中出现宇航员在航天器里处于失重状态而飘来荡去的画面时，人们会认为这只是一种司空见惯的现象，等效原理已经不再构成谜团。但在1907年，当爱因斯坦开始思考引力的本质时，这一理论远非显而易见。那时，航空飞行尚处于起步阶段，太空飞行更是只停留在科幻小说里的情节里，普通人所能体验到的最高速度就是一辆飞速奔驰的旅客列车（实际上，许多早期流行的相对论的解释都因此而使用列车作为例子）。所以，还要再过上一段时间，等效原理才能得到人们的接纳。［2］

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就在爱因斯坦忙于构建广义相对论的同时，阿诺德·勋伯格开始考虑一种新的作曲体系，他希望这个体系能够取代历史悠久的基于音调的音乐。1908年，他开始致力于此，同时谱写了《第二弦乐四重奏》(Second String Quartet，作品105号）。这部作品至少在两个方面别具一格：它的最后两个乐章加入了一位女高音的声音，而且最后一个乐章没有任何音调，也就是说，该乐章是“无调的”。勋伯格自己并不喜欢“无调的”这个描述性的词汇，他觉得这会被误读成其作品缺乏结构性。恰恰相反，他始终强调自己的音乐具有非常严谨的结构；只不过，这不是一种“调性”结构而已。他喜欢一个名字——“泛调性”（pantonal）音乐，在这种音乐中，所有的乐音均享有相同的地位。

勋伯格又花了12年时间完善这一新的体系。他将其应用于两部均完成于1923年的作品：《五首钢琴曲》(Five Piano Pieces，作品23号）和《小夜曲》(Serenade，作品24号）。这一新的体系遵循严格的、数学般严谨的规则，他将其描绘为一种“用12个相互关联的乐音进行谱曲的方法”，也就是取自半音音阶的12个乐音。它们可以按照任何次序排列，但是当一个“模进”（sequence）结束之前，每个音符仅能出现一次。模进又被称为“音列”（tone row或者series），是勋伯格所建立的新体系的核心。他称该新体系为“序列音乐”（serial music）或者“十二音音乐”（twelve-tone music，或“dodecaphonic music”）。

在每一个音列中，都遵循彻底的民主原则：12个乐音的地位完全相同。在调性结构中，每一个音符都与主音有着特定的音乐关联，但这种结构已被抛弃。从此以后，只有每个音符“相对于之前的那个音符的位置”才是重要的，你姑且可以称之为“相对论音乐”（relativistic music）。正如作曲家兼指挥皮埃尔·布列兹（Pierre Boulez，1925—2016）所言：“有了它（十二音体系），音乐走出了牛顿的世界，进入爱因斯坦的世界。”确实如此，勋伯格自己也将其音乐同爱因斯坦的广义相对论加以比较，因为在广义相对论中，所有参照系的地位都是平等的。［3］

在勋伯格的体系中，音列取代了传统的主题，或者说旋律主题（melodic subject），后者已经统治了古典音乐长达300年之久。一旦在音乐作品中引入音列，音符便均能依据严格设定的规则变换它们在音列中的位置：演奏时，它们可以向后移动（即逆行，retrograde motion），或者反行（inverted，即顺序颠倒），又或者反行逆行（retrograde inversion）。依照对音列最严苛的定义，每个音符都应该具有相同的节拍，即同样的延续时间，这样就可以避免某个音符较其他音符拥有更高的权重（尽管勋伯格后来放宽了这一规定）。如果其内部结构保持完整，那么整个音列也能被向上或者向下做出调整，移动若干音级。这些规则不但适用于音列的旋律或者“横向的”曲段，也适用于其和声或者“竖向的”内容。具体而言，勋伯格排斥任何协和和弦，因为它们作为协和音具有主调的特点。然而，勋伯格还是对这些严格的规则做出了让步，允许单个音符向上或向下移动任意八度。事实上，这就让八度在他的音乐中成为依旧保持“绝对”状态的唯一音程。

半音音阶中的12个音符，每一个在音列中仅出现一次，将它们排列组合在一起，就为作曲家提供了数量惊人的选择，其精确数量为（此处不考虑八度的移位）：

1×2×3×…×12=479,001,600

这些选择中的任意一个都可以被视为一个音列，并且能被用作一部新的音乐作品的主题。例如，图10.1显示展示了勋伯格的《乐队变奏曲》(Variations for Orchestra，1928）中的原始音列，紧随其后的就是该音列的三种变化。

图10.1 勋伯格的《乐队变奏曲》的音列序列：（S）原始音列，（R）逆行音列，（I）反行音列以及反行逆行音列（RI）

注：参见《乐队变奏曲》(Variations for Orchestra)一文，勋伯格。

随后，该音列可以按照诸多方式发展，但始终遵循上述规则。从这种意义上，音列音乐与其想要取而代之的调性音乐并非完全不同。而它之所以有别于后者，是因为它根本就没有调性：没有任何音符遵照某个主调。仍然保有特权的音程是八度；在音列音乐中，绝对平等主掌着一切。人们很难不去注意勋伯格的体系与广义相对论之间的相似之处。

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1916年3月20日，爱因斯坦将有关广义相对论的论文提交到《物理年鉴》(Annalen der Physik)；勋伯格则在1923年完成他的前两部音列音乐作品。然而，这两位具有远见卓识的人物依然无法完全摆脱古典的19世纪思想根基，并均在晚年回归到各自的思想本源。爱因斯坦顽固地抵制对量子力学所做的全新概率解释，直到生命的最后一刻他都坚信，即使是在亚原子层面，物质也是有确定性的。“上帝不会掷骰子”（God does not play dice）大概是他最有名的格言。勋伯格则部分地回归到调性音乐的创作中，“用C大调还可以写出许多优美的音乐”，晚年的他如是说。似乎是为了证明他的正确性，在1938年至1940年间，他的仇敌兼对手伊戈尔·斯特拉文斯基创作了《C调交响曲》(Symphony in C，虽然作品的标题并没有说明它是C大调还是C小调）。最终，调性音乐并没有完全消失。

勋伯格的音乐是否受到爱因斯坦相对论的影响？尽管没有任何可靠的证据支持这种联系的存在，但人们依旧会如此联想。相对论不仅对物理学界，而且对公众均产生了深远的影响。有的人对物理学所知甚少，却开始使用相对论的概念，认为世间万物都是相对的。事实上，的确有一个新的词汇被创造出来，这就是相对主义（relativism），它几乎适用于一切事物，从萨尔瓦多·达利（Salvador Dali）所绘的《记忆的永恒》(The Persistence of Memory，1931）——在这幅画中，一个变形的时钟呈现出某种时间上的扭曲，到政治、道德以及各种社会议题。很快，社会相对主义（social relativism）就成为学术界热衷的话题，特别是在人文科学领域。因此，相对论的某些影响在有意无意间进入到勋伯格的音乐中，也并非不可想象。

1934年，爱因斯坦和勋伯格曾经有两次简短的会晤，第一次是勋伯格在普林斯顿大学做报告，另一次则是在纽约卡内基音乐厅（Carnegie Hall）举办的一场为在巴勒斯坦安置犹太儿童而筹款的活动上，爱因斯坦当时以嘉宾的身份出席。爱因斯坦最喜欢的作曲家是巴赫、莫扎特和舒伯特，他认为勋伯格及其音乐是“疯狂的”［4］。他们两人有一张合影，拍摄于卡内基音乐厅里（图10.2）。不幸的是，没人知道他们到底聊了些什么。

图10.2 1934年，爱因斯坦和勋伯格在纽约的卡内基音乐厅

注：照片中还出现了波兰裔美籍钢琴家兼作曲家利奥波德·戈多夫斯基（Leopold Godowsky，左一）。

注释

［1］  有人说，勋伯格的母亲是一位钢琴教师，但也有人说他的父母对音乐并没有什么特别的兴趣。我没法证实相关说法。

［2］  前面四段文字摘自阿里·马奥尔所著的《毕达哥拉斯定理：一段四千年的历史》(The Pythagorean Theorem: A 4,000–Year History，美国纽约州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，2007），第193页。略有改动。

［3］  有意思的是，正如勋伯格不喜欢别人将其作品称之为“无调的”，爱因斯坦对“相对论”这个词也很抵触，大概是他担心这个词会被公众理解成“万事万物都是相对的”（这的确发生了）；他喜欢称之为“不变量理论”（the theory of invariants）。尽管如此，“相对论”和“无调性”（atonality）这两个词一经出现，就迅速成为20世纪的时髦用语。爱因斯坦自己也在之后的论文中使用这一词汇。

［4］  引自丹尼斯·布莱恩（Denis Brian）所著的《爱因斯坦：生平》(Einstein: A life，纽约：约翰·威利出版社于1996年出版），第257页。

①  即Schönberg。——编者注

第十一章

余 波

爱因斯坦的相对论和勋伯格的十二音音乐一经推出，就引起了巨大反响，既有崇拜敬仰，也有鄙视不屑。1919年，爱因斯坦在日食观测结果公布之后一夜成名，被世人誉为第二个牛顿。但事实上，他是证明牛顿犯了错误的科学家。一位德国出生的科学家提出了一个奇怪的理论，然后被英国人领导的探险团队证实，这一发生在第一次世界大战的尘埃刚刚落地之后的事件，无疑给爱因斯坦戴上了一轮圣人的光环，仿佛他的卓越智慧能够让惨遭战火蹂躏的欧洲恢复和平。鉴于相对论中的数学思想异常先进，仅有少数几位物理学家能够理解该理论。他们不吝溢美之词，称其为有史以来理论物理领域最优美的成果。然而，对大多数物理学家而言，相对论是反常识的，和那些能够在实验室加以验证的物理理论相去甚远，而且与他们的工作没有任何关联。

但是，相对论所引起的最强烈的反响并非来自学术界，而是来自广大公众。爱因斯坦的奇特预测，以及他那庄严神圣、超凡脱俗的公众形象，使他成为众人自发膜拜的对象。无数有关相对论的通俗解释如暴雨之后的蘑菇般纷纷涌现出来，然后被那些对科学一无所知的人们囫囵吞下。不久之后，人们开始站队，将“相对论者”和“反相对论者”对立起来。后者的阵营中有一些科学家，由于无法理解相对论中那些错综复杂的数学思想而异常沮丧，并将这股怨气转变成公开的敌意。一位物理学家在参加爱因斯坦所做的一次有关相对论的公开演讲时，咆哮着冲出会场，宣称这一理论是胡说八道。

反相对论者的敌意并不仅仅局限于学术争论的层面上，他们给相对论贴上了“犹太人的科学”之类的标签，在细枝末节上纠缠不休。物理学家菲利普·莱纳德（Philipp Lenard）曾因其在阴极射线方面的研究获得了诺贝尔奖，也曾是爱因斯坦崇敬的对象。但是，为反对爱因斯坦，他加入了“德国自然哲学家研究团体”（Study Group of German Natural Philosophers）。这是一个民族主义组织，宗旨是将所有“外来的”影响从德国的科学界清除出去。1920年6月24日，相对论在柏林爱乐音乐厅（Berlin’s Philharmonic Hall）受到了猛烈的抨击，理由是该理论过于抽象，远远脱离实验物理，而且过于犹太化和非德国化。爱因斯坦一如既往地保持着镇静，避免争吵的同时坚持着自己的观点。一年前，当有人问他，如果英国人的日食探索证明他是错误的，他会怎么办时，爱因斯坦回答说：“我会为上帝感到难过。因为这一理论是正确的。”

在维也纳，勋伯格的无调音乐也收获了同样毁誉参半的反应。虽然有些同行对此表示赞赏，但公众大多无感，有些甚至持敌视态度。1908年，在勋伯格的《第二弦乐四重奏》(Second String Quartet)的首演之日，当演奏到无调的最后一个乐章时，观众席上嘘声不断，演出被迫中断，一场暴乱一触即发；记者们用“神经错乱”来形容这部音乐作品及其作曲家。对此，勋伯格表示：“这些（抗议事件）是受过保守教育的观众对待新音乐的自然反应。”公众根本无法适应入耳的音乐缺乏一个核心的音调，也就是没有调性。30年后，纳粹将所有勋伯格的音乐列为“堕落的艺术”，认为其对德国人民的身心健康有害无益。

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从此处开始，爱因斯坦的相对论和勋伯格的音列音乐开始走上不同的发展方向。到了20世纪20年代中期，人们对相对论的兴趣逐渐减退。爱因斯坦从未拥有过大批能够发扬其观点的追随者，一部分原因在于他的追随者们大多出于对伟大人物的崇拜，另一部分原因则在于爱因斯坦本身并不擅长教学，使得年轻一代的物理学家没有围绕在他的身边。无论如何，20世纪20年代的学术热点并非相对论，而是核物理和量子力学，新一代的物理学家中最优秀的人才都致力于此。至于那些从事相对论研究的科学家，则主要是数学家，他们帮助爱因斯坦建构统一场论（unified field theory）的数学公式。为了这一课题，爱因斯坦穷尽了他的生命。

这种情况一直持续到1960年左右。人们对广义相对论的兴趣又回潮了，这在很大程度上应该归功于理论物理学家约翰·阿奇博尔德·惠勒（John Archibald Wheeler，1911—2008）。造成这次回潮的一个主要因素是人们在天体物理领域得到了大量的惊人发现——类星体（quasars）、脉冲星（pulsars）等奇异星体，以及那个将它们通通囊括其中的“圣杯”，即假想的黑洞（black hole）。若想解释这些物体的状态，只能依赖相对论物理学。另外，从红外和射电望远镜到粒子碰撞器、轨道天文台这些新技术的进步，最终让广义相对论步入实验科学的领域，使这一理论的有效性可以得到检验。事实上，迄今为止，几乎相对论所做的所有预测都被证实是正确的，从轨道相邻的中子双星（binary neutron stars）的奇怪运动状态，到遥远的恒星或者星系的微引力透镜（Gravitational microlensing）现象（如果二者与地球成一条直线，则该恒星或星体发出的光线会因为干扰星体的存在而弯曲的现象）。在我撰写本书的过程中，广义相对论又取得了一项可能是迄今为止最辉煌的胜利：恰好在爱因斯坦做出预测后的第100年，人们探测到了引力波的存在。广义相对论创立之初，其理论深邃无比，高度抽象，但现在它已经成为天体物理领域里最活跃的一门学科。［1］

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“如果从1830年到1860年的这段时间被称为浪漫主义早期，如果19世纪后半叶是瓦格纳时代，从1910年到1945年是斯特拉文斯基时代，那么从1950年起就是勋伯格及其学派的时代。但是，故事并没有到此结束。”《纽约时报》(New York Times)的音乐评论家哈罗德·C. 舍恩伯格（Harold C. Schonberg，尽管他们的姓氏非常相近，但此人与勋伯格并无任何关系）评论说。［2］勋伯格的教学吸引了一大批虔诚的追随者，特别是阿尔班·贝尔格（Alban Berg）和安东·韦伯恩（Anton Webern），以及后期的米尔顿·巴比特（Milton Babbitt）、奥利维耶·梅西安（Olivier Messiaen）、约翰·凯奇和皮埃尔·布列兹，他们均在自己的作品中使用十二音体系，并对其加以发展。在这个圈子中，众人对勋伯格的音乐趋之若鹜，依旧按照调性音乐进行谱曲的人会被视作老气横秋、无可救药的老古董。

但是，在这个作曲家组成的小圈子之外，大部分公众依旧对音列音乐兴趣寥寥。1970年以后，即使在专业圈子内，此类音乐引发的热潮也已消退。尽管有着大量针对勋伯格作品的评论和分析，但是，公众对其所持有的负面态度并无丝毫改观，以至于有评论家断言：“勋伯格的音乐更适合去阅读，而不是聆听。”即使是皮埃尔·布列兹，这位改行从事指挥事业并为人们崇敬至今的音乐家，也对此持质疑态度。如他所言：“十二音时代那些较为成熟的作品所散发的魅力已经渐渐逝去。”［3］

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20世纪80年代晚期的一天，我出席以色列爱乐乐团的一场音乐会，勋伯格的作品也在演出曲目之中。在乐队开始演出前，音乐大师祖宾·梅塔（Zubin Mehta）向观众简单介绍了一下这部作品：“我知道，勋伯格的音乐并不好懂，但是我保证，今晚当你们离开音乐会大厅时，一定都会哼唱着这部作品中的曲调。”根据我的回忆，并没有一个人这么做。

在写作本书的过程中，我阅读了两本勋伯格的传记，更重要的是，我听了他的几部系列作品——这对一个在巴赫、莫扎特和勃拉姆斯的音乐中长大的人而言，绝非易事。此处请别误会我的意思，我对后古典主义的音乐持相当开放的态度：我喜欢法国印象派作曲家德彪西、拉威尔及其追随者，如达律斯·米约（Darius Milhaud）和弗朗西斯·普朗克（Francis Poulenc）；我甚至热爱保罗·欣德米特（Paul Hindemith），并且一听到伊戈尔·斯特拉文斯基的作品就会心潮澎湃。但勋伯格完全不同，我真的不得不强迫自己去与他的音乐建立联系。我一直对管乐器很着迷，因此买了一张CD，收录的是勋伯格专门为管乐器创作的作品——长达39分钟的五重奏，有长笛、双簧管、单簧管、巴松管和法国号，这是他完成于1923—1924年的作品26号［4］。我听了好几遍，然而，我必须坦白自己不喜欢它。有一些短的段落还是可以容忍的，特别是展示五种乐器音色对比的那些。但是，我很难找到一个锚点，也就是一种节奏或旋律模式，能够让我借此有所把握并且感叹道：“啊哈，我听出这一段了！”这部作品听上去在时间上各自为政，若干旋律碎片来了又走，似乎一去不复返。当然，这正是音列音乐的全部要点：一切都是局部化的，每一个音符都仅仅与其前一个音符相关。简而言之，这是相对论式的音乐。

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有人说，衡量一个科学发现的重要性的最好准则，就是看之前有多少篇与其无关的论文。这种准则在音乐界当然更具主观性，但是，可能最接近客观尺度的衡量标准就是愿意聆听某部特定作品的听众数量（例如，可以根据售出的专辑或CD的数量，或者在线访问的次数来进行判断）。我无法获得主要CD专辑的销量数字，也不清楚勋伯格的作品曾经被主流交响乐团演奏过多少遍，因此我选择退而求其次的办法。我拜访了我们当地的书店，里面陈列着海量的古典音乐、爵士乐、流行乐和摇滚乐专辑，根据音乐类别及作曲家姓名的首字母顺序排列。我径直走向字母S，却找不到一张勋伯格的CD。但是，我并没有就此放弃，而是找到负责音乐部门的店员，询问店里是否有勋伯格的音乐。当然有，他们有一张CD，录有勋伯格及西贝柳斯的小提琴协奏曲。尽管勋伯格自视几乎仅凭一己之力就推翻了古典音乐赖以存续了近500年的基础，但这样一位作曲家仅有半张CD出售。根据这种并非科学的调查方法，我认为可以公平地说，勋伯格的音乐至少在受欢迎程度上与作曲家本人的期望值相去甚远。

当然，听众的口味会随着时间变化，也许有一天，勋伯格的音乐又会再度兴盛起来，就像相对论在20世纪60年代的东山再起一样。历史上存在这样的先例：1750年，约翰·塞巴斯蒂安·巴赫逝世，在这之后的半个多世纪里，人们都认为他的音乐过于学院派、极其刻板、难以听懂，甚至有些过于数学化。“他是父亲，我们是孩子。”在这句海顿评价巴赫的话中，“他”指的其实是卡尔·菲利普·埃马努埃尔·巴赫（Carl Philipp Emanuel Bach）——约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（幸未夭折而长大成人）的次子［5］。1829年，菲利克斯·门德尔松亲自指挥演绎了《马太受难曲》(St. Matthew Passion)，这场表演精彩绝伦，最终让约翰·塞巴斯蒂安·巴赫成为万人敬仰的伟大音乐家，从此享有无上的荣光。只有时间才能证明勋伯格的音乐在未来是否也会经历类似的复兴。

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2,500年以来，人们孜孜不倦地想给音乐套上数学规范，而取得突破性进展的人居然是音乐界的内鬼——一位作曲家：勋伯格的十二音体系将这一过程推向高潮。不过，音乐最终还是以它自己的方式来愉悦我们的耳朵和心灵。而且我敢断言，人们需要一个参照系，即一个音调体系，才能真正把握音乐。在生活中，无论我们做些什么，都需要有一个参照系来作为指导，例如穿过房间、在路上行驶、欣赏一幅画，或者聆听一部贝多芬的交响曲，这种习惯似乎已经深深地浸润到我们的集体意识之中。确实，宇航员已经学会在太空中生活，在那里既没有南北之分，也没有上下之别。但是，我们之中又有多少幸运儿能够在太空中度过几个小时或者几天呢？事实上，我们都是地球生物，从出生开始就生活在固有的坐标系中，重力作用为我们定义了每个人的“下方”。重力（gravity）和坟墓（grave）来源于同样的词根，这绝非偶然。这个道理在音乐中同样适用：如果没有一个“吸引”（gravitate）听众的乐音参照系，即缺乏一个核心的音调，听众就会感到迷茫无助，仿佛在一片声音的汪洋大海中漫无目的地四处游荡。

最终，音乐的意义还是在于抚慰我们的心灵，撩拨我们的情绪，召唤我们随着它的节奏摇摆，而所有这一切，如果仅靠数学原理是断然不可能实现的。正如天文学家和太空科学家吉姆·贝尔（Jim Bell）所言：“音乐能够牵动人们的情绪，达到的程度之深远非我们用数学公式所能媲美。”［6］也许，对此最好的注释是美国作曲家乔治·罗奇伯格（George Rochberg，1918—2005）的凄婉故事。他起初钟情于音列音乐，并以此开启自己的职业生涯。1964年，幼子的夭折让他悲痛万分，但具有数学般严密逻辑的十二音音乐无法给他以慰藉。“音列音乐的和声基于语言以及（或者）数值逻辑，而非听觉感知。”罗奇伯格总结道。［7］他抛弃了音列音乐，回归到调性音乐，并在其中寻得安慰。当然，他的那些音列音乐派的同行们严厉地斥责了他的这种背叛行为。

注释

［1］  关于相对论自20世纪60年代以来的发展，参阅佩德罗·G. 费雷拉（Pedro G. Ferreira）所著的《完美的理论：天才辈出的世纪和相对论之战》［The Perfect Theory: A Century of Geniuses and the Battle over General Relativity，美国波士顿：霍顿·米夫林（Houghton Mifflin）出版社，2014］，以及玛西娅·巴托西亚克（Marcia Bartusiak）所著的《黑洞：牛顿主义者所抛弃的、爱因斯坦所憎恶的以及霍金所痴迷的学说是如何被人们钟爱的》［Black Hole: How an Idea Abandoned by Newtonians, Hated by Einstein, and Gambled on by Hawking Became Loved，美国辛辛那提市纽黑文：耶鲁大学出版社（Yale University Press），2015］。

［2］  《伟大作曲家的生平》(The Lives of the Great Composers，纽约：诺顿出版社，1997），第594页。

［3］  艾伦·肖恩（Allen Shawn）所著的《阿诺德·勋伯格的历程》(Arnold Schoenberg’s Journey），第295页。

［4］  柏林经典(Berlin Classics)于1990年和1997年发行，标题使用了作曲家最初的姓氏拼写，即“Schönberg”。该CD还包括汉斯·艾斯勒（Hanns Eisler）创作的管弦乐套曲。

［5］  克罗夫顿（Crofton）和弗雷泽（Fraser）所著的《音乐语录词典》(A Dictionary of Musical Quotations)，第11页。作者摘录了克里斯托弗·海丁顿（Christopher Headington）所著的《博德利·黑德西方音乐史》［The Bodley Head History of Western Music，伦敦：博德利·黑德（Bodley Head）出版社，1974］。

［6］  《星际时代：四十年的旅行者任务之内情》［The Interstellar Age: Inside the Forty- Year Voyager Mission，纽约：达顿（Dutton）出版社，2015］，第78页。

［7］  肖恩（参见注释3），第292页。

编外篇E

贝尔努利

如同所有作家一样，我也常常收到读者的来信和电子邮件，其中有一些生动有趣，另一些则平淡无奇。但是，我在2013年收到的一封电子邮件瞬间吸引了我的注意。发信人提到了我写的《e：一个数字的故事》这本书中的一个编外篇，内容是约翰·贝尔努利和约翰·塞巴斯蒂安·巴赫之间的一次虚拟会面。其间，他们两人在一起探讨十二平均律的优点。为了能让这一全新的音律体系更加形象生动，贝尔努利提议将一个八度均分为12个半音，画在一个对数螺线（logarithmic spiral）上，每一个音符与其前一个音符的比例均为，对应于螺线上的一个点。这12个连续分布的音符，相互间的间隔为30度，各点距离螺线中心的距离以2:1的比例逐渐拉长，而该比例就是一个八度（图E.1）。

图E.1 画在对数螺线上的十二平均律

这封电子邮件来自迈克尔·斯特林（Michael Sterling）。通过教育培训，他成为一名工业界的数学家，还是一位才华横溢的创新者。他居住在加拿大安大略省滨临休伦湖（Lake Huron）的小镇南安普顿（Southampton）。距离南安普顿岸边不远的教会岛（Chantry Island）上有一座灯塔——帝国之塔灯塔（Imperial Tower Lighthouse），斯特林在此主持了一场为期四年的灯塔修复工程，并因此为人所称道。他还担任了考古现场工程师的工作，参与修复英国皇家海军“亨特将军”号（HMS General Hunter)的残骸，这艘战舰曾是英国的护卫舰，参加过1813年的伊利湖战役（Battle of Lake Erie）。1816年，该舰遭遇一场猛烈的暴风雨，在南安普顿的湖滨沉没，从此被泥沙掩埋。

2001年，“亨特将军”号的残骸被发现。根据发掘时收集到的数据，斯特林和他的团队依照原舰大小2/3的比例搭建了该舰的真实模型，拥有主桅杆、船帆和三个按原始尺寸复制的加农炮。该船模被放置在南安普顿的布鲁斯郡博物馆（Bruce County Museum），颇受欢迎。

以上所述仅仅是迈克尔·斯特林诸多创新和修复工程中的几个例子。但是，他在邮件中所谈的是完全不同的事情：那是一个圆盘状的弦乐器，它的12根琴弦从一个对数螺线的中心向外延展，琴弦的长度按2：1的比例依次增长。也就是说，只要将琴弦的张力调节正确，它们就能严格按照十二平均律奏出声音。在圆盘状底座的下面有一个抛物状的声学镜面，其焦点处有一个换能器，能够将琴弦的声音放大，否则声音会过于微弱。迈克尔在他的邮件中附上了一张乐器的图片，正是这张图片引起了我的注意（图E.2）。他将这件乐器命名为“贝尔努利”，以纪念雅各布·贝尔努利，正是这位数学家发现了这种螺线的诸多奇异特性。

图E.2 迈克尔·斯特林展示他的“贝尔努利”

此后，我们保持着紧密的联系，我和妻子决定去南安普顿拜访迈克尔，从底特律城一路向北，有四个小时的车程。我们受到了热烈的欢迎，而且这次访问被当地的网络日报《索金时报》(Saugeen Times)全程报道。但是，我们讨论的核心话题还是“贝尔努利”。由于该乐器特殊的结构，演奏的时候，需要四个人分别站在它的3、6、9和12点的位置，每名演奏者只负责用小锤敲击自己面前的三根琴弦。目前，迈克尔正在寻找能为“贝尔努利”的首次公演写一首曲子的作曲家。另外，他还制造了第二件弦乐器，其构造有点像竖琴，由36根琴弦组成，每根琴弦的末端都固定在螺旋的“渐伸线”（involute）上（参见图E.3）。［1］在他所有的这些设计——尤其是两件弦乐器中，均体现出迈克尔对几何形状的挚爱。我相信，这两件乐器演奏出的音乐一定会像它们的形状一样美妙无比。敬请关注！

图E.3 迈克尔最新的音乐发明：贝尔努利渐伸线

注释

［1］  一条曲线的渐伸线是一根拉紧的柔性弦自由段的轨迹，该弦沿曲线的切向方向延展。

第十二章

最后的毕达哥拉斯主义者

20世纪， 毕达哥拉斯痴迷于音乐的数字比例这一嗜好，似乎在某种程度上以奇怪的方式复活了，因为人们发现，行星的轨道实际上呈现出某种非凡的和谐，或者更确切地说，表现出轨道共振（orbital resonance）。例如，海王星和冥王星（Pluto，尽管已经不再被视为行星）按照3:2的比例保持轨道共振，这意味着每当海王星围绕太阳公转3圈之时，冥王星正好完成了2圈。这种共振也发生在行星系统的卫星之间，例如木星（Jupiter）的卫星木卫一（Io）和木卫二（Europa）按照2:1的比例保持轨道共振，土星（Saturn）的土卫六（Titan）和土卫七（Hyperion）有着4:3的共振。加上我们自己的月球，它的自转周期与其围绕地球的朔望（从新月到下一个新月）公转周期是一致的，即它们保持1:1的同步旋转。啊哈！1:1、3:2、4:3以及2:1，恰好是音乐音程中的同度（unison）、五度、四度和八度——毕达哥拉斯式的完全协和。可怜的开普勒，他将职业生涯的一半时间都用于从这些音乐和声中探求行星轨道的定律，尽管白费力气，但毕竟有可能是正确的！

但是，轨道共振并不仅限于主要的行星及其卫星。1866年，美国天文学家丹尼尔·柯克伍德（Daniel Kirkwood，1814—1895）发现，在火星和木星之间庞大的小行星带（asteroid belt）上，存在着几个空隙。令他吃惊不已的是，依据木星的公转周期，这些空隙与轨道共振有关，后者的比例分别为4:1、7:2、3:1、5:2、7:3和2:1。另外，小行星集中出现在1:1、3:2和4:3的比例，这些簇集的小行星分别被命名为特洛伊（Trojan）、希尔达（Hilda）和图勒（Thule）小行星群。［1］出现簇集和空隙区域的原因至今尚无定论，但显而易见的是，木星的强大引力起到了一定的作用。这些具有轨道共振特性的简单数值，意味着某颗小行星可能以一定的时间间隔与木星和太阳形成近似的直线，并且会在每次会面中受到微小的引力拖拽。经过数百万年，不断重复的作用会累积起来，导致该小行星的公转轨道变得十分稳定或者混乱不堪。人们利用超级计算机进行模拟，发现只要有足够的时间，这些引力扰动会导致某些轨道区域空无一物，同时另一些区域则出现物质的簇集。

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20世纪80年代，宇宙学的一个新分支开始不断制造新闻——弦论（string theory）。根据这一理论，宇宙间的万事万物都是大量弦振动的结果，而我们的耳朵之所以无法察觉到这些振动，是因为它们都存在于十一维空间。弦论的数学之美吸引了许多年轻的宇宙学家，他们渴望能够加入其中，为人类了解宇宙提供一把钥匙。

弦论的魅力可以追溯到阿尔伯特·爱因斯坦。1916年，他的广义相对论正式发表，对少数能够充分理解这一理论的物理学家而言，该理论以其数学上的完美以及百战百胜的预测令他们深感震撼。这是一种纯粹的思想创造，仅靠稿纸和铅笔，并利用高度抽象的数学理论完成，却彻底改变了我们对于空间、时间和引力的理解。这样的事实让人们不由产生新的想法，正如英国物理学家保罗·埃德里安·莫里斯·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902—1984）那段著名的评论所说：“赋予理论公式以美感比让它符合实验结果更为重要。”

在爱因斯坦人生的最后30年里，他一直努力寻找一个包罗万象的理论——统一场论，其中不仅有引力作用，还包括电磁作用，以及强相互作用和弱相互作用：它们是维系宇宙的四种基本作用力。就像三个世纪之前的开普勒一样，爱因斯坦坚信自然法则的核心简单明了，它由正等待着我们去发现的数学定律所统治。当然，两人之间还是存在区别的。开普勒将职业生涯的前半部分都用于追求（某些人会说是“浪费时间”）一种幻想——他认为所有物理定律都源于音乐和谐的法则；而爱因斯坦则在动摇了物理学的根基之后，才做了相同的事情。爱因斯坦对自己道路的正确性极度自信，并且无视那些年轻同行邀请他一同构建量子理论的请求。他始终坚守自己的计划，直至人生终点。

尽管爱因斯坦并没有成功实现他的目标，但他留下的遗产影响至今。许多雄心勃勃的年轻科学家，包括数学家、物理学家和宇宙学家等，都将他们职业生涯中最好的年华用来创建弦论。他们在内心深处坚信宇宙遵循数学法则，而这些法则即使不是非常简单，也应该能够解释自然界所有的规律。但是，人们对于弦论的热情在世纪之交便到达顶峰，此后逐渐开始消退。这主要是因为该理论具有高度抽象的数学结构，人们无法按照科学方法最终要求的那样，用观察到的数据去检验这一结构。

具有讽刺意味的是，毕达哥拉斯在进行有关弦振动的研究时，比他的现代追随者们更接近科学方法。尽管进行了哲学冥想，毕达哥拉斯至少还使用真实的弦做过实验，进行了观测，并在此基础上得出结论——而且是基本正确的结论。但他的现代同行们没有这样的作为，他们的研究是探索多维世界中一个虚无缥缈的空间，完全不同于毕达哥拉斯思考和谐问题时的那个可观察的宇宙。可以确定的是，弦论在纯数学中开辟了一个崭新的、令人振奋的研究领域，而且它可能已经找到了物理学的“圣杯”——将量子理论与相对论统一在一起。但是，它是否能够满足那些践行者们的高度期望，并给出一个让人满意的“万有理论”呢？让我们拭目以待。

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注释

［1］  戴维·达林（David Darling）所著的《天文学通用读本：从仙女座星系到隐带》(The Universal Book of Astronomy: From the Andromeda Galaxy to the Zone of Avoidance，美国纽约州霍博肯：约翰·威利出版社，2014），第275页。有关天体共振的更多内容，参阅伊瓦尔斯·彼得森（Ivars Peterson）所著的《牛顿的时钟：太阳系的混沌》［Newton’s Clock: Chaos in the Solar System，纽约：W. H. 弗里曼（W. H. Freeman）出版社，1993］，第8、11章。

参考书目

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MacDonald, Malcolm. Schoenberg. London: J.M. Dent & Sons, 1976.

The New Grove Dictionary of Music and Musicians, 2nd ed. New York: Macmillan, 2001 （in 29 volumes）. Also available online at www.oxfordmusiconline.com.

Pesic, Peter. Music and the Making of Modern Science. Cambridge, Mass.: The MIT Press, 2014.

Pierce, John Robinson. Symbols, Signals, and Noise: The Nature and Process of Communication. New York: Harper, 1961, chap. 13.

Powell, John. How Music Works: The Science and Psychology of Beautiful Sounds, from Beethoven to the Beatles and Beyond. New York: Little, Brown and Company, 2010.

Rayleigh, John William Strutt, 3rd Baron. The Theory of Sound. New York: Dover, 1945.

Ross, Alex. The Rest Is Noise: Listening to the Twentieth Century. New York: Farrar, Strauss and Giroux, 2007.

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Taylor, C. A. The Physics of Musical Sound. London: The English University Press, 1965.

Truesdell, C. The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies, 1638–1788. Zurich: Orell Füssli Turici, 1960.

Tyndall, John. On Sound. New York: D. Appleton, 1867.

Walker, D. P. Studies in Musical Science in the Late Renaissance. London: Warburg Institute, 1979.

插图版权

作者提供的照片包括卷首插图、图2.2和图7.1。

本书中重新绘制后用做范例的乐谱，包括图2.5、图3.3、图7.2、图7.3、图8.1、图8.2、图8.4、图10.1。

从普林斯顿大学出版社已出版的作者著作中，这次选取的有图5.1、图5.2、图5.3、图5.4、图5.5、图5.6、图9.3、图E.1。

图P.1 使用的是K. 森普斯所著《物理学基础》（德国希尔德斯海姆 ，1897）的扉页和卷首页

图2.4 来自《详解五度圈及其为什么是一个非常好用的工具》(Understanding the Circle of Fifths and Why It’s a Powerful Tool)，图片由尤斯·普莱恩·比尔（Jus Plain Bill）自制，遵循GNU自由文档许可证（GFDL），参见http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html.

图2.5 约翰内斯·开普勒所著《世界的和谐·第五卷》，由德国林茨：乔·普朗克出版社于1619年出版；还可以参考英文版本《世界的和谐》(The Harmony of the World)，增加了E. J.艾顿（E. J. Aiton）、A. M. 邓肯（A. M. Duncan）和J. V. 菲尔德（J. V. Field）所写的介绍及注释部分，费城：美国哲学会（American Philosophical Society）于1997年出版［《美国哲学会论文集·第209卷》(Memoirs of the American Philosophical Society, vol. 209）］，参见www.hermetic.com.

图3.1 梅森所著的《宇宙和谐》的扉页，来自法国国家图书馆（Bibliothèque nationale de France）。

图3.4 森普斯所著《物理学基础》（德国希尔德斯海姆，1897）。

图B.1 照片由理查德·马奥尔提供。

图7.2 贝多芬为向梅尔策尔致敬而写的歌曲，摘自安东·菲利克斯·辛德勒（Anton Felix Schindler）所著的《我所认识的贝多芬》(Beethoven As I Knew Him，达夫出版社，1996）。

图7.4 照片由Shutterstock公司提供。

图8.5 斯特拉文斯基所创作的《春之祭》的其中一页乐谱，由纽约E. F. Kalmus Prcjestra Scores出版社出版，未标注具体时间。

图9.1 托勒密的世界地图，参见大英图书馆（British Library）哈雷藏书室（Harley）之7182文档，58—59号。

图9.2 朗方所绘制的华盛顿特区的规划图，安德鲁·埃利科特在此基础上又做了修改，1792。收藏于华盛顿特区的国会图书馆（Library of Congress）之地理与地图部，文件编号：20540-4650。

图9.5 M. C. 埃舍尔所绘的《相对论》，M. C.埃舍尔公司——荷兰（M. C. Escher Company—The Netherlands）版权所有。参见www.mcescher.com.由M. C.埃舍尔公司提供。

图9.6 M. C. 埃舍尔所绘的《其他的世界》，M. C.埃舍尔公司——荷兰版权所有。保留所有权限。 参见www.mcescher.com.。由M. C.埃舍尔公司提供。

图10.2 爱因斯坦、戈多夫斯基和勋伯格。照片由纽约Art Resource提供。

图B.1 照片由Shutterstock公司提供。

图D.1 勃拉姆斯《小提琴协奏曲》中的一页，该书由纽约M. 巴伦公司（M. Baron Co.）出版，未标注具体时间。

图E.2 照片由桑迪·林赛（Sandy Lindsay）提供。

图E.3 照片由桑迪·林赛提供。

索 引

阿贝尔

阿尔伯特·亚伯拉罕·迈克尔逊

阿尔伯特·弗兰兹·多普勒

阿尔布雷希特·丢勒

阿图罗·托斯卡尼尼

埃尔温·薛定谔

埃德蒙·哈雷

埃克托尔·柏辽兹

埃里克·萨蒂

爱德华·卢卡斯

爱德华·威廉姆斯·莫雷

爱德华-莱昂·斯科特·德·马丁维尔

艾米·比奇

《安魂曲》 III

安东·辛德勒

奥托里诺·雷斯庇基

巴勃罗·毕加索

巴洛克时期

白贝罗

保罗·埃德里安·莫里斯·狄拉克

贝尔努利（弦乐器）

贝尔努利渐伸线（弦乐器）

彼得·伊里奇·柴可夫斯基

变分法

波动方程

不协和音

《B小调第15号序曲》

差音

超声波

纯律

纯音

次声波

大贺典雄

大三和弦

丹尼尔·柯克伍德

导音

单弦琴

等效原理

迪特里希·尼古拉斯·温克尔

《第一交响曲》（即《泰坦》）

《第三交响曲》

《第四交响曲》

《第五交响曲》

《第八交响曲》（即《千人交响曲》）

《第九交响曲》

《第二弦乐四重奏》

电磁波

电磁现象

电学

叠加原理

对数螺线

多普勒效应

樊尚·丹第

泛音列

菲利波·布鲁内莱斯基

菲利克斯·门德尔松

菲利普·莱纳德

弗兰克·尼尔森·科尔

弗朗茨·舒伯特

弗朗茨·约瑟夫·海顿

傅立叶级数

傅立叶定律

干涉模式

钢片琴

格奥尔格·安德烈斯·佐尔格

格奥尔格·伯恩哈德·黎曼

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨

古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫

古斯塔夫·马勒

古乐器

广义相对论

哈罗德·C.舍恩伯格

海王星

《和谐之书》

华彩乐段

回文音阶

混合音 VI

激波

吉姆·贝尔

伽利略的相对性原理

简谐运动

阶名唱法

节点

“尽可能慢”

卡尔·菲利普·埃马努埃尔·巴赫

卡尔海因茨·施托克豪森 VI

科尔·波特

克拉伦斯·G.汉密尔顿 VI

《科学专题之通俗讲座》

浪漫主义时期

勒内·笛卡尔

利奥波德·斯托科夫斯基

量子力学

鲁道夫·柯尼希

伦纳德·伯恩斯坦

《论乐感》

罗伯特·舒曼

罗伯特·威廉·本生

M.C.埃舍尔

马克斯•普朗克

马兰·梅森

《马太受难曲》

迈克尔·法拉第

迈克尔·斯特林 IX

麦克斯韦方程组

梅森素数

莫杰斯特·穆索尔斯基

拿破仑·波拿巴

能量守恒定律

尼古拉·哥白尼

欧姆定律

拍号

拍频

皮埃尔·布列兹

皮埃尔·蒙特

皮埃尔·西蒙·拉普拉斯侯爵

频率比

平均数 II

《平均律键盘曲集》

《其他的世界》

乔瑟夫·扎理诺

乔治·罗奇伯格

让-菲利普·拉莫 VI

萨尔瓦多·达利

三全音

三艺

四术

声谱

《生理光学手册》

《声学理论》

十二平均律音阶

十二音音乐

属音

统一场论

透视法

托勒密

托马斯·阿尔瓦·爱迪生

托马斯·梅切尔

瓦斯拉夫·尼金斯基

完全协和 II

万有理论

维尔纳·卡尔·海森伯

维克多·摩斯蒂尔

《威尼斯之声》

温斯顿·丘吉尔

五度圈

无调音乐

《五首钢琴曲》

西格蒙德·弗洛伊德

西蒙·斯蒂文

下属调

狭义相对论

弦论

相对主义

小三和弦

小行星带

《小夜曲》

序列音乐

亚里士多塞诺斯

眼底镜

伊阿尼斯·泽纳基斯 VI

伊万·米赫伊维奇·佩尔武申

移调

以太

音叉琴

音分

音色

《宇宙和谐：关于乐器的书》

约翰·阿奇博尔德·惠勒

约翰·凯奇

约翰·内波穆克·梅尔策尔

约瑟夫·索弗尔

约翰·威廉·斯特拉特

约翰·肖尔

《乐队变奏曲》

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦

周期函数

朱巴尔

朱塞佩·塔蒂尼 VI

朱载堉

转位 II

祖宾·梅塔

《最长的一日》

《战争交响曲》

Table of Contents

前 言

第一章 序言：危机四伏的世界

第二章 弦的理论，公元前500年

编外篇A 此处仅谈及术语

第三章 启蒙运动

第四章 与弦有关的伟大论战，1730—1780

编外篇B 机灵鬼

第五章 最珍贵的礼物

第六章 音律学

编外篇C 值得记录的音乐

第七章 音乐小工具：音叉和节拍器

第八章 节奏、节拍和度量

第九章 参照系：我在哪儿

编外篇D 音乐结构体系

第十章 相对论的音乐

第十一章 余 波

编外篇E 贝尔努利

第十二章 最后的毕达哥拉斯主义者