2015李永乐·王式安唯一考研数学系列

线性代数辅导讲义

李永乐　主编

西安交通大学出版社

图书在版编目（CIP）数据

线性代数辅导讲义／李永乐主编．—西安：西安交通大学出版社，2010.2

ISBN 978-7-5605-3454-1

Ⅰ．①线…　Ⅱ．①李…　Ⅲ．①线性代数—研究生—入学考试—自学参考资料　Ⅳ．①0151.2

中国版本图书馆CIP数据核字（2010）第020946号

敬告读者

本书封面粘有专用防伪标识，凡有防伪标识的为正版图书，敬请读者识别。

线性代数辅导讲义

主　　编：李永乐

策　　划：张伟

责任编辑：张梁　雷萧屹

装帧设计：金榜图文设计室

出版发行：西安交通大学出版社

地　　址：西安市兴庆南路10号（邮编：710049）

电　　话：（029）82668315　82669096（总编办）

（029）82668357　82667874（发行部）

印　　刷：大厂回族自治县彩虹印刷有限公司

开　　本：787mm×1092mm　1/16

印　　张：12.5

字　　数：290千字

版　　次：2014年2月第5版

印　　次：2014年2月第1次印刷

书　　号：978-7-5605-3454-1

定　　价：29.80元

图书如有印装质量问题，请与印刷厂联系调换　　电话：（010）51906740

版权所有　侵权必究

前　言

本书是为准备考研的学生复习线性代数而编写的一本辅导讲义，由编者近年来的辅导班笔记改写而成。本书也可作为大一新生学习线性代数时的参考书。

此次修订，补充、更换、编写了一些新题，同时，针对同学们不太好理解或不大注意的地方，也相应增加了一些的说明。

全书共分六章及一个附录，每章均由知识结构网络图、基本内容与重要结论、典型例题分析选讲以及练习题精选四部分组成。为的是方便同学们总结归纳以及更好地掌握知识间的相互渗透与转换。

本书力求在较短的时间内，用不多的篇幅，帮助同学们搞清基本概念，掌握基本理论和公式，了解重点和难点并澄清一些常犯的错误与疑惑。一方面，通过对典型例题的分析讲评，帮助同学们梳理解题的思路，熟悉常用的方法和技巧；另一方面，精编适量的练习题，帮助同学们更好地理解和掌握基本内容、基本解题方法，达到巩固、悟新与提高的目的。另外，题后的点评与评注，其目的在于帮助同学们弄清重点、难点、知识结合点以及解题的基本方法和应注意的问题。

在考研数学中，线性代数占5个考题（2个选择，1个填空，2个解答），分值为34分，其平均用时应当为40分钟左右。因而我们在附录中设计了45分钟的水平测试，希望同学们在复习完本书之后，用三套自测题及时地进行查漏补缺。

另外，为了更好地帮助同学们进行复习，“李永乐考研数学辅导团队”特在新浪微博上开设答疑专区，同学们在考研数学复习中，如若遇到任何问题，即可在线留言，团队老师将尽心为你解答。请访问weibo.com@金榜图书官方微博。

总之，经过修订再版，希望本书能对同学们的复习备考有更大的帮助。由于编者水平有限，疏漏之处在所难免，欢迎批评指正。

编　者

2014年2月

目录

前言

第一章　行列式

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

重要定理

主要公式

方阵的行列式

克拉默法则

三、典型例题分析选讲

数字型行列式

含参数行列式

抽象行列式

矩阵秩的概念

关于|A|=0

代数余子式求和

克拉默法则

四、练习题精选

答案与提示

第二章　矩阵

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

重要定理

主要公式

三、典型例题分析选讲

矩阵运算

伴随矩阵

可逆矩阵

初等矩阵

正交矩阵

矩阵方程

四、练习题精选

答案与提示

第三章　n维向量

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

重要定理

三、典型例题分析选讲

线性相关

线性表出

向量组的秩

矩阵的秩

Schmidt正交化

向量空间

四、练习题精选

答案与提示

第四章　线性方程组

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

主要定理

三、典型例题分析选讲

基础解系

解方程组Ax=b

有解判定、解的结构、性质

公共解、同解

四、练习题精选

答案与提示

第五章　特征值与特征向量

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

重要定理

三、典型例题分析选讲

特征值、特征向量

相似、相似对角化

求相似对角化时的可逆矩阵P

求参数的问题

用相似求An

反求矩阵A

实对称矩阵

四、练习题精选

答案与提示

第六章　二次型

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

重要概念

主要定理

三、典型例题分析选讲

二次型基本概念

二次型的标准形

二次型的正定性

矩阵的等价、相似、合同

四、练习题精选

答案与提示

附录　45分钟水平测试

自测（一）

自测（二）

自测（三）

参考答案与提示

第一章　行列式

一、知识结构网络图

【评注】　（1）对于二、三阶行列式有

注意这样的计算方法对4阶及4阶以上行列式不适用.

（2）对行列式的性质3要理解正确.例如

对于n阶矩阵A=［aij］，B=［bij］，有A+B=［aij+bij］，由于行列式中每一行都是两个数的和，所以若用性质3把行列式拆开，则应当是2n个n阶行列式之和.因此一般情况下.

特别地，

（3）要会用行列式的性质及展开定理计算数字型行列式.

（4）要熟悉抽象型行列式的计算.

二、基本内容与重要结论

基本概念

定义1.1　由1，2，…，n组成的有序数组称为一个n阶排列.通常用j_1j_2…jn表示n阶排列.

定义1.2　一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.用τ（j_1j_2…jn）表示排列j_1j_2…jn的逆序数.

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列.

例如，在5级排列25134中，有逆序21，51，53，54，因此排列25134的逆序数为4，即τ（25134）=4.所以排列25134是偶排列．

定义1.3　n阶行列式

是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

的代数和，这里j_1j_2…jn是1，2，…，n的一个排列.当j_1j_2…jn是偶排列时，该项的前面带正号；当j_1j_2…jn是奇排列时，该项的前面带负号，即

这里表示对所有n阶排列求和.式（1.1）称为n阶行列式的完全展开式．

例如，若已知a_14a2ja_31a_42是四阶行列式中的一项，那么根据行列式的定义，它应是不同行不同列元素的乘积.因此必有j=3．

由于a_14a_23a_31a_42列的逆序数

τ（4312）=3+2+0=5

是奇数，所以该项所带符号为负号．

定义1.4　在n阶行列式

中划去元素aij所在的第i行、第j列，由剩下的元素按原来的排法构成一个n-1阶的行列式

称其为aij的余子式，记为Mij；称（-1）i+jMij为aij的代数余子式，记为Aij，即

例如，若已知行列式的代数余子式A_21=2即已知

从而a=3．

重要定理

定理1.1　n阶行列式

等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即

公式（1.3）称为行列式按第k行的展开公式．

定理1.1′　n阶行列式D等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即

公式（1.4）称为行列式按第k列的展开公式．

定理1.2　设n阶行列式

元素aij的代数余子式为Aij，当i≠k　（i，k=1，2，…，n）时，有

当j≠k　（j，k=1，2，…，n）时，有

【评注】　根据代数余子式的性质（1.3）与（1.5），对于

这是一个重要的公式，要会灵活运用（详见第二章伴随矩阵）．

主要公式

（1）上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积

（2）关于副对角线的行列式

（3）两个特殊的拉普拉斯展开式

（4）范德蒙行列式

（5）特征多项式

设A=（aij）是3阶矩阵，则A的特征多项式

【评注】　设A是n阶矩阵，α是n维非零列向量，若

Aα=λα，α≠0

则称λ是矩阵A的特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量．

知α是齐次方程组（λE-A）x=0的非零解，故系数行列式．

关于（1.12）的推导请参看P_2之评注（2）．

特别地，若秩r（A）=1，由（1.12）知特征多项式

那么，矩阵A的特征值是．

方阵的行列式

克拉默法则

若n个方程n个未知数的线性方程组

的系数行列式

则方程组有唯一解

推论1　若齐次线性方程组

的系数行列式不为0，则方程组只有零解．

推论2　若齐次线性方程组

有非零解，则系数行列式|A|=0．

三、典型例题分析选讲

数字型行列式

【例1.1】　（1996，1）四阶行列式的值等于

【分析】　本题解法较多，较简单的方法是用两行对换，两列对换，把零元素调至行列式的一角，就可用拉普拉斯展开式，例如

而知应选（D）．

注：（1996，1）意为本题选自1996年数学一真题，下同

【例1.2】

【分析】　把第2行加至第1行，提取公因式，即为范德蒙行列式

【例1.3】　（1999，2）记行列式为f（x），则方程f（x）=0的根的个数为

【分析】　问方程f（x）=0有几个根，也就是问f（x）是x的几次多项式.将第1列的-1倍依次加至其余各列，有

易见f（x）是二次多项式，故应选（B）．

【评注】　本题难度值0.55.由于行列式的每一个位置都含有x，因此立即展开处理是不妥的，应当先恒等变形消除一些x再展开.不要错误地认为这样的f（x）一定是4次多项式，其实适当选系数可构造出0至4任一次数的多项式．

【例1.4】　计算

【分析】　各列均加至第1列，并按第1列展开有

【例1.5】　4阶行列式

【分析】　对本题可用逐行相加的技巧，第一行的x倍加至第二行，然后第二行的x倍加至第三行，如此继续，有

【例1.6】　4阶行列式

【分析】　对于爪型行列式，将其转化为上（或下）三角行列式．

【评注】　对于||与||型行列式，可用主对角线元素化其为上（下）三角型来计算．

对于||与||型行列式，可用副对角线元素化其为||或||型来计算．

【小结】　在计算行列式时.先把某行（列）的k倍分别加到其它的每一行（列）（如［例1.3］）；或者先把各行（列）均加到第一行（列），（如［例1.4］，［例1.6］）；或者用逐行（列）相加（如［例1.5］）等手法化简，然后再用展开公式，这些构思是常见的，也是基本的．

【例1.7】　计算n阶行列式

【分析】　按第1列展开，有

本题如果按第1行展开，有

那么你如何计算2012年的考题？

【例1.8】　计算n阶行列式

【分析】　每列元素都是一个a与n-1个b，故可把每行均加至第一行，提取公因式a+（n-1）b，再化为上三角行列式，即

【例1.9】　设n阶矩阵

【分析】　由于|kA|=kn|A|，以及|A-1|=|A|-1，只需计算行列式|A|的值.为此可以把第2，3，…，n各行均加至第1行，提取公因数n-1后，再把第1行的-1倍分别加至第2，3，…，n各行，则有

【评注】　关于n阶行列式一定要仔细看清行列式本身的结构，发现规律，有时自己多写出一行（如第n-1行）或一列（如第n-1列）是有好处的．

关于特殊的三对角线行列式如何计算？

通常可用三角化法、递推法、归纳法．

【例1.10】　计算4阶行列式

【分析】　三角化法用逐行相加的技巧，例如把第1行的倍加到第2行，再把新第2行的倍加到第3行，…

用每行都加至第一行的技巧，例如把第2行的-4倍加到第1行，再把第3行的13倍加到第1行，…

递推法按第1行展开，有

即有D_4=4D_3-3D_2亦即D_4-D_3=3（D_3-D_2）．

那么递推地，D_3-D_2=3（D_2-D_1）而D_2-D_1=13-4=9

从而D_4-D_3=3（D_3-D_2）=3^2（D_2-D_1）=3^4

因此，D_4=3^4+D_3

再次递推有　D_4=3^4+D_3=3^4+3^3+D_2=3^4+3^3+3^2+D_1=121．

【例1.11】　（2008，局部）设是n阶矩阵．

证明|A|=（n+1）an．

【证法一】　用归纳法设n阶行列式|A|的值为Dn

当n=1时，D_1＝2a，命题Dn＝（n+1）an正确，

当n=2时，，命题Dn=（n+1）an正确，

设n＜k时，命题正确．

当n=k时，按第一列展开，得

故命题正确．

【证法二】　化为上三角

【评注】　数学归纳法

（一）①验证n=1时，命题fn正确，

②假设n=k时，命题fn正确，

③证明n=k+1时，命题fn正确．

（二）①验证n=1和n=2时命题fn都正确，

②假设n＜k时，命题fn正确，

③证明n=k时，命题fn正确．

含参数行列式

【例1.12】　若，则λ=_______．

【分析】　这是λ的三次方程，对于三次方程尽力用因式分解法求其根．

所以λ为2，3和6．

本题的解法很多，例如

【评注】　对于特征多项式应两行（或列）加加减减，至多是三行（或列）的加加减减找出λ-a的公因式，然后再解一个二次方程，就可求出矩阵A的三个特征值，这一类行列式的计算要掌握好．

【例1.13】　若，则λ=__________．

【分析】　把第3列加至第1列，第1列有公因式λ-1．

所以λ为1，-1，-1．

【例1.14】　若，则λ=______．

【分析】　把第三行加至第一行，第一行有公因式λ-a-1

所以λ为a+1，2-a，-a-1．

【评注】　这两道题，前者特征值与参数k无关，后者特征值与参数a有关，应当会计算这些含参数的行列式．

抽象行列式

【例1.15】　设A，B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则=______．

【分析】　由于，，故

【例1.16】　已知A是3阶矩阵，且行列式|A|=4，则=______．

【分析】　由．

【例1.17】　设A，B均为n阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，A*和B*分别是A和B的伴随矩阵，则=______．

【分析】　由AA*=A*A=|A|E知A*=|A|A-1，那么

当然本题也可用把A-1，B-1换成A*，B*，

再用|A*|=|A|n-1来处理．

【例1.18】（2010，）　设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______．

【分析】　由于|A+B|没有运算法则，E恒等变形是常用技巧．

本题难度分别是0.515和0.539，有近一半的同学做错了，是不是复习上出现了问题？

【例1.19】　设矩阵矩阵B满足A*BA=3E-BA，其中E为单位矩阵，A*是A的伴随矩阵，则|B*|=______．

【分析】　由于AA*=|A|E，易知本题|A|=2，那么，对已知矩阵方程左乘A，右乘A-1得

2B=3E-AB

即有（2E+A）B=3E.两边取行列式，有

故|B|=，从而|B*|=．

【例1.20】　已知α_1，α_2，α_3，β，γ均为4维列向量，又A=（α_1，α_2，α_3，β），B=（α_1，α_2，α_3，γ），若|A|=3，|B|=2，则|A+2B|=______．

【分析】　由A+2B=（3α_1，3α_2，3α_3，β+2γ），知

【例1.21】（2005，）　设α_1，α_2，α_3均为3维列向量，记矩阵

A=（α_1，α_2，α_3），B=（α_1+α_2+α_3，α_1+2α_2+4α_3，α_1+3α_2+9α_3）

如果|A|=1，那么|B|=______

【分析】　利用分块矩阵乘法

那么，由行列式乘法公式（1.15）及范德蒙行列式（1.11），立即有

|B|=|A||C|=1·（2-1）（3-1）（3-2）=2

或者，利用行列式性质，有

【例1.22】　已知A是3阶矩阵，α_1，α_2，α_3是3维线性无关的列向量.且Aα_1=α_1+2α_3，Aα_2=α_2+2α_3，Aα_3=2α_1+2α_2-α_3，则行列式|A|=______．

【分析】　方法一用行列式性质.利用分块矩阵，有

两边取行列式，并利用行列式乘法公式（1.14）

因为α_1，α_2，α_3是3维线性无关的列向量，知行列式|α_1，α_2，α_3|≠0

所以|A|=-9

方法二用相似.利用分块矩阵，有

令P=（α_1，α_2，α_3），由于α_1，α_2，α_3线性无关，知P为可逆矩阵.从而

据（1.19）知

方法三用特征值.据已知

由于α_1，α_2，α_3线性无关，知

所以矩阵A的特征值是3，1，-3.据（1.18）知

|A|=3·1·（-3）=-9．

练习　（1）已知A是3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，如果A，A-2E，3A+2E均不可逆，则|A+E|=_____．

（2）已知A是3阶矩阵，特征值是1，2，3，若A和B相似，则|B+E|=______．

【小结】　对于抽象型行列式的计算，可能会涉及矩阵的运算法则、单位矩阵恒等变形等技巧（如例1.15-1.19），可能考查行列式的性质（如例1.20，1.21，1.22），也可能用特征值、相似等处理（如例1.22，练习题），这一类题目计算量一般不会很大，但涉及知识点多，公式法则多．

矩阵秩的概念

在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行与列的交叉点上的k^2个元素按其在原来矩阵A中的次序可构成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶子式．

矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r（A）.零矩阵的秩规定为0．

例如，矩阵

中有3阶子式

而A中又没有4阶子式，故A中不为零的子式最高是3阶，所以秩r（A）=3．

关于矩阵的秩要理解清楚：

r（A）=rA中有r阶子式不为0，任何r+1阶子式（若还有）必全为0．

r（A）＜rA中每一个r阶子式全为0．

r（A）≥rA中有r阶子式不为0．

特别地，r（A）=0A=O．

A≠Or（A）≥1．

若A是n阶矩阵，r（A）=n|A|≠0A可逆．

r（A）＜n|A|=0A不可逆．

若A是m×n矩阵，则r（A）≤min（m，n）．

关于|A|=0

【例1.23】　设A是n阶非零矩阵，满足A^2=A，且A≠E，证明行列式|A|=0．

【证法一】　（反证法）若|A|≠0，那么A可逆，用A-1左乘A^2=A的两端，得

A=A-1A^2=A-1A=E

与A≠E矛盾，故A=0

【证法二】　（用秩）据已知有A（A-E）=O，那么

r（A）+r（A-E）≤n

因为A≠E，即A-E≠O，那么秩r（A-E）≥1从而秩r（A）＜n，故|A|=0．

【证法三】　（用Ax=0有非零解）据已知有A（A-E）=O，即A-E的列向量是齐次方程组Ax=0的解，又因A-E≠O，所以Ax=0有非零解，从而|A|=0．

【评注】　AB=O是考研题中一个常见的已知条件，对于AB=O应当有两种思路（参看例3.30）：

设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若AB=O，则

（1）B的列向量是齐次方程组Ax=0的解．

（2）r（A）+r（B）≤n．

【例1.24】　（1996，1改写）设A=E-ζζT，其中E为3阶单位矩阵，ζ为3维非零列向量，ζT是ζ的转置，若ζTζ=1，证明|A|=0．

【证法一】　（用特征值）由于ζTζ=1，且ζ≠0，有

Aζ=（E-ζζT）ζ=ζ-ζ（ζTζ）=ζ-ζ=0ζ

按定义知λ=0是矩阵A的特征值（ζ是属于λ=0的特征向量），所以|A|=0．

【证法二】　（用特征值）因为ζ是3维非零列向量，故ζζT是秩为1的3阶矩阵，据（1.12）有

|λE-ζζT|=λ^3-λ^2=0

即矩阵ζζT的特征值是1，0，0，那么矩阵A=E-ζζT的特征值是0，1，1.所以|A|=0．

【评注】　本题的证法很多，你还能用别的方法吗？如果对证法二有困难，可在复习完特征值之后再来看这种解法．

【例1.25】　设A为n阶矩阵，满足AAT=E，（E为n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵），|A|＜0，证明|A+E|=0．

【证】　因为

所以　（1-|A|）|A+E|=0

又因|A|＜0于是1-|A|＞0

故必有　|A+E|=0．

【例1.26】　（1994，1）设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A*=AT时，证明|A|≠0．

【证】　由于A*=AT，即

即　Aij=aij　（i，j=1，2，…，n）

因为A≠O，不妨设aij≠0，那么用按行展开公式（1.3），有

故|A|≠0．

代数余子式求和

【例1.27】　设，则

（1）A_12-2A_22+3A_32-4A_42=______；

（2）A_31+2A_32+A_34=______．

【分析】　（1）由于a_11=1，a_21=－2，a_31=3，a_41=-4，据（1.6）立即有

（2）因为Aij与元素aij的大小无关，可构造一个行列式（用A3j的系数置换|A|第3行的元素），即

则行列式|A|与|B|第三行元素的代数余子式是一样的，一方面，对|B|按第三行展开（用（1.3））有　|B|=1·A_31+2A_32+0·A_33+1·A_34

另一方面，对行列式|B|恒等变形，有

所以，A_31+2A_32+A_34=-40．

【例1.28】　（2001，4）设行列式

则第4行各元素余子式之和的值为______．

【分析】　本题主要考查余子式的概念及三阶行列式的计算，所谓aij的余子式Mij，就是把行列式|A|中划去aij所在的第i行与第j列后所得到的n-1阶行列式，根据余子式的定义，即求

或者，转换为代数余子式来求解，即

【评注】　本题难度值仅为0.2，是一个值得考生思考的问题，复习要全面，概念要清晰，计算要准确，如若求第4行元素代数余子式的和，则有

克拉默法则

【例1.29】　三元一次方程组

的解中，未知数x_2的值必为

【分析】　因为方程组的系数矩阵行列式是范德蒙行列式，由（1.11）有

根据克拉默法则，　其中

于是，所以应选（D）．

【例1.30】　设，B为3阶非零矩阵，且AB=O，则a=______．

【分析】　由AB=O，对B按列分块有

即β_1，β_2，β_3是齐次方程组Ax=0的解．

因B≠O，即齐次方程组Ax=0有非零解.那么由克拉默法则，有

故a=1或-2．

练习

，其中ai≠aj（i≠j，i，j=1，2，…，n），则线性方程组ATx=B的解是______.

四、练习题精选

1．填空题

（1）设，A*是A的伴随矩阵，则=______．

2．选择题

（1）α，β，γ_1，γ_2，γ_3均为4维列向量，已知|A|=|α，γ_1，γ_2，γ_3|=5，|B|=|β，γ_1，γ_2，γ_3|=-1，则|A+B|=

（2）已知α_1，α_2，α_3，β，γ均为4维列向量，若4阶行列式

那么4阶行列式|2β，α_3，α_2，α_1|=

（3）设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则

（A）当m＞n，必有行列式|AB|≠0

（B）当m＞n，必有行列式|AB|=0

（C）当n＞m，必有行列式|AB|≠0

（D）当n＞m，必有行列式|AB|=0　　　　［　　］

（4）设A为n阶矩阵，则行列式|A|＝0的必要条件是

（A）A的两行元素对应成比例

（B）A中必有一行为其余各行的线性组合

（C）A中有一列元素全为0

（D）A中任一列均为其余各列的线性组合　　　　［　　］

3．解答题

（1）求x的值

（2）已知A是n阶矩阵，满足A^2=E，A≠E，证明|A+E|=0．

（3）已知a，b，c不全为零，证明齐次方程组

只有零解．

答案与提示

【提示】

（1）不必去求伴随矩阵A*，根据|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，有

（2）把各列均加至第1列，然后按第1列展开，可建立递推关系，即

三个式子相加可得D_4.

（3）把第一行分别加至其它各行.

（4）把每列均加至第1列.

（5）本题已有大量的0，可立即用展开公式来计算，建议按第1行展开，比按第1列展开要简洁.

（6）把各列均加至第1列，提取公因式，然后把第1行的-1倍分别加至其余各行，可得上三角行列式.

2．（1）（C）　（2）（C）　（3）（B）　（4）（B）

【提示】

（3）因为AB是m阶矩阵，行列式|AB|=0的充分必要条件是秩r（AB）＜m.由于

可见当m＞n时，必有

故应选（B）.

或者，由于方程组Bx=0的解必是方程组ABx=0的解，而Bx=0是n个方程m个未知数的齐次线性方程组，因此当m＞n时，方程组Bx=0必有非零解，从而ABx=0有非零解，那么行列式|AB|=0.

（4）（A）、（C）均是|A|＝0的充分条件并不必要，只要有一行（列）是其余各行（列）的线性组合就可保证|A|=0.

3．（1）（A）5，6，0　（B）1，2，6

【提示】

（A）把第2行的-2倍加至第3行，可出x-5的公因式，即

（B）把第1行的-3倍、-4倍分别加至第3行与第4行，可用拉普拉斯展开式，即

（2）由A^2=E得（A+E）（A-E）=O

因为A≠E，故齐次方程组（A+E）x=0有非零解.从而|A+E|=0.

【评注】　请参看例1.23的各种证明方法.

（3）由于系数行列式

【评注】　请参看例1.6爪型行列式的计算.

学习札记

第二章　矩　　阵

一、知识结构网络图

【评注】　矩阵是线性代数的核心内容，它贯彻线性代数的始终．复习时要引起考生足够的重视，概念要清晰，符号要习惯，运算要正确、迅速、简捷．

（1）理解矩阵的概念，了解几种特殊矩阵（单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵）的定义及性质．

（2）掌握矩阵运算（加、减、数乘、乘法）及其运算规律，掌握矩阵转置的性质，掌握行列式乘法公式，了解方阵的幂．

（3）理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充要条件，掌握可逆矩阵的性质，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆．

（4）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质及矩阵等价的概念，理解矩阵秩的要领，掌握用初等变换求矩阵的逆和秩．

（5）了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算．

二、基本内容与重要结论

基本概念

定义2.1　m×n个数排成如下m行n列的一个表格

称为是一个m×n矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或叫n阶方阵.

如果一个矩阵的所有元素都是0，即

则称这个矩阵是零矩阵，可简记为O.

两个矩阵，如果m=s，n=t，则称A与B是同型矩阵.

两个同型矩阵，如果对应的元素都相等，即，则称矩阵A与B相等，记作A=B.

定义2.2　设A=［aij］，B=［bij］是两个m×n矩阵，则m×n矩阵称为矩阵A与B的和，记为A+B=C.

定义2.3　设A=［aij］是m×n矩阵，k是一个常数，则m×n矩阵［kaij］称为数k与矩阵A的数乘，记为kA.

设A，B，C，O都是m×n矩阵，k，l是常数，则矩阵的加法和数乘运算满足：

定义2.4　设A=［aij］是m×n矩阵，B=［bij］是n×s矩阵，那么m×s矩阵C=［cij］，其中

称为A与B的乘积，记为C=AB.

矩阵的乘法可图示如下：

矩阵乘法有下列法则：

（1）A（BC）=（AB）C.

（2）A（B+C）=AB+AC，（A+B）C=AC+BC.

（3）（kA）（lB）=klAB.

（4）AE=A，EA=A.

（5）OA=O，AO=O.

【评注】　矩阵的乘法运算是重要的、基本的、也是一些考生不重视常出错的地方.首先，要会作乘法运算，例如

前者αβT和βαT都是3阶矩阵（互为转置），后者βTα和αTβ都是一个数（相同），这里的运算要正确，符号不应混淆.

其次，关于矩阵乘法要注意三个方面：

（1）矩阵乘法没有交换律，一般情况AB≠BA

特别地（A+B）2=（A+B）（A+B）=A^2+AB+BA+B^2≠A^2+2AB+B^2

但（A+E）2=A^2+2A+E.

（2）由AB=O／A=O或B=O

例如

但

在这里，矩阵运算与数的运算不要混淆.

显然B≠C.

但若A是m×n矩阵，秩r（A）=n，则由AB=AC可知B=C这是因为：

定义2.5　把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT.

转置的运算法则：

定义2.6　n阶方阵的元素所构成的行列式

称为n阶矩阵A的行列式，记成|A|或detA.如果A是n阶矩阵，则

定义2.7　设A=［aij］是n阶矩阵，行列式|A|的每个元素aij的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵

称为矩阵A的伴随矩阵.

【评注】　设，由行列式得到代数余子式

A_11=d，A_12=-c，A_21=-b，A_22=a，所以矩阵A的伴随矩阵

对于2阶矩阵，用主对角线对换，副对角线变号即可求出伴随矩阵.

定义2.8　设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B使得

AB=BA=E（单位矩阵）

成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵.

定义2.9　对m×n矩阵，下列三种变换

（1）用非零常数k乘矩阵的某一行（列）；

（2）互换矩阵某两行（列）的位置；

（3）把某行（列）的k倍加至另一行（列）；

称为是矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换.

定义2.10　如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作AB.

定义2.11　单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵.

例如，3阶单位矩阵作如下初等变换

E一，二两行互换（或一，二两列互换）

E第一行的3倍加至第二行（或第二列的3倍加至第一列）

E第三行乘以-2（或第三列乘以-2）

均是初等矩阵.

重要定理

定理2.1　（行列式乘法公式）设A，B都是n阶方阵，则

定理2.2　若A是可逆矩阵，则矩阵A的逆矩阵唯一，记为A-1.

定理2.3　n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0

⇔r（A）=n

⇔A=P_1P_2…Ps，Pi是初等矩阵

⇔0不是矩阵A的特征值

定理2.4　若A是n阶矩阵，且满足AB=E，则必有BA=E.

【评注】　按可逆矩阵定义，若AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵.由定理2.4，如A，B是n阶矩阵，且满足AB=E则可保证BA=E，因而用定义法求A-1时我们的工作量可减少一半，只需检验AB=E就可以了.但要注意的是定理2.4的条件A是n阶矩阵不能忽略.显然，对于

我们并不能说A可逆.

定理2.5　用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，其结果PA（AP）就是对矩阵A作一次相应的行（列）初等变换.

定理2.6　初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵.即

定理2.7　矩阵A与B等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P与Q，使PAQ=B.

定理2.8　秩r（A）=A的列秩=A的行秩.

定理2.9　经初等变换矩阵的秩不变.

主要公式

（1）可逆

（2）伴随

（3）秩

（4）分块矩阵

对矩阵适当地分块处理，有如下运算法则：

若B，C分别是m阶与s阶矩阵，则

若B，C分别是m阶与n阶可逆矩阵，则

若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有

即B的列向量是齐次方程组Ax=0的解.

若AB=C，其中A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则对B，C按行分块有

可见矩阵AB的行向量α_1，α_2，…，αm可由B的行向量β_1，β_2，…，βn线性表出.

类似地，对矩阵A，C按列分块，有

即矩阵AB的列向量可由A的列向量线性表出.

三、典型例题分析选讲

矩阵运算

【例2.1】　设α，β是3维列向量，βT是β的转置，如果

【分析】　设α=［x_1，x_2，x_3］T，β=［y_1，y_2，y_3］T，则

注意到αTβ正是矩阵αβT的主对角线元素之和，所以本题

αTβ=1+2+6=9.

如果能观察出

那么亦能立即看出

【例2.2】　已知，则An=______.

【分析】　因为

即　A^2=－8A　归纳得An=（－8）n-1A.

【评注】　若秩r（A）=1，则A可分解为两个矩阵的乘积，有A^2=lA之规律，从而An=ln-1A.

【例2.3】　若，则A^2=______，A^3=______.

【分析】　由矩阵乘法，有

【评注】　对这类4阶矩阵，有，而A^4＝O.

【例2.4】　若，则An=______.

【分析】　以例2.3为背景，本题可把A分解为两个矩阵之和，即

【例2.5】　设，则An=______.

【分析】　由分块矩阵公式（2.10），我们只需分别算出的n次幂.

从而

【例2.6】　已知P-1AP=B，其中，则An=______.

【分析】　由P-1AP=B⇒A=PBP-1，那么

【例2.7】　已知，若X满足AX+2B=BA+2X，则X^4=______.

【分析】　由矩阵方程，有

【例2．8】　（2004，4）设，B=P-1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B^2004-2A^2=______

【分析】　由于

【例2.9】　设某种生物最多存活30天，将其分为3个年龄组［0，10），［10，20），［20，30），统计资料表明在10天内各年龄组的繁殖率及死亡率如下表：

设第n个10天后各年龄组该生物的个数依次为xn，yn，zn，则的关系式的矩阵形式中，A=______.

【分析】　10天后［0，10）年龄组的生物是当初这期间各年龄组繁殖的总和，而［10，20）年龄组的生物是［0，10）年龄组中存活下来的，［20，30）年龄组的生物则是［10，20）年龄组中存活下来的.

第一个年龄组的xn个生物，经过10天年龄为［10，20），由于存活率是50％，所以10天后，第二个年龄组生物个数.同理第二个年龄组的yn个生物，经过10天年龄为［20，30），由于存活率是25％，故zn+1=.而第三个年龄组的yn个生物，经过10天全部死亡.

第二个年龄组的yn个生物在这10天当中繁殖的新生命有2yn个，其年龄是［0，10），第三个年龄组的zn个生物在这10天中繁殖的新生命有个，其年龄是［0，10），所以.因此有

用矩阵乘法表示，即

伴随矩阵

【例2.10】　设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，由于AA*=A*A=|A|E，又|A|≠0，故有

因为对于任何n阶矩阵A，公式AA*=A*A=|A|E恒成立，那么对于A-1亦应有A-1（A-1）*=|A-1|E.从而

比较（1）、（2）得

【例2.11】　（1998，2）设A是任一n（n≥3）阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有（kA）*=

【分析】　对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立，那么当A可逆时，由A*=|A|A-1有

故应选（B）.

【例2.12】　（1996，3）设n阶矩阵A非奇异（n≥2），A*是A的伴随矩阵，则

【分析】　因为A可逆，由A*=|A|A-1有

故应选（C）.

【例2.13】　已知，则（A-1）*=______.

【分析】　若A可逆，由A*=|A|A-1有

【例2.14】　（2009）设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵.若|A|＝2，|B|＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为

【分析】　由拉普拉斯展开式（1.10）有

那么，矩阵可逆，从而

所以应选（B）.

【评注】　本题考查的知识点有3个：一是用转换求伴随矩阵，即公式A*=|A|A-1，二是行列式的拉普拉斯展开式，三是分块矩阵的求逆公式.这些都是线性代数中很基础的知识.

【例2.15】　设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，证明：

【证】　若秩r（A）=n，则|A|≠0，由于|A*|=|A|n-1，故|A*|≠0，所以秩r（A*）=n.

若秩r（A）＜n-1，则A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，即A*=O，故r（A*）=0.

若秩r（A）=n-1，则|A|=0且A中存在n-1阶子式不为0.那么，由|A|=0有

AA*=|A|E=O

从而r（A）+r（A*）≤n，得r（A*）≤1.

又因A中有n-1阶子式非0，知有Aij≠0，即A*≠O，得r（A*）≥1，故r（A*）=1.

【例2.16】　已知

那么行列式|A|所有元素的代数余子式之和为______.

【分析】　由于A*=［Aji］，只要能求出A的伴随矩阵，就可求出∑Aij.因为A*=|A|A-1，而又由分块求逆，有

可逆矩阵

【例2.17】　若，则A-1=______.

【分析】　求逆是基础知识不要忘记.两个基本求法：

（用伴随矩阵）因为

（用初等行变换求A-1）

【评注】　（1）求代数余子式时，不要忘记正负号，组装伴随矩阵

时，不要排错位置.求A-1时不要忘记除以|A|.

（2）用初等行变换求A-1的常规步骤：

【例2.18】　若A是n阶矩阵，满足A^2+3A-2E=O，则（A+E）-1=______.

【分析】　因为

【例2.19】　设A，B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，若AB＝A－2B－E，，则（A+2E）-1=______.

【分析】　由已知条件有AB＋2B－A－2E＝-3E，

【例2.20】　已知A是n阶矩阵，满足A^3=2E，B=A^2+2A+E，则B-1=______.

【分析】　因为B=A^2+2A+E=（A+E）2，由A^3=2E有

【例2.21】　（2000，2）设，E为4阶单位矩阵，且B=（E+A）-1（E-A），则（E+B）-1=______.

【分析】　对于（A+B）-1没有运算法则，通常用单位矩阵恒等变形的技巧化为乘积的形式.

本题是考生失误较多的一个考题，难度是0.29，这里涉及的思路方法应仔细体会.

【例2.22】　已知A，B均为n阶矩阵，且A与E-AB都是可逆矩阵，证明E-BA可逆.

故E-BA可逆.

练习　已知A和B都是n阶矩阵，且E-AB是可逆矩阵，证明E-BA可逆.

【例2.23】　设，其中A，B分别是m阶和n阶可逆矩阵，证明矩阵H可逆，并求其逆.

【证】　因为A，B可逆，由拉普拉斯展开式（1.9）有

所以矩阵H可逆.

初等矩阵

【例2.24】　设

【分析】　观察到把矩阵A的第一行的2倍加至第三行，然后再二、三两列对换即得到矩阵B，这里的初等行变换应该用P_3来实现，初等列变换应该用P_1来完成，故B=P_3AP_1.应选（C）.

【例2.25】　（2012，1，）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP＝.若P＝［α_1，α_2，α_3］，Q=［α_1+a_2，α_2，α_3］，则　Q-1AQ为

【分析】　由于［α_1+α_2，α_2，α_3］=［α_1，α_2，α_3］，即

所以应选（B）.

【评注】　本题关键是要清楚熟悉矩阵P、Q之间的联系.它是2009试题的变形，已知条件是，09年求QTAQ=？

练习　（2011，）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵.

【例2.27】　已知

【分析】　A经过行变换（第3行的2倍加至第2行）和列变换（2、3两列互换）得到矩阵B，即

【例2.28】　（2005，）设A为n（n≥2）阶可逆矩阵，交换A的第一行与第二行得到矩阵B，A*与B*分别为A和B的伴随矩阵，则

（A）交换A*的第一列与第二列，得B*

（B）交换A*的第一行与第二行，得B*

（C）交换A*的第一列与第二列，得-B*

（D）交换A*的第一行与第二行，得-B*　　　　［　　］

【答案】　（C）

【分析】　按题意，有E_12A=B，于是

因为，有

又因矩阵A的两行互换得到B，而知|A|=-|B|．于是A*E_12=-B*

即A*的一、二两列互换得到-B*．所以应选（C）．

【评注】　本题考查初等矩阵的两个定理，一是左乘右乘，二是初等矩阵的逆矩阵公式．如果对n阶初等矩阵的符号不习惯，不妨把A想成是3阶矩阵，那么

【例2.29】　与矩阵等价的矩阵是

（D）以上都不正确　　　　［　　］

【分析】　显然行列式|A|=0，但矩阵A中有2阶子式非零，故秩r（A）=2.所以与A等价的矩阵是（B）.

其实，把矩阵A第1行的-2倍加至第2行，再把第1列的-2倍加至第2行，然后2、3两行对换后再2、3两列对换，最后第2行乘以即得（B）.

请你用初等矩阵把上述初等变换描述清楚写成PAQ=B的形式.

【例2.30】　（2004，）设n阶矩阵A与B等价，则必有

（A）当|A|=a（a≠0）时，|B|=a

（B）当|A|=a（a≠0）时，|B|=-a

（C）当|A|≠0时，|B|=0

（D）当|A|=0时，|B|=0　　　　［　　］

【分析】　按定义2.10，所谓矩阵A与B等价，即A经初等变换可得到矩阵B.而A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩.

经过初等变换行列式的值不一定相等，也不一定是相反数，例如把矩阵A的第一行乘以5得到矩阵B，那么矩阵A与B等价，而|A|=a时，|B|=5a.可见（A）与（B）均不正确.

若|A|≠0，说明秩r（A）=n，而|B|=0，说明秩r（B）＜n，因此（C）不正确.

当|A|=0时，r（A）＜n，由A与B等价，知秩r（B）=r（A）＜n，因而|B|=0，即（D）正确.

正交矩阵

【例2.31】　若AAT=ATA=E，则称矩阵A是正交矩阵.

（1）A是正交矩阵⇔AT=A-1

（2）A是正交矩阵⇒|A|2=1

（3）设是正交矩阵，那么

则上述关系式表明：

说明正交矩阵的列向量长度均为1，列向量两两正交.

类似地，利用AAT=E可知正交矩阵的行向量长度均为1，行向量两两正交.

【例2.32】　在实对称矩阵求特征向量构造正交矩阵的问题上，常见的错误是：

这4个矩阵都不是正交矩阵！要想清原因，引以为戒.

【例2.33】　设A，B均n阶正交矩阵，且|A|+|B|=0，证明|A+B|=0.

所以，|A+B|=0.

【评注】　处理行列式|A+B|时，要注意单位矩阵E恒等变形的技巧.本题若由|A＋B|＝|AE＋B|用BTB＝E置换E也是一样的.

矩阵方程

对于矩阵方程，经恒等变形之后有三种可能的形式：

AX=B；XA=B；AXC=B

如果矩阵A、C是可逆的，则依次有

X=A-1B；　X=BA-1；　X=A-1BC-1

然后经计算就可求出X.

因为矩阵乘法没有交换律，所以在恒等变形时，运算法则一定要正确.

【例2.34】　已知A，B均是3阶矩阵，矩阵X满足

AXA-BXB=BXA-AXB+E

其中E是3阶单位矩阵，则X=

【分析】　据已知，有

上式右端是单位矩阵，说明矩阵A-B，A+B均可逆，那么左乘（A-B）-1，右乘（A+B）-1，即知X=（A-B）-1（A+B）-1，故应选（B）.

【例2.35】　（2000，1）设矩阵A的伴随矩阵

且ABA-1=BA-1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B.

【解】　由|A*|=|A|n-1，有|A|3=8，得|A|=2.用A右乘矩阵方程的两端，得

AB-B=3A

因为A*A=AA*=|A|E，用A*左乘上式的两端，并将|A|=2代入，得

（2E-A*）B=6E

于是2E-A*是可逆矩阵.从而

B=6（2E-A*）-1

【例2.36】　已知AX=B，其中，，求矩阵X．

【分析】　如A可逆，则X=A-1B，现在的A是不可逆的，可转换为解非齐次线性方程组．

这三个方程组的系数矩阵完全一样，区别仅在常数项，为简洁这三个方程组的高斯消元可同时进行，即

读累了记得休息一会哦~

公众号：古德猫宁李

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四、练习题精选

1．填空题

（1）已知A是3阶矩阵，且所有元素都是-1，则A^4+2A^3=______.

（2）设A是n阶矩阵，满足（A-E）3=（A+E）3，则（A-2E）-1=______.

（3）（2006，4，4分）已知，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=______.

（4）（2006，4，4分）设矩阵，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B=______.

（5）设A是3阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若|A|=4，则

2．选择题

（1）已知，则A的伴随矩阵A*=

（2）A，B均为n阶矩阵，AB=O，且B≠O，则必有

（3）设，若A的伴随矩阵A*的秩为1，则a=

3．解答题

（1）设A是n阶矩阵，若（A+E）m=O，证明矩阵A可逆.

（2）设B是m×n矩阵，BBT可逆，A=E-BT（BBT）-1B，其中E是n阶单位矩阵.

证明：（Ⅰ）AT=A　　　（Ⅱ）A^2=A.

答案与提示

【提示】　（1）秩r（A）=1，有A^2=lA，其中

（2）由（A+E）3=（A-E）3得3A^2+E=O，进而有

（A-2E）（3A+6E）+13E=O

（3）AB=O，B≠O，说明齐次方程组Ax=0，有非零解，故|A|=0.可将第3列加至第2列来求a.

（4）B=2（A-E）-1，要会求二阶逆.

（5）根据及，有

【提示】　（1）用定义，计算Aij时不要丢（-1）i+j，组装伴随矩阵时位置要正确.（A）（B）（D）是三种常见的错误，要特别小心.

（2）AB=O不能保证BA=O，而（A+B）2=A^2+AB+BA+B^2≠A^2+2AB+B^2；当B≠O时，行列式|B|可以为零亦可不为零，由B是否可逆而定.（其实，|B*|=|B|n-1，可见（B）与（C）要对就全对，要错就全错，在本题必全错）；由AB=O，B≠O知Ax=0有非零解.那么|A|=0，从而|A*|=|A|n-1=0.

（3）由于

本题r（A*）=1而n=4，说明r（A）=3，故|A|=0

因为

显然a=1时，r（A）=1，那么只有.

3．（1）（用定义法）因为（A+E）m=O，即

学习札记

第三章　n维向量

一、知识结构网络图

【评注】　n维向量概念抽象，逻辑推理要求高，是线性代数的难点之一，复习时要注意.

（1）理解向量的线性组合、线性表示、线性相关与线性无关等概念，掌握向量线性相关、线性无关的有关性质及判别法．

（2）理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握求向量组的极大线性无关组的方法．

（3）了解向量组等价的概念，理解向量组的秩的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩．

（4）了解向量内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．

二、基本内容与重要结论

基本概念

定义3.1　n个数a_1，a_2，…，an所组成的有序数组

叫做n维向量，其中a_1，a_2，…，an叫做向量α的分量（或坐标），前一个表示式称为列向量，后者称为行向量.

设n维向量α=［a_1，a_2，…，an］T，β=［b_1，b_2，…，bn］T，则

【评注】　（1）向量α=［a_1，a_2，…，an］T的长度

例如，α=［1，2，3］T，则αTα=1^2+2^2+3^2=14，那么向量α的长度为是单位向量.

（3）若（α，β）=0，即a_1b_1+a_2b_2+…+anbn=0，称α与β正交，记为α⊥β.

定义3.2　设α_1，α_2，…，αs是n维向量，k_1，k_2，…，ks是一组实数，称

是α_1，α_2，…，αs的线性组合.

定义3.3　对n维向量α_1，α_2，…，αs和β，如存在实数k_1，k_2，…，ks使得

则称β是α_1，α_2，…，αs的线性组合，或者说β可由α_1，α_2，…，αs线性表出（示）.

即β可由α_1，α_2，α_3线性表出，且表示法不唯一.

又如α_1=［1，0］T，α_2=［2，0］T，β=［0，3］T，那么无论k_1，k_2取何值，恒有k_1α_1+k_2α_2≠β，即β不能由α_1，α_2线性表出.

定义3.4　对n维向量α_1，α_2，…，αs，如果存在不全为零的数使得

则称向量组α_1，α_2，…，αs线性相关.否则，称向量组α_1，α_2，…，αs线性无关.（也就是说，当且仅当k_1=k_2=…=ks=0时，k_1α_1+k_2α_2+…+ksαs=0才能成立.或者说，只要k_1，k_2，…，ks不全为零，那么k_1α_1+k_2α_2+…+ksαs必不为零.）

例如，对于下列向量组的线性相关性是容易判断的

组合系数0，0，1，不全为0.故向量组α_1，α_2，α_3线性相关.

组合系数2，-1，0不全为0，故向量组α_1，α_2，α_3线性相关.

组合系数1，1，-1不全为0，故α_1，α_2，α_3线性相关.

如果k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3=0，按分量写出，有

定义3.5　设有两个n维向量组（Ⅰ）α_1，α_2，…，αs；（Ⅱ）β_1，β_2，…，βt；

如果（Ⅰ）中每个向量αi（i=1，2，…，s）都可由（Ⅱ）中的向量β_1，β_2，…，βt线性表出，则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表出.

如果（Ⅰ）、（Ⅱ）这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价.

例如，已知向量组

知向量组α_1，α_2，α_3与β_1，β_2，β_3可互相线性表出，所以α_1，α_2，α_3与β_1，β_2，β_3是等价向量组.

知向量组α_1，α_2可由向量组β_1，β_2，β_3线性表出，但向量β_1，β_2不能由α_1，α_2线性表出，所以向量组β_1，β_2，β_3不能由向量组α_1，α_2线性表出.这两个向量组不等价.

定义3.6　在向量组α_1，α_2，…，αs中，如存在r个向量αi1，αi2，…，αir线性无关，再加进任一个向量αj（j=1，2，…，s）向量组αi1，αi2，…，αir，αj就线性相关，则称αi1，αi2，…，αir是向量组α_1，α_2…，αs的一个极大线性无关组.

定义3.7　向量组α_1，α_2，…，αs的极大线性无关组中所含向量的个数r称为这个向量组的秩.

例如，向量组中，α_1，α_3线性无关，再添加向量组中的任一个向量αj，向量组α_1，α_3，αj必线性相关.所以α_1，α_3是向量组α_1，α_2，…，α_6的一个极大线性无关组.因此，向量组的秩r（α_1，α_2，…，α_6）=2.

注意向量组的极大线性无关组一般情况下不惟一.例如α_1，α_5也是极大线性无关组，还有……

重要定理

定理3.1　向量β可由向量组α_1，α_2，…，αs线性表出

定理3.2　向量组α_1，α_2，…，αs线性相关

推论1　n个n维向量α_1，α_2，…，αn线性相关的充分必要条件是行列式

|α_1，α_2，…，αn|=0.

推论2　n+1个n维向量一定线性相关.

定理3.3　如果向量组α_1，α_2，…，αs的一个部分组线性相关，那么向量组α_1，α_2，…，αs亦线性相关；反之，如果α_1，α_2，…，αs线性无关，那么它的任一部分组都线性无关.

定理3.4　设α_1，α_2，…，αs是m维向量，β_1，β_2，…，βs是n维向量，令

其中γ_1，γ_2，…，γs是m+n维向量.如果α_1，α_2，…，αs线性无关，则γ_1，γ_2，…，γs线性无关；反之，若γ_1，γ_2，…，γs线性相关，则α_1，α_2，…，αs线性相关.

【评注】　通常称向量组γ_1，γ_2，…，γs是向量组α_1，α_2，…，αs的延伸组，而α_1，α_2，…，αs是γ_1，γ_2，…，γs的缩短组.

定理3.3描述的是向量个数的增减与向量组线性相关性的联系，而定理3.4描述的是向量维数的增减与线性相关性的联系.两者不要混淆.

定理3.5　如果α_1，α_2，…，αs（s≥2）线性相关，则其中必有一个向量可用其余的向量线性表出；反之，若有一个向量可用其余的s-1个向量线性表出，则这s个向量必线性相关.

定理3.6　如果α_1，α_2，…，αs线性无关，α_1，α_2，…，αs，β线性相关，则β可由α_1，α_2，…，αs线性表出，且表示法唯一.

定理3.7　如果向量组β_1，β_2，…，βs可由向量组α_1，α_2，…，αt线性表出，而且s＞t，那么β_1，β_2，…，βs线性相关.即如果多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关.

推论　如β_1，β_2，…，βs线性无关，且它可由α_1，α_2，…，αt线性表出，则s≤t.

定理3.8　设α_1，α_2，…，αs可由β_1，β_2，…，βt线性表出，则r（α_1，α_2，…，αs）≤r（β_1，β_2，…，βt）.

推论　如果（Ⅰ），（Ⅱ）是两个等价的向量组，则r（Ⅰ）=r（Ⅱ）.

定理3.9　如果r（A）=r，则A中有r个线性无关的列向量，而其他列向量都是这r个线性无关列向量的线性组合，也就是r（A）=A的列秩.

一般地，r（A）=A的行秩=A的列秩.

【评注】　（1）向量组的线性相关（无关）是一抽象概念，在理解时要仔细体会“有一组”与“任一组”，许多错误往往发生在此.

对于向量组α_1，α_2，…，αs，恒有0α_1+0α_2+…+0αs=0，向量组α_1，α_2，…，αs是否线性相关，其实就是问除上述情况外，能否再找到一组数

使得k_1α_1+k_2α_2+…+ksαs=0仍能成立？如若可以（即有一组不全为零的k_1，k_2，…，ks）则向量组线性相关，如若不行，则对任一组不全为0的数恒有k_1α_1+k_2α_2+…+ksαs≠0，向量组线性无关.

（2）要知道3维向量线性相关（无关）的几何意义，这有助于对概念的理解.

1°　α_1，α_2线性相关⇔α_1，α_2坐标成比例

若α_1，α_2线性相关，则存在不全为0的k_1，k_2，使k_1α_1+k_2α_2=0

不妨设k_1≠0，于是即α_1，α_2共线，其坐标成比例.反之亦对，略.

2°　α_1，α_2，α_3线性相关⇔α_1，α_2，α_3共面

若α_1，α_2，α_3线性相关，则存在不全为0的k_1，k_2，k_3使得

k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3=0

不妨设k_1≠0，于是

说明向量α_1在以α_2，α_3为边的平行四边形上，故α_1，α_2，α_3共面.反之亦对，略.

（3）要搞清向量组的线性相关、齐次方程组有非零解、向量组的秩等知识点的联系与转换；要搞清线性相关、线性表出之间的联系与转换；要掌握性质与判断方法.

例如，若n维向量α_1，α_2，…，αs线性相关，判断下列向量组的线性相关性

（1）α_1，α_2，…，αs，αs+1　　（2）α_1，α_2，…，αs-1

【分析】　（1）因为α_1，α_2，…，αs线性相关，故存在不全为0的k_1，k_2，…，ks使得

那么有k_1α_1+k_2α_2+…+ksαs+0 αs+1=0，而k_1，k_2，…，ks，0不全为零.

所以，α_1，α_2，…，αs，αs+1必线性相关.

（2）α_1，α_2，…，αs-1的线性相关性不确定.

从几何上看

从坐标上看

【评注】　本题（1）实际上是给出定理3.3的一个证明，而（2）表明向量个数的增减对线性相关性的影响是单向的.

三、典型例题分析选讲

线性相关

【例3.4】　下列向量组中，线性无关的是

【分析】　（A）中有零向量必线性相关.因为

0α_1+0α_2+α_3=0

系数0，0，1不全为0.

（B）是4个三维向量必线性相关.定理3.2推论2：n+1个n维向量必线性相关.

（C）是4个四维向量可用行列式（定理3.2推论1）由于

从而线性相关.

（D）中，因为

知［1，0，0］T，［0，6，0］T，［0，5，6］T线性无关，那么其延伸组［a，1，b，0，0］T，［c，0，d，6，0］T，［a，0，c，5，6］T必线性无关.

【例3.2】　若α_1=［1，3，4，-2］T，α_2=［2，1，3，t］T，α_3=［3，-1，2，0］T线性相关，则t=______.

【分析】　设x_1α_1+x_2α_2+x_3α_3=0，按分量写出，即有

对系数矩阵［α_1，α_2，α_3］作初等行变换，有

α_1，α_2，α_3线性相关有非零解

【例3.3】　若α_1=［1，2，3，1］T，α_2=［1，1，2，-1］T，α_3=［2，6，a，5］T，α_4=［3，4，7，-1］T线性相关，则a=______.

【分析】　4个4维向量计算行列式，有

说明a，α_1，α_2，α_3，α_4恒线性相关.

注意　例3.2和例3.3处理手法的差异，前者s个n维向量转换为齐次方程组来分析，后者n个n维向量利用行列式简便.

【评注】　线性无关的判定

若向量的坐标没有给出，通常用定义法或用秩的理论来分析判断论证，也要有反证法的构思.

（1）用定义法证α_1，α_2，…，αs线性无关的框图是：

（2）用秩　α_1，α_2，…，αs线性无关.

要注意的公式有：r（A）=A列秩=A行秩，r（AB）≤min（r（A），r（B））.若A可逆r（AB）=r（B），r（BA）=r（B），如A是m×n矩阵，B是n×s矩阵且AB=O，则r（A）+r（B）≤n.

【例3.4】　已知α_1，α_2，…，αs，β_1，β_2，…，βs-1都是n维向量，下列命题中错误的是

（A）如果线性相关，则α_1，α_2，…，αs-1，αs线性相关.

（B）如果秩r（α_1，α_2，…，αs，β_1，β_2，…，βs-1）=r（β_1，β_2，…，βs-1），则α_1，α_2，…，αs线性相关.

（C）如果α_1，α_2，…，αs线性相关，且αs不能由α_1，α_2，…，αs-1线性表出，则α_1，α_2，…，αs-1线性相关.

（D）如果αs不能由α_1，α_2，…，αs-1线性表出，则α_1，α_2，…，αs线性无关.　　　　［　　］

【分析】　当αs不能由α_1，α_2，…，αs-1线性表出时，并不能保证每一个向量αi（i=1，2，…，s-1）都不能用其余的向量线性表出.例如，α_1=（1，0，0）T，α_2=（2，0，0）T，α_3=（0，0，3）T，虽α_3不能α_1，α_2线性表出，但α_1，α_2，α_3是线性相关的.所以（D）不正确.

关于（A）.由线性相关.

知α_1，α_2，…，αs可由β_1，β_2，…，βs-1线性表出.据定理3.7亦知α_1，α_2，…，αs线性相关.

对于（C）.由于α_1，α_2，…，αs线性相关，故存在不全为0的k_1，k_2，…，ks使得k_1α_1+k_2α_2+…+ksαs=0.此时必有ks=0，否则αs可由α_1，…，αs-1线性表出.于是k_1，k_2，…，ks-1不全为0，而k_1α_1+k_2α_2+…+ks-1αs-1=0即α_1，α_2，…，αs-1必线性相关.

【例3.5】　已知n维向量α_1，α_2，α_3线性无关，证明3α_1+2α_2，α_2-α_3，4α_3-5α_1线性无关.

【证】　（用定义，重组）

由于α_1，α_2，α_3线性无关，那么

故向量组3α_1+2α_2，α_2-α_3，4α_3-5α_1线性无关.

【证法二】　（用秩）令β_1=3α_1+2α_2，β_2=α_2-α_3，β_3=4α_3-5α_1.则，

因为矩阵可逆，所以r（β_1，β_2，β_3）=r（α_1，α_2，α_3）=3，即β_1，β_2，β_3线性无关，亦即3α_1+2α_2，α_2-α_3，4α_3-5α_1线性无关.

【例3.6】　设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若Am-1α≠0，Amα=0，证明向量组α，Aα，A^2α，…，Am-1α线性无关.

【证】　（用定义、同乘）设k_1α+k_2Aα+k_3A^2α+…+kmAm-1α=0　　　　（1）

由于Amα=0知Am+1α=0，Am+2α=0，…

用Am-1左乘（1）式两端，并把Am+1α=0，Am+2α=0，…代入，有

因为Am-1α≠0，故k_1=0.

把k_1=0代入（1）式，有

同理用Am-2左乘上式，可知

从而k_2=0

类似可得k_3=0，…，km=0.所以α，Aα，A^2α，…，Am-1α线性无关.

【证法二】　（反证法）如果α，Aα，…，Am-1α线性相关，则有不全为0的k_1，k_2，…，km使得k_1α+k_2Aα+…＋kmAm-1α=0　（1）

设k_1，k_2，…，km中第一个不为0的是kp（即k_1=k_2=…=kp-1=0，kp≠0，p≥1）于是kpAp-1α+…+kmAm-1α=0　（2）

用Am-p乘（2）并把Amα=0，Am+1α=0，…代入，就有kpAm-1α=0

又因Am-1α≠0，那么kp=0，与假设矛盾.故α，Aα，A^2α，…，Am-1α线性无关.

【例3.7】　设A是n阶矩阵，α_1、α_2、α_3是n维列向量，若Aα_1=α_1≠0，Aα_2=α_1+α_2，Aα_3=α_2+α_3，证明向量组α_1，α_2，α_3线性无关.

因为α_1≠0，故k_3=0.把k_3=0代入（2）得k_2=0，

再把k_2=0，k_3=0代入（1）得　k_1=0.

因此，向量组α_1，α_2，α_3线性无关.

【例3.8】　设α_1，α_2，…，αt是齐次方程组Ax=0的基础解系，β不是Ax=0的解，证明β+α_1，β+α_2，…，β+αt线性无关.

【证】　（用定义，同乘且重组）设

将（2）式代入（3）式，得

因为α_1，α_2，…，αt是基础解系，它们线性无关，故必有

因此，向量组β+α_1，β+α_2，…，β+αt线性无关.

【例3.9】　（2008，）设A为3阶矩阵，α_1，α_2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α_3满足Aα_3=α_2+α_3，证明α_1，α_2，α_3线性无关.

【证】　（用定义，同乘）由特征值、特征向量的定义，有

（1）-（2）得

因为α_1，α_2是不同特征值的特征向量，α_1，α_2线性无关，故k_1=0，k_3=0.

代入（1）得：k_2α_2=0.

又因α_2是特征向量，α_2≠0从而k_2=0.因此，α_1，α_2，α_3线性无关.

【证法二】　（反证法）因为α_1，α_2是矩阵A不同特征值的特征向量它们线性无关.那么如果α_1，α_2，α_3线性相关则　a_3=k_1α_1+k_2α_2　（1）

用A左乘（1）式两端并把Aα_1=-α_1，Aα_2=α_2，Aα_3=α_2+α_3代入得

（2）-（1）得α_2=-2k_1α_1与α_1，α_2线性无关相矛盾.

【例3.10】　设4维列向量α_1，α_2，α_3线性无关，且与4维列向量β_1，β_2均正交，证明β_1，β_2线性相关.

【证】　（用秩）构造矩阵

则矩阵A是秩为3的3×4矩阵.由于

所以β_1，β_2均是齐次方程组Ax=0的解.

那么，　r（β_1，β_2）≤n-r（A）=4-3=1

从而β_1，β_2线性相关.

练习　设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

【例3.11】　已知n维向量α_1，α_2，α_3线性无关，若β_1，β_2，β_3可用α_1，α_2，α_3线性表出，设

证明β_1，β_2，β_3线性无关的充分必要条件是|C|≠0.

【证】　记A=［α_1，α_2，α_3］，B=［β_1，β_2，β_3］

必要性　若β_1，β_2，β_3线性无关，则秩r（B）=r（β_1，β_2，β_3）=3.又

r（B）=r（AC）≤r（C）≤3

因此，秩r（C）=3，即矩阵C可逆，|C|≠0.

所以，β_1，β_2，β_3线性无关.

【例3.12】　已知向量组α_1，α_2，α_3线性无关，向量组α_1+aα_2，α_1+2α_2+α_3，aα_1-α_3线性相关，则a=______.

【分析】　利用例3.15，由

知a=1或a=-2.

【例3.13】　（1997，）已知向量组α_1，α_2，α_3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是

【分析】　利用观察法，易见

故（A），（B）均线性相关.

对于（C）和（D），简单地加加减减是得不到0，就不应继续观察下去，而应立即转化为计算行列式（其背景是例3.16）

（C）线性无关.易见（D）之行列式为0，（D）线性相关.

注意，（C）与（D）的行列式不必全都计算，只要算其中之一就可下结论.本题难度0.73.

【例3.14】　（定理3.4）设α_1，α_2，…，αs是m维向量，β_1，β_2，…，βs是n维向量，令

如果α_1，α_2，…，αs线性无关，证明γ_1，γ_2，…，γs线性无关.

【证】　设x_1γ_1+x_2γ_2+…+xsγs=0，

由于齐次方程组（1）的前m个方程即是方程组（2），那么（1）的解必是（2）的解.因为α_1，α_2，…，αs线性无关，齐次方程组（2）只有零解.因此齐次方程组（1）也仅有零解，故γ_1，γ_2，…，γs线性无关.

【评注】　如果对分块矩阵不熟悉、不习惯，不妨译成具体的方程组来体会.

【例3.15】　（定理3.7特例）证明：如果β_1，β_2，β_3可由α_1，α_2线性表出，则β_1，β_2，β_3线性相关.

【证】　因为β_1，β_2，β_3可由α_1，α_2线性表出，故可设

由于齐次线性方程组

中，方程个数＜未知数个数，方程组（4）必有非零解.那么取k_1，k_2，k_3为此方程组的非零解，可知有不全为0的k_1，k_2，k_3使（3）成立，从而有不全为0的k_1，k_2，k_3使（1）成立，故β_1，β_2，β_3线性相关.

【评注】　上述证明若用矩阵描述是简捷的：

线性表出

【例3.16】　已知α_1=［1，2，-3，1］T，α_2=［5，-5，a，11］T，α_3=［1，-3，6，3］T，β=［2，-1，3，b］T，试问当a，b取何值时β可以由α_1，α_2，α_3线性表示，并写出其表达式.

【解】　设x_1α_1+x_2α_2+x_3α_3=β，按分量写出，即有

对增广矩阵［α_1，α_2，α_3，β］作初等行变换，有

如果b≠4，方程组无解，β不能由α_1，α_2，α_3线性表出.

如果b=4，秩r（A）=r（A）方程组有解，β可由α_1，α_2，α_3线性表出.

（1）当a≠12时，

方程组有唯一解：x_3=1，x_2=0，x_1=1.即　β=α_1+α_3.

（2）当a=12时，

方程组有无穷多解：x_2=t，x_3=1-3t，x_1=1-2t.即

β=（1-2t）α_1+tα_2+（1-3t）α_3，t为任意实数.

【例3.17】　（2003，4）设有向量组（Ⅰ）：α_1=［1，0，2］T，α_2=［1，1，3］T，α_3=［1，-1，a+2］T；（Ⅱ）：β_1=［1，2，a+3］T，β_2=［2，1，a+6］T，β_3=［2，1，a＋4］T.试问：当a为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价？当a为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？

【分析】　所谓向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，即向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）可以互相线性表出.如果方程组

有解，则β可以由α_1，α_2，α_3线性表出.

那么，如果对同一个a，三个方程组

均有解，则说明向量组（Ⅱ）可以由向量组（Ⅰ）线性表出.

【解】　对［α_1，α_2，α_3┊β_1，β_2，β_3］作初等行变换，有

那么，由方程组x_1α_1+x_2α_2+x_3α_3=β_1知，只要a≠-1方程组总有唯一解，即a≠-1时，β_1必可由α_1，α_2，α_3线性表出.而a=-1时，方程组无解，β_1不能由α_1，α_2，α_3线性表出.

由方程组y_1α_1+y_2α_2+y_3α_3=β_2知，a方程组总有解，即β_2必可由α_1，α_2，α_3线性表出.

由方程组y_1α_1+y_2α_2+y_3α_3=β_3知，只要a≠-1，方程组就有解，β_3就可由α_1，α_2，α_3线性表出.

因此，当a≠-1时，向量组（Ⅱ）可由向量组（Ⅰ）线性表出.

反之，由于行列式

故a，三个方程组x_1β_1+x_2β_2+x_3β_3=αj　　（j=1，2，3）恒有解，即a，向量组（Ⅰ）总可由向量组（Ⅱ）线性表出.

因此，a≠-1时向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.

而a=-1时，β_1不能由α_1，α_2，α_3线性表出，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.

【评注】　若已知向量的坐标而要判断能否线性表出的问题，通常是转换为非齐次线性方程组是否有解的讨论.如果向量的坐标没有给出而问能否线性表出，通常用线性相关及秩的理论分析、推理.

【例3.18】（2005，2）　确定常数a，使向量组α_1=（1，1，a）T，α_2=（1，a，1）T，α_3=（a，1，1）T可由向量组β_1=（1，1，a）T，β_2=（-2，a，4）T，β_3=（-2，a，a）T线性表示，但向量组β_1，β_2，β_3不能由向量组α_1，α_2，α_3线性表示.

【解法一】　因为α_1，α_2，α_3可由β_1，β_2，β_3线性表出，有

又因为β_1，β_2，β_3不能由α_1，α_2，α_3线性表出，故必有

由于r（β_1，β_2，β_3）≤3，从而r（α_1，α_2，α_3）＜3.

所以a=1或a=-2.

若a=1，有α_1=α_2=α_3=β_1，即α_1，α_2，α_3可由β_1，β_2，β_3线性表出，但β_2=（-2，1，4）T不能由α_1，α_2，α_3线性表出

若a=-2易见

所以a=1为所求.

【解法二】　α_1，α_2，α_3可由β_1，β_2，β_3线性表出，即三个方程组

同时有解.

练习　（2011，）设向量组α_1=（1，0，1）T，α_2=（0，1，1）T，α_3=（1，3，5）T不能由向量组β_1=（1，1，1）T，β_2=（1，2，3）T，β_3=（3，4，a）T线性表示

（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）将β_1，β_2，β_3用α_1，α_2，α_3线性表示.

【例3.19】　（1992，1）设向量组α_1，α_2，α_3线性相关，向量组α_2，α_3，α_4线性无关，问

（1）α_1能否由α_2，α_3线性表出？证明你的结论.

（2）α_4能否由α_1，α_2，α_3线性表出？证明你的结论.

【解】　（1）α_1能由α_2、α_3线性表出.

【证法1】　因为已知向量组α_2，α_3，α_4线性无关，那么它的部分组α_2，α_3线性无关（定理3.3）.又因α_1，α_2，α_3线性相关，故α_1可以由α_2，α_3线性表出（定理3.6）.

【证法2】　因为向量组α_1，α_2，α_3线性相关，故存在不全为零的数k_1，k_2，k_3，使得k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3=0其中必有k_1≠0.否则，若k_1=0，则k_2，k_3不全为零，使k_2α_2+k_3α_3=0.即α_2，α_3线性相关，进而向量组α_2，α_3，α_4线性相关（定理3.3），与已知矛盾.于是k_1≠0.由此有即α_1可由α_2，α_3线性表出.

（2）α_4不能由α_1，α_2，α_3线性表出.

【证法1】　（反证法）若α_4能由α_1，α_2，α_3线性表出，设

由（1）知，α_1=l_2α_2+l_3α_3，代入上式整理，得到

即α_4可由α_2，α_3线性表出，从而α_2，α_3，α_4线性相关（定理3.5），与已知矛盾.因此，α_4不能由α_1，α_2，α_3线性表出.

【证法2】　考查方程组x_1α_1+x_2α_2+x_3α_3=α_4，因为α_1，α_2，α_3线性相关，故系数矩阵的秩r（A）=r（α_1，α_2，α_3）＜3.又因α_2，α_3，α_4线性无关，故增广矩阵的秩，r（α_1，α_2，α_3，α_4）≥3.于是r（A）≠r（A），方程组无解，因此，α_4不能由α_1，α_2，α_3线性表出.

【例3.20】　设向量β可以由向量组α_1，α_2，…，αm线性表出，但β不能由向量组α_1，α_2，…，αm-1线性表出.

判断（1）αm能否由α_1，…，αm-1，β线性表出？为什么？

（2）αm能否由α_1，…，αm-1线性表出？为什么？

【解法一】　（1）αm可以由α_1，…，αm-1，β线性表出.

因为β可以由α_1，…，αm线性表出，故可设

此时必有lm≠0，否则β可以由α_1，…，αm-1线性表出与已知矛盾.那么

即αm可以由α_1，…，αm-1，β线性表出.

（2）αm不能由α_1，…，αm-1线性表出.

如果αm可以由α_1，…，αm-1线性表出，可设

将（2）代入（1），整理得

说明β可以由α_1，α_2，…，αm-1线性表出，与已知矛盾.故αm不能由α_1，…，αm-1线性表出.

【解法二】　据已知有

从而r（α_1，α_2，…，αm-1，β）=r（α_1，α_2，…，αm，β）=r（α_1，α_2，…，αm-1，β，αm）即αm可由α_1，α_2，…，αm-1，β线性表出.

又r（α_1，α_2，…，αm-1）+1=r（α_1，α_2，…，αm-1，αm）即αm不能由α_1，α_2，…，αm-1线性表出.

【评注】　希望很好地体会和总结由例3.19和例3.20给出的面对抽象的向量小组讨论线性表出时，所用到的一些思想方法和技巧.

练习　（2010，）设向量组Ⅰ：α_1，α_2，…，αr可由向量组Ⅱ：β_1，β_2，…，βs线性表出.下列命题正确的是

（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s.

（B）若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s.

（C）若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s.

（D）若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s.　　　　［　　］

【例3.21】　（2000，1）设n维列向量组α_1，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β_1，…，βm线性无关的充分必要条件为

（A）向量组α_1，…，αm可由向量组β_1，…，βm线性表示

（B）向量组β_1，…，βm可由向量组α_1，…，αm线性表示

（C）向量组α_1，…，αm与向量组β_1，…，βm等价

（D）矩阵A=［α_1，…，αm］与矩阵B=［β_1，…，βm］等价　　　　［　　］

【分析】　简记向量组α_1，…，αm为（Ⅰ），向量组β_1，…，βm记为（Ⅱ）.那么

（Ⅱ）线性无关⇔秩r（Ⅱ）=m.

（A）　若（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则秩r（Ⅰ）≤r（Ⅱ），又因向量组（Ⅰ）线性无关，有m=r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）≤m

从而秩r（Ⅱ）=m，即β_1，…，βm线性无关，充分性成立.

那么，当m＜n时，条件（A）必要吗？亦即如果向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）均线性无关，能否保证（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出？

则α_1，α_2与β_1，β_2均线性无关，但α_1，α_2不能由β_1，β_2线性表出，故（A）不是必要条件，仅是充分条件.

（B）　若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表出，则秩r（Ⅱ）≤r（Ⅰ）=m.即有

所以β_1，…，βm的线性无关不能确定.（B）不是充分条件.

那么条件（B）必要吗？即向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）均线性无关，能否保证（Ⅱ）必可由（Ⅰ）线性表出？（A）中的反例说明（B）也不是必要条件，因此条件（B）既不充分也不必要.（C）向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，即（Ⅰ）与（Ⅱ）可互相线性表出.由（A）（B）知（C）只是充分条件.

（D）矩阵A与B等价是指经初等变换矩阵A可转换为矩阵B，A与B等价的充分必要条件是秩r（A）=r（B）.

如果矩阵A=［α_1，…，αm］与B=［β_1，…，βm］等价，则r（A）=r（α_1，…，αm）=r（β_1，…，βm）=r（B），因为向量组α_1，…，αm线性无关，秩r（α_1，…，αm）=m.从而r（β_1，…，βm）=m

因此，向量组β_1，…，βm线性无关，充分性成立.

反之，若向量组α_1，…，αm与β_1，…，βm均线性无关，则

从而秩r（A）=r（B）.即矩阵A与B等价，必要性成立.所以应选（D）.

【评注】　由于两个等价的概念不清，本题错误率很高.正确的不足三分之一.

如果两个向量组向量个数相同且等价，则可推知两个矩阵等价，即

练习　（2013，）设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C且B可逆则

（A）矩阵C的行向量与矩阵A的行向量等价.

（B）矩阵C的列向量与矩阵A的列向量等价.

（C）矩阵C的行向量与矩阵B的行向量等价.

（D）矩阵C的列向量与矩阵B的列向量等价.

向量组的秩

【例3.22】　如果向量组（Ⅰ）：αi1，αi2，…，αir与（Ⅱ）：αj1，αj2，…，αjt都是向量组α_1，α_2，…，αs的极大线性无关组，证明r=t.

【证】　因为αi1，αi2，…，αir是α_1，α_2，…，αs的极大线性无关组，所以αi1，αi2，…，αir，αjk（k=1，2，…，t）线性相关.于是αjk可由αi1，αi2，…，αir线性表出.

从而向量组（Ⅱ）可由向量组（Ⅰ）线性表出.

又因向量组（Ⅱ）是极大线性无关组，是线性无关的.所以t≤r.（定理3.7）

同理r≤t，故r=t.

【评注】　本题告诉我们向量组的极大线性无关组往往是不唯一的，其成员可以不一样，但极大线性无关组中向量的个数是一样的，由此引出向量组秩的概念.向量组的秩为r就是指该向量组的极大线性无关组有r个向量.

练习　证明定理：如果α_1，α_2，…，αs可以由β_1，β_2，…，βt线性表出，则

【例3.23】　已知向量组α_1=［1，1，1，3］T，α_2=［1，3，-5，-1］T，α_3=［-2，-6，10，a］T，α_4=［4，1，6，a+10］T线性相关，则向量组α_1，α_2，α_3，α_4的极大线性无关组是______.

【分析】

那么α_1，α_2，α_3，α_4线性相关⇔秩r（α_1，α_2，α_3，α_4）＜4⇔a=2

此时，r（α_1，α_2，α_3，α_4）=3，极大线性无关组是α_1，α_2，α_4或α_1，α_3，α_4.

【例3.24】　（2006，）设4维向量组α_1=［1+a，1，1，1］T，α_2=［2，2+a，2，2］T，α_3=［3，3，3+a，3］T，α_4=［4，4，4，4+a］T，问a为何值时，α_1，α_2，α_3，α_4线性相关？当α_1，α_2，α_3，α_4线性相关时求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

【解】　记A=［α_1，α_2，α_3，α_4］，

那么当a=0或a=-10时，α_1，α_2，α_3，α_4线性相关.

当a=0时，α_1为α_1，α_2，α_3，α_4的一个极大线性无关组且α_2=2α_1，α_3=3α_1，α_4=4α_1.

当a=-10时.对A作初等行变换，有

由于β_2，β_3，β_4是β_1，β_2，β_3，β_4的一个极大线性无关组且β_1=-β_2-β_3-β_4，故α_2，α_3，α_4为α_1，α_2，α_3，α_4的一个极大线性无关组且α_1=-α_2-α_3-α_4.

【评注】　本题也可直接对A作初等行变换

然后由对a=0.a≠0分别讨论，请读者完成.

【例3.25】　已知向量组（Ⅰ）：α_1，α_2，…，αs与（Ⅱ）：α_1，α_2，…，αs，β_1，β_2，…，βt有相同的秩，证明β_1，β_2，…，βt可以由α_1，α_2，…，αs线性表出.

【证】　由于向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）有相同的秩，因此它们极大线性无关组所含向量个数相同.设αi1，αi2，…，αir是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组，那么αi1，αi2，…，αir也是向量组（Ⅱ）中的r个线性无关的向量.又因r（Ⅱ）=r（Ⅰ）=r，从而αi1，αi2，…，αir也是向量组（Ⅱ）的极大线性无关组.因此，β_1，β_2，…，βt可以由αi1，αi2，…，αir线性表出，也就有β_1，β_2，…，βt可以由α_1，α_2，…，αs线性表出.

【例3.26】　设向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表出，且秩r（Ⅰ）=r（Ⅱ），证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.

【分析】　要证向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，也就是要证（Ⅰ）与（Ⅱ）可以互相线性表出，现已知（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，故只需证（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表出，出发点就是秩r（Ⅰ）=r（Ⅱ）.

【证】　设秩r（Ⅰ）=r（Ⅱ）=r，且α_1，α_2，…，αr与β_1，β_2，…，βr分别是向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）的极大线性无关组.由于（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，故α_1，α_2，…，αr可由β_1，β_2，…，βr线性表出.那么

又因α_1，α_2，…，αr线性无关，于是α_1，α_2，…，αr是向量组α_1，α_2，…，αr，β_1，β_2，…，βr的极大线性无关组.从而β_1，β_2，…，βr可由α_1，α_2，…，αr线性表出.进而向量组（Ⅱ）可由α_1，α_2，…，αr线性表出.也就是（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表出.又已知（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，所以（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.

【评注】　注意，若向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，则秩r（Ⅰ）=r（Ⅱ）.但r（Ⅰ）=r（Ⅱ）时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不一定等价.请思考下例：

矩阵的秩

【例3.27】　设矩阵求矩阵A的秩.

【解】　对矩阵A作初等变换，将它化为阶梯形矩阵，有

当a≠1且b≠2时，秩r（A）=4.

当a=1且b=2时，秩r（A）=2.

当a≠1且b=2或a=1且b≠2时，秩r（A）=3.

【例3.28】　设，若秩r（A+AB）=2，则t=______.

【分析】　由于r（A+AB）=r［A（E+B）］，又

是可逆矩阵.故r（A+AB）=r（A）=2.

对矩阵A作初等变换，有

那么，r（A）=2⇔t=9.

【例3.29】　设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明秩

r（AB）≤min（r（A），r（B））.

【证法一】　对于齐次方程组

（Ⅰ）ABx=0与（Ⅱ）Bx=0

若α是方程组（Ⅱ）的任一个解，则由

（AB）α=A（Bα）=A0=0

知α是方程组（Ⅰ）的解.因此方程组（Ⅱ）的解集合是方程组（Ⅰ）的解集合的子集合.

又因（Ⅰ）的解向量的秩为s-r（AB），（Ⅱ）的解向量的秩为s-r（B），故有

s-r（B）≤s-r（AB）

即　r（AB）≤r（B）

另一方面，r（AB）=r（（AB）T）=r（BTAT）≤r（AT）=r（A）.命题得证.

【证法二】　记AB=C，并对A、C按列分块，有

说明AB的列向量γi（i=1，2，…，s）可由A的列向量α_1，α_2，…，αs线性表出.因此据定理3.8与3.9有

类似地，对B与C分别按行分块，有

说明AB的行向量δj（j=1，2，…，m）可由B的行向量β_1，β_2，…，βn线性表出，因此

【例3.30】　设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若AB=O

证明　r（A）+r（B）≤n.

【证】　对矩阵B按列分块，记B=［β_1，β_2，…，βs］，则

于是Aβj=0（j=1，2，…，s）

即B的列向量均是齐次方程组Ax=0的解，由于方程组Ax=0解向量的秩为n-r（A），所以

又秩r（β_1，β_2，…，βs）=r（B），从而有r（A）+r（B）≤n.

【评注】　关于AB=O，应当有两个重要的思路.

（1）B的列向量是方程组Ax=0的解.

（2）秩r（A）+r（B）≤n.

【例3.31】　（2008，1）设A＝ααT+ββT，α，β是3维列向量，αT为α的转置，βT为β的转置.

（1）证明秩r（A）≤2；

（2）若α，β线性相关，则r（A）＜2.

【证】　（1）因为α，β均是列向量，那么ααT，ββT是3阶矩阵，且有r（ααT）≤r（α）≤1，r（ββT）≤r（β）≤1.

那么r（A）=r（ααT+ββT）≤r（ααT）+r（ββT）≤2.

（2）若α，β线性相关.不妨设β=kα，那么

r（A）=r［ααT+（kα）（kα）T］=r［（1+k^2）ααT］=r（ααT）≤1＜2.

【例3.32】　设A是3阶实对称矩阵，若A^2=O，证明A=O.

故A=O.

【评注】　由AB=O⇒/A=O，由A^2=O⇒/A=O.

但当A是实对称矩阵时，由A^2=O可推断A=O.本题证明用的是元素法，你能否用相似对角化来证明本题？

【例3.33】　设A是4阶矩阵，若α_1=［1，9，9，9］T，α_2=［2，0，0，0］T，α_3=［2，0，0，1］T是线性方程组Ax=b的三个解，证明A*=O.

【证】　因为α_1-α_2=［-1，9，9，9］T，α_1-α_3=［-1，9，9，8］T是齐次方程组Ax=0的两个线性无关的解，所以n-r（A）≥2

又因n=4，故r（A）≤2，说明A中3阶子式全为0，因而伴随矩阵A*=O.

Schmidt正交化

如果向量组α_1，α_2，α_3线性无关，令

那么β_1，β_2，β_3两两正交，称为正交向量组.将其单位化

则α_1，α_2，α_3到γ_1，γ_2，γ_3这一过程称为Schmidt正交化.

向量空间(1)

定义3.8　全体n维向量连同向量的加法和数乘运算合称为n维向量空间.

定义3.9　设W是n维向量的非空集合，如果满足

（1）α，β∈W必有α+β∈W；

（2）α∈W及任一实数k必有kα∈W，

则称W是n维向量空间的子空间.

定义3.10　如果向量空间V中的m个向量α_1，α_2，…，αm满足

（1）α_1，α_2，…，αm线性无关；

（2）对于V中任意向量β，β均可由向量组α_1，α_2，…，αm线性表出，即

则称α_1，α_2，…，αm为向量空间V的一个基底（或基）.基中所含向量的个数m称为向量空间V的维数，记作dimV=m，并称V是m维向量空间.向量β的表示系数x_1，x_2，…，xm称为向量β在基底α_1，α_2，…，αm下的坐标.

定义3.11　设e_1，e_2，…，en是向量空间的一组基，如果它们满足

则称e_1，e_2，…，en为规范正交基.

齐次方程组Ax=0的解向量的集合W，由解的性质知：

若α，β是Ax=0的解，则α+β，kα仍是Ax=0的解，所以W是n维向量空间的子空间，通常称为解空间.

则齐次方程组Ax=0的基础解系

是解空间的基，解空间的维数是n-r（A）=4-2=2.

本题中，η_1与η_2已经正交，将其单位化

就是解空间的规范正交基.

定义3.12　在n维向量空间给定两组基

称为由基α_1，α_2，…，αn到基β_1，β_2，…，βn的过渡矩阵.

【例3.34】　（2003，1）从R^2的基到基的过渡矩阵为______.

【分析】　据已知，有

那么，按（3.1）知，过渡矩阵

或，由（3.2）有［β_1，β_2］=［α_1，α_2］C，即C=［α_1，α_2］-1［β_1，β_2］

所以

定理3.10　如果α_1，α_2，…，αm与β_1，β_2，…，βn是n维向量空间的两个基底，则由基α_1，α_2，…，αn到基β_1，β_2，…，βn的过渡矩阵C是可逆矩阵.

定理3.11　如果向量γ在基底α_1，α_2，…，αn的坐标为x_1，x_2，…，xn，向量γ在基底β_1，β_2，…，βn的坐标为y_1，y_2，…，yn，则坐标变换公式为

其中n阶矩阵C是由基底α_1，α_2，…，αn到基底β_1，β_2，…，βn的过渡矩阵.

定理3.12　若n维向量α_1，α_2，…，αs非零且两两正交，则α_1，α_2，…，αs线性无关.

定理3.13　若e_1，e_2，…，en是规范正交基，设

则ε_1，ε_2，…，εn是规范正交基的充分必要条件是C为正交矩阵.

【例3.35】　（1987，1）已知三维向量空间的一组基底为α_1=［1，1，0］，α_2=［1，0，1］，α_3=［0，1，1］，则向量u=［2，0，0］在上述基底的坐标是______.

【分析】　若x_1α_1+x_2α_2+x_3α_3=u，则［x_1，x_2，x_3］称为向量u在基底α_1，α_2，α_3的坐标，按分量写出，有

解此方程组，有x_1=1，x_2=1，x_3=-1.

因此，向量u在基底α_1，α_2，α_3的坐标是［1，1，-1］.

【例3.36】　已知α_1=［1，2，1］T，α_2=［2，3，3］T，α_3=［3，7，1］T与β_1=［2，1，1］T，β_2=［5，2，2］T，β_3=［1，3，4］T是R^3的两组基，那么，在这两组基下有相同坐标的向量是.

【分析】　设向量γ在这两组基下有相同的坐标［x_1，x_2，x_3］T，即

把坐标代入，并整理得

解出　x_1=-7t，x_2=3t，x_3=t

所以

【例3.37】　（2010，1，4分）设α_1=［1，2，-1，0］T，α_2=［1，1，0，2］T，α_3=［2，1，1，a］T，若由α_1，α_2，α_3生成的向量空间维数是2，则a=______.

【分析】　按定义，由α_1，α_2，α_3所生成的向量空间维数是2⇔秩r（α_1，α_2，α_3）=2.那么对［α_1，α_2，α_3］作初等变换，有

所以a=6.

四、练习题精选

1．填空题

（1）向量α_1=［1，4，2］T，α_2=［2，7，3］T，α_3=［0，1，a］T可以表示任一个3维向量，则a的取值为______.

（2）已知向量组α_1=［1，3，2，a］T，α_2=［2，7，a，3］T，α_3=［0，a，5，-5］T线性相关，则a=______.

（3）向量组α_1=［1，3，6，2］T，α_2=［2，1，2，-1］T，α_3=［1，-1，a，-2］T的秩为2，则a=______.

2．选择题

（1）设向量组α_1，α_2，α_3线性无关，则线性无关的向量组是

其中a_1，a_2，a_3，a_4为任意实数，则

（3）设A是m×n矩阵，且其列向量组线性无关，B是n阶矩阵，满足AB=A，则秩r（B）

3.解答题

（1）已知n维向量组（Ⅰ）α_1，α_2，…，αs与（Ⅱ）α_1，α_2，…，αs，β有相同的秩，证明β可以由α_1，α_2，…，αs线性表出.

（2）已知n维向量α_1，α_2，…，αs非零且两两正交，证明α_1，α_2，…，αs线性无关.

（3）设α_1，α_2，β_1，β_2均是3维列向量，且α_1，α_2线性无关，β_1，β_2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α_1，α_2线性表出也可由β_1，β_2线性表出.

当时，求出所有的向量γ.

答案与提示

1．（1）a≠1　　（2）a=-1　　（3）a=-2

【提示】　（1）n个n维向量α_1，α_2，…，αn可以表示任一个n维向量的充分必要条件是α_1，α_2，…，αn线性无关，而α_1，α_2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式|α_1，α_2，…，αn|≠0.

（2）因为α_1，α_2，α_3线性相关，由定理2.1知齐次方程组x_1α_1+x_2α_2+x_3α_3=0有非零解，对系数矩阵作初等行变换，有

由于5+4a-a^2=（5-a）（1+a），2a^2-3a-5=（2a-5）（a+1）可见仅a=-1时，上述两个数才同时为零，否则至少有一个数不零，从而

（3）经初等变换向量组的秩不变，由

2．（1）（B）　　（2）（B）　　（3）（A）

利用观察法，通过简单地加加减减我们知（A）、（C）均线性相关，可排除.

至于（D），令β_1=α_1+α_2，β_2=2α_2+3α_1，β_3=5α_1+8α_2即β_1，β_2，β_3可以由α_1，α_2线性表出，亦即多数向量可以由少数向量线性表出，故β_1，β_2，β_3必线性相关（定理3.7）.

（2）考查α_1，α_2，α_3中的前三个分量所构成的向量，由于

知［1，0，6］T，［1，-1，2］T，［2，0，7］T线性无关，从而延伸组α_1，α_2，α_3必线性无关（定理3.4）.

所以α_1，α_2，α_3，α_4既可能线性相关也可能线性无关，可知（C）（D）均不正确.

（3）由A的列向量组线性无关，知

r（A）=A的列秩=n

又由

AB=A，得A（B-E）=O

那么，

r（A）+r（B-E）≤n，

从而有

r（B-E）≤n-r（A）=n-n=0

本题你能否解得更简捷更好一些？

3．（1）考查方程组x_1α_1+x_2α_2+…+xsαs=β

由于秩

r（α_1，…，αs）=r（α_1，…，αs，β），

即

方程组有解，即β可由α_1，…，αs线性求出.

或者，设αi1，αi2…，αir是α_1，α_2，…，αs的极大线性无关组，由于r（Ⅰ）=r（Ⅱ），可知αi1，αi2，…αir在（Ⅱ）中仍是（Ⅱ）的极大线性无关组，那么αi1，αi2，…，αir，β必线性相关，从而β可由αi1，αi2，…，αir线性表出，故β可由α_1，α_2，…，αs线性表出.

（2）设k_1α_1+k_2α_2+…+ksαs=0　　（1）

因为αi与αj（i≠j）两两正交，有

用左乘（1）式，得

注意

（3）4个3维向量α_1，α_2，β_1，β_2必线性相关，故有不全为0的k_1，k_2，l_1，l_2使得

注意

k_1，k_2必不全为0（想清楚为什么？）

取γ=k_1α_1+k_2α_2=-l_1β_1-l_2β_2

解方程组x_1α_1+x_2α_2+y_1β_1+y_2β_2=0求其通解可知γ=k［0，1，1］T.

学习札记

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(1) 注：仅数学一要求

第四章　线性方程组

一、知识结构网络图

【评注】　线性方程组在代数中地位重要，是考研热点之一.这一部分解题的思路比较清晰，但往届考生中有些同学忽视基本运算，对概念的理解上亦有偏差，因此出错率较高，常犯低级错误.

（1）理解线性方程组解的概念.

（2）非齐次线性方程组Ax=b可能有解（唯一解或无穷多解）亦可能无解，要理解方程组有解的充要条件是秩r（A）=r（）.

（3）n元齐次方程组Ax=0必有零解，问题是除去零解之外是否还有其它的解（即非零解）？判断方法是检查r（A）＜n？特殊情况可检查行列式|A|=0？

要理解基础解系这一概念，其实它就是解向量的极大线性无关组，要掌握基础解系的求法与证明.

（4）要熟悉线性方程组解的性质，掌握解的结构，熟练运用初等行变换求通解（特解、导出组基础解系）.

二、基本内容与重要结论

基本概念

称为n个未知数m个方程的非齐次线性方程组，其中x_1，x_2，…，xn代表n个未知量，m是方程的个数，m可以等于n，也可以大于n或者小于n，aij是第i（i=1，2，…，m）个方程中xj（j=1，2，…，n）的系数，bi（i=1，2，…，m）是第i个方程的常数项.

如果bi=0（i=1，2，…，m），则称方程组

为齐次线性方程组.它是方程组（4.1）的导出组（也称（4.2）为（4.1）对应的齐次线性方程组）.

若将一组数c_1，c_2，…，cn分别代替方程组（4.1）中的x_1，x_2，…，xn，使（4.1）式中m个等式都成立，则称有序数组［c_1，c_2，…，cn］是方程组（4.1）的一组解.解方程就是要找出方程组的全部解.

线性方程组（4.1）的全体系数及常数项所构成的矩阵

称为方程组（4.1）的增广矩阵，而由全体系数组成的矩阵

称为方程组（4.1）的系数矩阵.

方程组（4.1）可以用矩阵表示为：Ax=b其中x=［x_1，x_2，…，xn］T，b=［b_1，b_2，…，bm］T

如果两个方程组有相同的解集合，则称它们是同解方程组.

定义4.1　下列三种变换称为线性方程组的初等变换.

（1）用一个非零常数乘方程的两边

（2）把某方程的k倍加到另一方程上

（3）互换两个方程的位置

线性方程组经初等变换化为阶梯形方程组后，每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称为自由变量.

例如，对增广矩阵作初等行变换，化为

则x_1，x_2，x_5为主变量，x_3，x_4为自由变量.

定义4.2　向量组η_1，η_2，…，ηt称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系，如果

（1）η_1，η_2，…，ηt是Ax=0的解；

（2）η_1，η_2，…，ηt线性无关；

（3）Ax=0的任一解都可由η_1，η_2，…，ηt线性表出.

如果η_1，η_2，…，ηt是齐次线性方程组Ax=0的一组基础解系，那么，对任意常数c_1，c_2，…，ct，

是齐次方程组Ax=0的通解.

主要定理

定理4.1　线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组.

定理4.2　设n元线性方程组为（4.1），对它的增广矩阵施行高斯消元法，得到阶梯形矩阵

如果dr+1≠0，方程组（4.1）无解；如果dr+1=0，方程组有解，而且当r=n时有唯一解，当r＜n时有无穷多解.

定理4.3　齐次方程组（4.2）有非零解

推论1　当m＜n（即方程的个数＜未知数的个数）时，齐次线性方程组（4.2）必有非零解.

推论2　当m=n时，齐次线性方程组（4.2）有非零解的充分必要条件是行列式|A|=0.

定理4.4　（有解判定定理）　非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即.

定理4.5　（齐次方程组解的性质）

如果η_1，η_2是齐次线性方程组Ax=0的两个解，那么其线性组合仍是该齐次线性方程组Ax=0的解.

定理4.6　（线性方程组解的性质）

（1）如果α，β是线性方程组Ax=b的两个解，则α-β是导出组Ax=0的解.

（2）如果α是线性方程组Ax=b的解，η是导出组Ax=0的解，则α+η是Ax=b的解.

定理4.7　设齐次线性方程组（4.2）系数矩阵的秩r（A）=r＜n，则Ax=0的基础解系由n-r个解向量构成，即Ax=0有n-r（A）个线性无关的解向量.

定理4.8　（解的结构）　对非齐次线性方程组Ax=b，若=r，且已知η_1，η_2，…，ηn-r是导出组Ax=0的基础解系，ζ_0是Ax=b的某个已知解，则Ax=b的通解为ζ_0+c_1η_1+c_2η_2+…+cn-rηn-r，其中c_1，c_2，…，cn-r为任意常数.

定理4.9　非齐次线性方程组Ax=b无解

三、典型例题分析选讲

基础解系

【例4.1】　设，则Ax=0的基础解系中所含解向量的个数是______.

【分析】　由于Ax=0的基础解系由n-r（A）个解向量所构成，故应计算秩r（A）.

所以基础解系中所含解向量个数为2.

练习　（2004，3）设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ_1，ξ_2，ξ_3，ξ_4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系

【例4.2】　齐次方程组

的通解______

【分析】　对系数矩阵A作初等行变换化为行最简有：

得同解方程组

令x_4=k_1，x_5=k_2得x_3=-k_1-3k_2，x_2=2k_1+3k_2，x_1=-3k_1-2k_2，所以方程组通解

为任意实数.

【例4.2】　齐次方程组

的基础解系是______.

【分析】　系数矩阵已是阶梯形，

由秩r（A）=3，知n-r（A）=5-3=2.

故基础解系是：

【评注】　如何确定自由变量并赋值？

（1）对系数矩阵作初等行变换化其为阶梯形.

（2）由秩r（A）确定自由变量的个数n-r（A）.

（3）找出一个秩为r（A）的矩阵，则其余的n-r（A）列对应的就是自由变量.

（4）每次给一个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0（注意共需赋值n-r（A）次）.

对阶梯形方程组由下往上依次求解，就可得到方程组的解.

练习　已知α_1，α_2，α_3，α_4是4维非0列向量，记A=（α_1，α_2，α_3，α_4），A*是A的伴随矩阵，若齐次方程组Ax=0的基础解系为（1，0，-2，0）T，则A*x=0的基础解系为

【例4.4】　设A是n阶矩阵，秩r（A）=n-1.

（1）若矩阵A各行元素之和均为0，则方程组Ax=0的通解是______.

（2）若行列式|A|的代数余子式A_11≠0，则方程组Ax=0的通解是______.

【分析】　由于n-r（A）=n-（n-1）=1，故Ax=0的通解形式为kη，我们只需寻找出Ax=0的一个非零解就可以了______.

（1）齐次方程组Ax=0，即

那么，各行元素之和均为0，即

所以　x_1=1，x_2=1，…，xn=1是Ax=0的一个解，因此，Ax=0的通解为k（1，1，…，1）T.

（2）由秩r（A）=n-1知行列式|A|=0，那么

AA*=|A|E=O，

故伴随矩阵A*的每一列都是齐次方程组Ax=0的解，对于

由A_11≠0，故［A_11，A_12，…，A1n］T是Ax=0的非零解，因此，Ax=0的通解是k［A_11，A_12，…，A1n］T.

【例4.5】　（2004，1）设有齐次线性方程组

试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解.

【解法一】　对系数矩阵作初等行变换

（1）若a=0，秩r（A）=1，方程组有非零解，其同解方程组为

由此得基础解系为

所以方程组的通解是

（2）若a≠0，对矩阵B继续作初等行变换，有

故当时，秩r（A）=n-1＜n，方程组也有非零解.其同解方程组为

于是方程组的通解为kη，k为任意常数.

【解法二】　由于系数行列式

（1）若a=0，对系数矩阵作初等行变换，有

故方程组的同解方程组为

由此得基础解系为

此时方程组的通解为

，其中k_1，…，kn-1为任意常数.

（2）若，对系数矩阵作初等行变换，有

故方程组的同解方程组为

因为系数矩阵的秩为n-1，可求出基础解系为

此时方程组的通解为

解方程组Αx=b

（1）要会解方程组，会处理参数.

【例4.6】　解方程组

【解】　对增广矩阵作初等变换化为阶梯形，有

由于方程组有解，其同解的线性方程组是

（1）先求特解α，只要取x_3=x_4=x_5=0即可，于是

（2）再求导出组的基础解系（需把方程组的常数项换成零），得

此时n-r（A）=5-2=3，x_3，x_4，x_5是自由变量.

故方程组的通解是α+k_1η_1+k_2η_2+k_3η_3　（k_1，k_2，k_3为任意常数）.

【评注】　这是基础题，搞清楚非齐次线性方程组的求解方法：

（1）对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵；

（2）求导出组的一个基础解系；

（3）求方程组的一个特解（为简捷，可令自由变量全为0）；

（4）按解的结构写出通解.

注意，当方程组中含有参数时，分析讨论要严谨不要丢情况，此时的特解往往比较繁.

【例4.7】　当a取何值时，线性方程组

无解、有唯一解、有无穷多解？并在有解时求其所有解.

【解】　对增广矩阵作初等行变换，有

若a=1，则r（A）=2，r（）=3，方程组无解.

若a=-3，则r（A）=r（）=2＜3，方程组有无穷多解.

若a≠1且a≠-3，则r（A）=r（）=3，方程组有唯一解.

当a=-3时，

方程组通解是：［3，-1，0］T+k［5，-1，1］T.

当a≠1且a≠-3时

方程组的唯一解是：

【例4.8】　已知线性方程组

讨论参数a，b取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.

【解】　对增广矩阵作初等行变换，有

当b≠4时，r（A）≠r（）方程组无解.

当b=4时，a恒有r（A）=r（），方程组有解.

若a≠1，r（A）=r（）=3，方程组有无穷多解.通解为：

若a=1，r（A）=r（）=2，方程组有无穷多解，通解为：

为任意常数.

【评注】　这一类题目另一种表述为：设α_1=［1，1，1，1］T，α_2=［-1，-3，1，7］T，α_3=［-2，-5，a，10］T，α_4=［2，3，4，7］T，β=［0，-1，1，b］T，试讨论当a，b为何值时

（1）β不能由α_1，α_2，α_3，α_4线性表示；

（2）β可由α_1，α_2，α_3，α_4线性表示，并求出表示式.

【例4.9】（2004，4）　设线性方程组

已知（1，-1，1，-1）T是该方程组的一个解.试求

（Ⅰ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；

（Ⅱ）该方程组满足x_2=x_3的全部解.

【解】　（Ⅰ）因为（1，-1，1，-1）T是方程组的一个解，将其代入方程的两端，立即有λ=μ.

对增广矩阵作初等行变换

由r（A）=r（）=2，n-r（A）=4-2=2，方程组有无穷多解，其通解：

为任意常数.

由r（A）=r（）=3，n-r（A）=4-3=1，方程组有无穷多解，其通解：

，k为任意常数.

（Ⅱ）（1）由λ=，对x_2=x_3由通解知：

（2）如λ≠，对于x_2=x_3，由通解知

故方程组的解为

练习　已知方程组

有2个不同的解.

（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r（A）=2；

（Ⅱ）求a，b的值及方程组的通解.

【例4.10】　（2009，）设

（Ⅰ）求满足Aξ_2=ξ_1，A^2ξ_3=ξ_1的所有向量ξ_2，ξ_3；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ_2，ξ_3，证明ξ_1，ξ_2，ξ_3线性无关.

【解】　（Ⅰ）对于方程组Ax=ξ_1，由增广矩阵作初等行变换，有

令x_2=t，解出x_3=1-2t，x_1=-t.

即ξ_2=［-t，t，1-2t］T，t为任意常数

由于，对于方程组A^2x=ξ_1，由增广矩阵作初等行变换，有

令x_2=u，x_3=v，解出x_1=-u-

即ξ_3=［-u-，u，v］T，u，v为任意常数

（Ⅱ）因为

所以对任意的t、u、v恒有|ξ_1，ξ_2，ξ_3|≠0

即ξ_1，ξ_2，ξ_3一定线性无关.

（2）要会用解的结构处理抽象的方程组.

【例4.11】　4元方程组Ax=b中，系数矩阵的秩r（A）=3，α_1，α_2，α_3是方程组的三个解，若α_1=［1，1，1，1］T，α_2+α_3=［2，3，4，5］T，则方程组通解为______.

【分析】　由于n-r（A）=4-3=1，故方程组通解形式为α+kη.

因为α_1是方程组Ax=b的解，故α可取为α_1.

如果α_1，α_2是Ax=b的解，则由Aα_1=b，Aα_2=b知A［α_1-α_2］=0，即α_1-α_2是Ax=0的解，那么由

而知A（α_2+α_3-2α_1）=0，即［0，1，2，3］T是Ax=0的解，所以，方程组的通解为：［1，1，1，1］T+k［0，1，2，3］T，k为任意常数.

【例4.12】　（2002，）已知4阶方程A=［α_1，α_2，α_3，α_4］，α_1，α_2，α_3，α_4均为4维列向量，其中α_2，α_3，α_4线性无关，α_1=2α_2-α_3，如果β=α_1+α_2+α_3+α_4，求线性方程组Ax=β的通解.

【分析】　本题没有给出系数矩阵而又需要求出通解，通常加减消元之路堵塞，应当抽象地用解的结构与性质来分析探讨.

【解法一】　因为α_2，α_3，α_4线性无关，又α_1=2α_2-α_3，故α_1，α_2，α_3，α_4线性相关，从而秩

知［1，1，1，1］T是Ax=β的解.故方程组Ax=β的通解为

【解法二】　（构造与Ax=β同解的方程组）

设x=［x_1，x_2，x_3，x_4］T是方程组Ax=β的任一解，则

将α_1=2α_2-α_3代入上式，整理得

因为α_2，α_3，α_4线性无关，故必有

解此方程组即得到Ax=β的通解为

【评注】　要会分析求解这一类抽象的线性方程组，本题满分6分，数一人均2.94分，数二人均2.16分.

（3）有些考题要求考生通过矩阵的运算构造出方程组并求解.

【例4.13】　（2000，2）已知，B=βTα.

求解方程2B^2A^2x=A^4x+B^4x+γ.

【解】　由于

又 A^2=［αβT］［αβT］=α［βTα］βT=2A，于是A^4=8A代入原方程，整理有

对增广矩阵作初等行变换，有

故方程组的通解是：α+kη，k为任意常数.

【例4.14】　（2013，）设，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

【解】　设.那么AC-CA=B即

对增广矩阵作初等行变换，有

当a≠-1或b≠0时，方程组无解.

当a=-1，且b=0时，方程组有解.此时有在矩阵C满足AC-CA=B.

由于方程组的通解为

故当且仅当a=-1，b=0时，存在矩阵

【评注】　这是考的比较差的一道题，计算上失误非常严重，希望大家复习时要重视基本计算.

练习　（2014，）设，E为3阶单位矩阵.

（Ⅰ）求方程组Ax=0的一个基础解系.

（Ⅱ）求满足AB=E的所有矩阵B.

有解判定、解的结构、性质

【例4.15】　已知齐次方程组

有非零解，则a=______.

【分析】　齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于n.由于

可见秩r（A）＜3⇔a=2.

【评注】　由于本题A是4×3矩阵，故对Ax=0作有非零解判定时，应当用矩阵的秩，而不是用行列式.本题涉及齐次线性方程组解的理论，矩阵的初等行变换，以及矩阵秩的计算.

【例4.16】　线性方程组Ax=b经初等行变换其增广矩阵化为

若方程组无解，则a=

【分析】　非齐次线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是r（A）≠r（A）.

当a=-1时，r（A）=4，r（）=4，方程组必有唯一解，故（A）不正确.注意此时第4个方程是-3x_4=0，不要与0x_4=3相混淆.

当a=1时，仍有r（A）=r（）=4，故（B）不正确.

当a=2时，

r（A）=r（）＜4，方程组有无穷多解.（C）不正确.

当a=3时

可观察出二、三两个方程矛盾，方程组无解，故应选（D）.

【例4.17】　下列命题中，正确的命题是

（A）方程组Ax=b有唯一解⇔|A|≠0

（B）若Ax=0只有零解，那么Ax=b有唯一解

（C）若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解

（D）若Ax=b有两个不同的解，那么Ax=0有无穷多解　　　　［　　］

【分析】　（A）A不一定是n阶矩阵，那么行列式可以不存在.

（B）由于

Ax=0只有零解⇔秩r（A）=n.

Ax=b有唯一解⇔秩r（A）=r（）=n

因为由r（A）=n⇒/r（）=n，故（B）不正确.

请考察

（C）Ax=0有非零解⇔r（A）＜n

Ax=b有无穷多解⇔r（A）=r（）＜n

当r（A）＜n时⇒/r（A）=r（）＜n.故（C）不正确.

虽Ax=0有非零解，但Ax=b可以无解.

（D）若α_1，α_2是方程组Ax=b的两个不同的解，则α_1-α_2是Ax=0的非零解，从而Ax=0有无穷多解，即（D）正确.

【例4.18】　设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是

【分析】　非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是r（A）=r（）.由于增广矩阵=［A，b］是m×（n+1）矩阵，按矩阵秩的概念与性质，有

如果r（A）=m，则必有r（A）=r（）=m，所以方程组Ax=b有解.但当r（A）=r（）＜m时，方程组仍有解，故（A）是方程组有解的充分条件.

而（B）、（C）、（D）均不能保证r（A）=r（），希望你能想清楚，举出简单反例.

【例4.19】　线性方程组Ax=b的系数矩阵是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则错误命题是

（A）齐次方程组ATx=0只有零解

（B）齐次方程组ATAx=0必有非零解

（C）b，方程组Ax=b必有无穷多解

（D）b，方程组ATx=b必有唯一解　　　　［　　］

【分析】　因为矩阵的秩r（A）=A的行秩=A的列秩，由于A的行向量组线性无关，得r（A）=4.

AT是5×4矩阵，而r（AT）=r（A）=4，所以齐次线性方程组只有零解.（A）正确.

ATA是5阶矩阵，由于r（ATA）≤r（A）=4＜5，所以齐次方程组ATAx=0必有非零解，（B）正确.

A是4×5阶矩阵，A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以从行向量来看必有r（A）=r（A，b）=4＜5，即Ax=b必有无穷多解，（C）正确.

由于AT列向量只是4个线性无关的5维向量，它们不能表示任一个5维向量，故方程组ATx=b有可能无解，即（D）不正确.

【例4.20】　（2001，3）设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩，则线性方程组

【分析】　对于齐次方程组Ax=0

（1）只有零解　　（2）必有非零解

两者必居其一且仅居其一.因此，（C）与（D）中必有一个正确.

A是n阶矩阵，是n+1阶矩阵，由于

故应选（D）.

【例4.21】　设A是秩为2的4×5矩阵，已知非齐次线性方程组Ax=b有解，则解集合中线性无关的解向量个数为

【分析】　由秩r（A）=2，知Ax=b的导出组Ax=0的基础解系有n-r（A）=5-2=3个解向量，设α是Ax=b的某个解，η_1，η_2，η_3是Ax=0的基础解系.

那么，α，α+η_1，α+η_2，α+η_3是Ax=b的4个线性无关的解，且Ax=b的任一个解均可以由α，α+η_1，α+η_2，α+η_3线性表出.这是因为：

用A左乘（1）式，并把Aα=b≠0，Aηi=0（i=1，2，3）代入，可得：

由（1）又有

把（2）代入得

因为η_1，η_2，η_3是基础解系，它们线性无关，故必有k_1=0，k_2=0，k_3=0.

再代入（2）式，可知k=k_1=k_2=k_3=0，即α，α+η_1，α+η_2，α+η_3线性无关.

若γ是Ax=b的任意一个解，则γ-α是Ax=0的解，它可由η_1，η_2，η_3线性表出.

即γ必可由α，α+η_1，α+η_2，α+η_3线性表出.

【评注】　通过本题的分析我们可知当方程组Ax=b有解时，解向量的极大线性无关组有n-r（A）+1个向量.

【例4.22】　已知ξ_1=［-9，1，2，11］T，ξ_2=［1，-5，13，0］T，ξ_3=［-7，-9，24，11］T是方程组的解，则方程组的通解是______.

【分析】　只有知道秩r（A），算出n-r（A）就知解的结构.因为矩阵

中有2阶子式例如，故秩r（A）≥2，又因

是齐次方程组Ax=0的线性无关的解，而有

从而得秩r（A）=2.

所以方程组的通解为：

【评注】　本题亦可利用解的概念先求出参数a，b，c，d，然后再解方程组求解，但计算繁琐，不好.

【例4.23】　已知方程组

证明方程组（Ⅰ）有解的充分必要条件是方程组（Ⅱ）无解.

【分析】　方程组（Ⅰ）的系数矩阵与增广矩阵分别是

方程组（Ⅰ）有解⇔秩r（A_1）=r（1）

方程组（Ⅱ）的系数矩阵与增广矩阵分别是

方程组（Ⅱ）无解⇔秩r（A_2）≠r（2）

【证】　必要性　若r（A_1）=r（1）

由于，故

于是r（A_2）≠r（2），故方程组（Ⅱ）无解.

充分性　若方程组（Ⅱ）无解，则r（2）=r（A_2）+1.

由必要性知r（A_2）=r（1），于是r（1）+1=r（1）+1，所以r（A_1）=r（1），即方程组（Ⅰ）有解.

【评注】　（*）成立的理由：2的最后一个行向量不能由上面的行向量线性表出.

公共解、同解

对于方程组（Ⅰ）和（Ⅱ），如果α既是方程组（Ⅰ）的解，α也是方程组（Ⅱ）的解，则称α是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共解.

【例4.24】　设有两个4元齐次线性方程组

（1）求线性方程组（Ⅰ）的基础解系；

（2）试问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由.

【解】　（1）因为方程组（Ⅰ）系数矩阵的秩r（A）=2，n-r（A）=4-2=2，所以基础解系由2个解向量构成，给自由变量x_3，x_4赋值得基础解系：

（2）关于公共解，可以有几种处理方法：

1°.把（Ⅰ）、（Ⅱ）联立起来直接求解，即

由于n-r（A）=1，基础解系是［-1，1，2，1］T，从而有（Ⅰ）、（Ⅱ）的公共解：k［-1，1，2，1］T，k是任意实数.

2°.通过（Ⅰ）与（Ⅱ）各自的通解，寻找公共解.为此，先求（Ⅱ）的基础解系：

那么k_1ξ_1+k_2ξ_2，l_1η_1+l_2η_2分别是（Ⅰ）、（Ⅱ）的通解.令其相等，即有

比较两个向量的对应分量得k_1=l_1=2k_2=2l_2.

所以公共解是

3°.把（Ⅰ）的通解代入（Ⅱ）中，如仍是解，寻找k_1，k_2所应满足的关系式而求出公共解.

如果k_1ξ_1+k_2ξ_2=［-k_2，k_2，k_1，k_2］T是（Ⅱ）的解，那么应满足（Ⅱ）的方程，故

解出k_1=2k_2，下略.

【例4.25】　（2007，）设线性方程组

有公共解，求a的值及所有公共解.

【解】　因为方程组（1）与（2）的公共解，即为联立方程组

的解，对增广矩阵加减消元有

当a≠1且a≠2时方程组无解，从而（1）与（2）没有公共解.

当a=1时

，方程组的通解是k［1，0，-1］T.

即（1）与（2）的公共解是k［1，0，-1］T，k是任意常数.

当a=2时

，方程组有唯一解［0，1，-1］T

即（1）与（2）的公共解是［0，1，-1］T.

【评注】　本题也可先计算方程组（1）的系数行列式

然后分情况讨论.

当a≠1且a≠2时，方程组（1）只有零解.

【例4.26】　设A与B均是n阶矩阵，且秩r（A）+r（B）＜n，证明方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解.

【证】　构造齐次线性方程组

设αi1，αi2，…，αir与βj1，βj2，…，βjt分别是A与B行向量组的极大线性无关组，那么矩阵的行向量组可以由αi1，…，αir，βj1，…，βjt线性表出.从而

所以方程组（1）有非零解，即Ax=0与Bx=0有非零公共解.

对于方程组（Ⅰ）和（Ⅱ），如果α是（Ⅰ）的解，则α必是（Ⅱ）的解，反之如果α是（Ⅱ）的解则必有α也是（Ⅰ）的解，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）同解.

【例4.27】　（2003，1）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题

（1）若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩r（A）≥r（B）.

（2）若秩r（A）≥r（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解.

（3）若Ax=0与Bx=0同解，则秩r（A）=r（B）.

（4）若秩r（A）=r（B），则Ax=0与Bx=0同解.

以上命题中正确的是

【分析】　显然命题（4）错误，故可排除（C），（D）.对于（A）和（B）其中必有一个是正确的，而（A）与（B）中均含有命题（1），所以命题（1）必然正确，那么命题（2）和（3）哪一个正确呢？

因为命题（1）正确，即若Ax=0的解均是Bx=0的解，则必有r（A）≥r（B），可知若Bx=0的解均是Ax=0的解，则必有r（B）≥r（A）正确.那么当Ax=0与Bx=0同解时，必有r（A）≥r（B）≥r（A），即r（A）=r（B）可见命题（3）正确，所以应选（B）.

【评注】　命题（1）的正确性如何直接来证明呢？

设α_1，α_2，…，αt是Ax=0的基础解系，β_1，β_2，…，βs是Bx=0的基础解系.因为Ax=0的解均是Bx=0的解，所以α_1，α_2，…，αt必可由β_1，β_2，…，βs线性表出，又因α_1，α_2，…，αt线性无关，故必有t≤s，即

从而有r（A）≥r（B），即命题（1）正确.

【例4.28】　（2005，）已知齐次方组

同解，求a，b，c的值.

【解】　因为方程组（Ⅱ）中方程的个数小于未知量的个数，故方程组（Ⅱ）必有无穷多解.那么由（Ⅰ）与（Ⅱ）同解，知方程组（Ⅰ）必有无穷多解.于是

此时方程组（Ⅰ）的系数矩阵可化为

故k［-1，-1，1］T是（Ⅰ）的通解.把x_1=-k，x_2=-k，x_3=k代入方程组（Ⅱ），有

那么b^2-b=0，可得b=1，c=2或b=0，c=1.

当b=1，c=2，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵B作初等行变换，有

故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解.

当b=0，c=1时

故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）不同解.

综上所述，当a=2，b=1，c=2时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解.

【例4.29】　设A是m×n阶矩阵，证明齐次线性方程组（Ⅰ）ATAx=0与（Ⅱ）Ax=0同解.

【证】　如果α是（Ⅱ）的解，则Aα=0.显然ATAx=0即α是（Ⅰ）的解，故（Ⅱ）的解全是（Ⅰ）的解.

若α是（Ⅰ）的解，即ATAα=0，那么

所以α必是（Ⅱ）的解.即（Ⅰ）的解全是（Ⅱ）的解，从而方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解.

【评注】　若α=［a_1，a_2，…，an］T，则

由（Aα）T（Aα）=0要看出Aα=0.

因为（Ⅰ）与（Ⅱ）同解，它们的基础解系所含向量个数相同.即有

2012的考题就是希望考生用公式r（ATA）=r（A）来处理二次型的秩的.

四、练习题精选

1．填空题

（1）方程x_1-2x_2+3x_3-4x_4=0的通解是______.

（2）设矩阵，若方程组Ax=b有解且不唯一，则a=______.

（3）设α_1，α_2，α_3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且秩r（A）=3，若α_1=［1，2，3，4］T，2α_2-3α_3=［0，1，-1，0］T，则方程组Ax=b的通解是______.

2．选择题

（1）设齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系是η_1，η_2，η_3，η_4，则此方程组的基础解系还可以是

（A）η_1+η_2，η_2+η_3，η_3+η_4，η_4+η_1

（B）η_1-η_2，η_2-η_3，η_3+η_4，η_4+η_1

（C）η_1，η_2+η_3，η_1+η_2-η_3+η_4

（D）η_1-η_2，η_2-η_3，η_3-η_4，η_4+η_1　　　　［　　］

（2）设A是m×n矩阵，秩r（A）=n-2，若α_1，α_2，α_3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，k_1，k_2为任意常数，则方程组的通解是

（A）k_1（α_1-α_2）+k_2（α_2-α_3）

（B）α_1+k_1（α_2+α_3）+k_2（α_1+α_3）

（C）（α_1+α_2+α_3）+k_1（α_3-α_1）+k_2（α_3-α_2）

（D）（α_1+α_2）+k_1（α_2-α_3）+k_2（α_3-α_2）　　　［　　］

3．解答题

（1）设，求与矩阵A可交换的矩阵.

（2）设矩阵，若齐次线性方程组Ax=0的基础解系有2个线性无关的解向量，试求方程组Ax=0的通解.

（3）已知4×3矩阵A=［α_1，α_2，α_3］，其中α_1，α_2，α_3均为4维列向量，若非齐次线性方程组Ax=β的通解为［1，2，-1］T+k［1，-2，3］T，令B=［α_1，α_2，α_3，β+α_3］，试求方程组By=α_1-α_2的通解.

答案与提示

1．（1）k_1［2，1，0，0］T+k_2［-3，0，1，0］T+k_3［4，0，0，1］T（2）a=3（3）［1，2，3，4］T+k［1，3，2，4］T

【提示】　（1）由n-r（A）=4-1=3先明确基础解系中解向量的个数，再确定自由变量求解.

（2）方程组Ax=b有解且不唯一，即方程组Ax=b有无穷多解，亦即秩r（A）=r（）＜3.

或者，方程组Ax=b有无穷多解的必要条件是|A|=0.

然后再判断a=1？　a=3？

（3）n-r（A）=4-3=1，通解形式为α+kη.其中特解可取为α_1.而α_1+2α_2-3α_3=（α_1-α_3）+2（α_2-α_3）是Ax=0的解.即Ax=0的基础解系.

2．（1）（D）　　　　（2）（C）

【提示】　（1）基础解系应当是4个线性无关的解，（C）中向量个数不符，（A）、（B）均线性相关.

（2）按解的结构，通解形式为α+k_1η_1+k_2η_2.（A）不符合通解形式，缺Ax=b之特解；（B）中α_2+α_3，α_1+α_3不是导出组Ax=0的解；（D）中α_2-α_3，α_3-α_2线性相关，不符合基础解系线性无关之要求；注意，（α_1+α_2+α_3），（α_1+α_2）都是方程组Ax=b的解.

3．（1）所谓与矩阵A可交换，即满足AB=BA之矩阵B.

设与A可交换，即

解方程组，知（t，u为任意常数）是与A可交换的所有的矩阵.

（2）A是3×4矩阵，说明Ax=0是3个方程4个未知数的齐次方程组，基础解系含2个解向量表明4-r（A）=2，得r（A）=2.对A作初等行变换，有

取x_3，x_4为自由变量，令x_3=1，x_4=0得η_1=［1，-1，1，0］T，

方程组Ax=0的通解：k_1η_1+k_2η_2.

（3）由方程组Ax=β解的结构知：

从而　r（B）=r（α_1，α_2，α_3，α_3+β）=r（α_1，α_2，α_3，α_1+2α_2）=r（α_1，α_2，α_3）=2

说明［1，-1，0，0］T是方程组By=α_1-α_2的解.

再分析寻找By=0的n-r（B）=4-2=2个线性无关的解，注意（3）与（2）的运用.

故方程组通解为：［1，-1，0，0］T+k_1［1，-2，3，0］T+k_2［1，2，0，-1］T.

学习札记

第五章　特征值与特征向量

一、知识结构网络图

【评注】　特征值是线性代数的重要内容之一，也是考研的热点，复习应认真仔细.

（1）要理解特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值、特征向量的方法.

（2）要理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，搞清矩阵能相似对角化的条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.

（3）要熟悉实对称矩阵特征值、特征向量的特殊性质，掌握用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法.

二、基本内容与重要结论

基本概念

定义5.1　设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ及非零的n维列向量α，使得

成立，则称λ是矩阵A的一个特征值，称非零向量α是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量.

定义5.2　设A=［aij］为一个n阶矩阵，则行列式

称为矩阵A的特征多项式，|λE-A|=0称为A的特征方程.

【评注】　由Aα=λα，α≠0

有　（λE-A）α=0，α≠0

α是齐次方程组（λE-A）x=0的非零解.

（1）先由|λE-A|=0求矩阵A的特征值λi（共n个）.

（2）再由（λiE-A）x=0求基础解系，即矩阵A属于特征值λi的线性无关的特征向量.

定义5.3　设A和B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得

则称矩阵A和B相似，记作A～B.

特别地，如果A能与对角矩阵相似，则称A可对角化.

重要定理

定理5.1　如果α_1，α_2，…，αt都是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么当k_1α_1+k_2α_2+…+ktαt非零时，k_1α_1+k_2α_2+…+ktαt仍是矩阵A属于特征值λ的特征向量.

定理5.2　设A是n阶矩阵，λ_1，λ_2，…，λn是矩阵A的特征值，则

定理5.3　如果λ_1，λ_2，…，λm是矩阵A的互不相同的特征值，α_1，α_2，…，αm分别是与之对应的特征向量，则α_1，α_2，…，αm线性无关.

定理5.4　如果A是n阶矩阵，λi是A的m重特征值，则属于λi的线性无关的特征向量的个数不超过m个.

定理5.5　如果n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而A与B有相同的特征值.

即若A～B，则

定理5.6　n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

【评注】　若n阶矩阵A～Λ，则有P-1AP=Λ，于是AP=PΛ.（下设n=3）

即　［Aγ_1，Aγ_2，Aγ_3］=［a_1γ_1，a_2γ_2，a_3γ_3］

即　Aγ_1=a_1γ_1，　Aγ_2=a_2γ_2，　Aγ_3=a_3γ_3.

因为矩阵P=［γ_1，γ_2，γ_3］可逆，故γ_1，γ_2，γ_3线性无关

那么，由Aγi=aiγi，γi≠0，而知γi是矩阵A的属于特征值ai的特征向量.

即　A～Λ　⇒矩阵A有n个线性无关的特征向量.

反之，如A有n个线性无关的特征向量，A必与对角矩阵相似（请自证）.

定理5.7　若n阶矩阵A有n个不同的特征值λ_1，λ_2，…，λn，则A可相似对角化，且

定理5.8　n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数.即

A～Λ⇔λi是A的ni重特征值，则λi有ni个线性无关的特征向量　　（5.8）

定理5.9　实对称矩阵A的不同特征值λ_1，λ_2所对应的特征向量α_1，α_2必正交.

定理5.10　实对称矩阵A的特征值都是实数.

定理5.11　n阶实对称阵A必可对角化，且总存在正交阵Q，使得

其中λ_1，λ_2，…，λn是A的特征值.

三、典型例题分析选讲

特征值、特征向量

（1）数字型矩阵

【例5.1】　求矩阵的特征值与特征向量.

【解】　由矩阵A的特征多项式

得矩阵A的特征值是λ_1=1，λ_2=4，λ_3=-3.

当λ=1时，由（E-A）x=0，即

得基础解系α_1=（1，1，1）T.

当λ=4时，由（4E-A）x=0

得基础解系α_2=（-4，5，17）T.

当λ=-3时，由（-3E-A）x=0

得基础解系α_3=（1，-3，1）T.

所以矩阵A关于特征值1，4，-3的特征向量分别是k_1α_1，k_2α_2，k_3α_3，其中k_1，k_2，k_3全不为0.

【例5.2】　求矩阵的特征值与特征向量.

【解】　　由矩阵A的特征多项式

得矩阵A的特征值是：λ_1=1，λ_2=3，λ_3=6.

对λ=1，由（E-A）x=0，即

得基础解系α_1=［1，0，0］T，

因此属于特征值λ=1的特征向量是k_1α_1（k_1≠0）.

对λ=3，由（3E-A）x=0，即

得基础解系α_2=［1，1，0］T，

因此属于特征值λ=3的特征向量是k_2α_2（k_2≠0）.

对λ=6，由（6E-A）x=0，即

得基础解系α_3=［22，25，15］T，

因此属于特征值λ=6的特征向量是k_3α_3（k_3≠0）.

【评注】　上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素.

【例5.3】　求矩阵的特征值与特征向量.

【解】　由矩阵A的特征多项式

得到矩阵A的特征值是λ_1=13，λ_2=λ_3=0.

对λ=13，由（13E-A）x=0，即

得基础解系α_1=［1，2，3］T，

因此属于特征值λ=13的特征向量是k_1α_1　（k_1≠0）.

对λ=0，由（0E-A）x=0，即

得基础解系α_2=［-1，2，0］T，α_3=［-3，0，2］T，

因此属于特征值λ=0的特征向量是k_2α_2+k_3α_3　（k_2，k_3不全为0）.

【评注】　设A=［aij］是3阶矩阵，则

矩阵A的特征值：

【例5.4】　求矩阵的特征值与特征向量.

【解】　由矩阵A的特征多项式

得到矩阵A的特征值是λ=2（4重根）.

当λ=2时，由（2E-A）x=0，即

得到基础解系是α_1=［1，1，0，0］T，α_2=［-3，0，1，1］T，

因此属于特征值λ=2的特征向量是k_1α_1+k_2α_2（k_1，k_2不全为0）.

【例5.5】　已知a≠0，求矩阵

的特征值、特征向量.

【解】　方法一　（直接计算）

由特征多项式

得A的特征值：3a+1，1-a（三重根）

当λ=3a+1时，由［（3a+1）E-A］x=0

可得基础解系α_1=（1，1，1，1）T，故λ=3a+1的特征向量为k_1α_1，k_1≠0.

当λ=1-a时，由［（1-a）E-A］x=0

得基础解系α_2=（-1，1，0，0）T，α_3=（-1，0，1，0）T，α_4=（-1，0，0，1）T，故λ=1-a的特征向量为k_2α_2+k_3α_3+k_4α_4，其中k_2，k_3，k_4不全为0的任意常数.

方法二　（转换）

知矩阵B的特征值为4a，0，0，0，.

从而矩阵A的特征值为3a+1，1-a，1-a，1-a.

对于B，当λ=4a时，由（4aE-B）x=0

同方法一，下略.可得矩阵A关于λ=3a+1的特征向量.

当λ=0时，由（0E-B）x=0

同方法一，下略.可得矩阵A关于λ=1-a的特征向量.

（2）抽象矩阵

【例5.6】　设A是3阶矩阵，且矩阵A的各行元素之和均为5，则矩阵A必有特征向量______.

【分析】　矩阵A=［aij］各行元素之和均为5，即

用矩阵表示，有

故矩阵A必有特征值λ=5，可知必有特征向量［1，1，1］T.

【例5.7】　设A是n阶矩阵，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即

那么

说明矩阵A+kE的特征值是λ+k，对应的特征向量是α.

说明矩阵A^2的特征值是λ^2，对应的特征向量是α.

如果矩阵A可逆，则有

说明矩阵A-1的特征值是，对应的特征向量是α.

【例5.8】　如果P-1AP=B，

（1）若Aα=λα，α≠0，则

说明P-1AP的特征值是λ，对应的特征向量是P-1α.

（2）若Bα=λα，α≠0，则

说明矩阵A的特征值是λ，特征向量是Pα.

【例5.9】　已知A是3阶矩阵，如果非齐次线性方程组Ax=b有通解5b+k_1η_1+k_2η_2，求A的特征值和特征向量.

【解】　由解的结构知5b是方程组Ax=b的一个解.即

即是A的特征值，b是相应的特征向量.

又Aη_1=0=0η_1，Aη_2=0=0η_2

故η_1，η_2是A关于λ=0的线性无关的特征向量，所以矩阵A的特征值是，0，0.特征向量是kb，k≠0和k_1η_1+k_2η_2，k_1，k_2不全为0.

【例5.10】　设A为2阶矩阵，α_1，α_2为线性无关的2维列向量，Aα_1=0，Aα_2=2α_1+α_2，求A的特征值和特征向量.

【解】　用定义由Aα_1=0=0α_1，A（2α_1+α_2）=Aα_2=2α_1+α_2知矩阵A的特征值是0和1.特征向量是k_1α_1和k_2（2α_1+α_2），k_1，k_2不为0.

或者利用相似，有A［α_1，α_2］=［0，2α_1+α_2］=［α_1，α_2］，

令B=，P=（α_1，α_2）可知P-1AP=B，即A～，亦可得A的特征值是0和1.

又B的特征向量分别是和，从而由上例知2α_1+α_2是A的特征向量.

【例5.11】　（2003，1）设矩阵，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.

【解】　由于

那么矩阵A的特征值是7，1，1.

当λ=7得A的特征向量为

而属于特征值λ=1的特征向量可取为

因为|A|=∏λi=7，若Aα=λα则，而知A*的特征值是1，7，7.于是B=P-1A*P的特征值是1，7，7，那么矩阵B+2E的特征值是3，9，9.

由Aα=λα，有

即B+2E关于特征值的特征向量是P-1α.

因为　，那么

于是B+2E属于特征值λ=3的特征向量是

类似地，有

那么B+2E属于特征值λ=9的特征向量为

【解法二】　先分别求出A*与P-1，有

有特征多项式

得到B+2E的特征值为9，9，3.

当λ=9时，由［9E-（B+2E）］x=0，有

得基础解系

所以对应于λ=9的特征向量是

当λ=3时，由［3E-（B+2E）］x=0，即

得基础解系

所以属于λ=3的特征向量为

相似、相似对角化

【例5.12】　若3阶矩阵A相似于B，矩阵A的特征值是1，2，3，那么行列式|2B-E|=______.

【分析】　因为A～B，故A与B有相同的特征值，那么，2B的特征值是2，4，6，2B-E的特征值是1，3，5.从而|2B-E|=15.

或者，由P-1AP=B，有P-1（2A-E）P=2B-E，又因2A-E的特征值是1，3，5，故|2B-E|=|2A-E|=15.

【例5.13】　（2003，4）设矩阵

已知矩阵A相似于B，则秩（A-2E）与秩（A-E）之和等于

的秩分别为3与1，故应选（C）.

【例5.14】　n阶矩阵A～B的充分条件是

（A）A^2与B^2相似

（B）A与B有相同的特征值

（C）A与B有相同的特征向量

（D）A与B均和对角矩阵Λ相似　　　　［　　］

【分析】　如果A～B，则有P-1AP=B，那么

知A^2～B^2.

但A^2～B^2时，推不出A～B.例如

由于r（A）≠r（B），显见A与B不相似.但A^2=B^2，而有A^2～B^2.所以（A）是必要条件不是充分条件.

条件（B）亦是必要条件不是充分条件.由P-1AP=B，有

即A，B有相同的特征值.但条件（A）中例子告诉我们虽然A，B有相同的特征值λ_1=λ_2=0，但A与B是不相似的.

如果α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，α是矩阵B属于特征值μ的特征向量，虽然A与B有相同的特征向量，但由于特征值的不同，所以A与B不可能相似.（C）不是充分条件.

若A～Λ，B～Λ.则有

那么

令，即A～B.所以（D）是充分条件.

【评注】　条件（D）不是必要的，因为当A、B不能相似对角化时，矩阵A与B仍有可能相似，只要它们与同一个矩阵C相似即可.

【例5.15】　不能相似对角化的矩阵是

【分析】　（A）中矩阵的特征值是1，3，0，有3个不同的特征值，故可相似对角化.

（B）中矩阵的特征值是1，1，3.设（B）中矩阵为A，

故　（E-A）x=0的基础解系中仅一个向量，即λ=1，只有一个线性无关的特征向量，所以A不能相似对角化.

（C）中矩阵设为A，由于r（A）=1，有

矩阵A的特征值是6，0，0.

因为　r（0E-A）=r（A）=1，说明（0E-A）x=0的基础解系由2个解向量构成，所以λ=0有2个线性无关的特征向量，A可以相似对角化.

（D）中矩阵设为A，A是实对称矩阵，则A必可相似对角化.

【例5.16】　在下列矩阵中，

两两相似的矩阵是______.

【分析】　由相似的必要条件，这几个矩阵的秩分别是1，2，1，1而知矩阵B不和A，C，D相似，把B排除.从特征值来看依次为3，0，0；3，0，0；2，0，0；3，0，0，而知矩阵C要排除.

对于矩阵A，由于秩r（0E-A）=1 ⇒ n-r（0E-A）=2

⇒（0E-A）x=0有两个线性无关的解

⇒ λ=0有2个线性无关的特征向量

【例5.17】　已知，判断A与B是否相似，并说明理由.

【分析】　A是实对称矩阵必可对角化，A与B是否相似首先要看B能否对角化，如B不能对角化则A与B肯定不相似，如B能对角化，则应进一步检查A，B是否有相同的特征值.特征值一致时才相似.

【解】　对于B，由特征方程

可得矩阵B的特征值是3，3，0.

当λ=3时，，

所以B可对角化.

又因A是实对称矩阵，且

矩阵A的特征值也是3，3，0.所以A～B.

理由：A，B均可对角化，且都与相似.

【评注】　特征值相同是矩阵相似的必要条件（定理5.5）.例如

肯定不相似.因为它们的特征值不同.

可是特征值相同的矩阵不一定相似.例如

的特征值也是3，3，0.但因r（3E-C）=2≠n-ni，所以C不能对角化，那么C与A，B均不相似.

但若A，B是实对称矩阵，则A与B有相同的特征值是A与B相似的充分必要条件.（这是2002的考题请证明）

【例5.18】　已知矩阵的特征值有重根，判断矩阵A能否相似对角化，并说明理由.

【解】　由矩阵A的特征多项式

如果λ=2是重根，则λ^2-8λ+10+a中含有λ-2的因式，于是2^2-16+10+a=0，解出a=2.此时λ^2-8λ+12=（λ-2）（λ-6），矩阵A的3个特征值是2，2，6.

对于λ=2，由于

故λ=2有2个线性无关的特征向量，A可以相似对角化.

若λ=2不是重根，则λ^2-8λ+10+a是完全平方，于是

8^2-4（10+a）=0

解出a=6　矩阵A的特征值是2，4，4.

对于λ=4，由于

说明λ=4只有1个线性无关的特征向量，A不能相似对角化.

求相似对角化时的可逆矩阵P

提示　若P-1AP=Λ，则P——A的特征向量，Λ——A的特征值.

【例5.19】　已知矩阵求可逆矩阵P使P-1AP=Λ.

【解】　由

得矩阵A的特征值11，2，2.

当λ=11时，由（11E-A）x=0

得基础解系α_1=（2，1，2）T.

当λ=2时，由（2E-A）x=0

*这是一个基础题，复习时要重视，原理要清晰：

若Aα_1=λ_1α_1，Aα_2=λ_2α_2，Aα_3=λ_3α_3，则

令P=（α_1，α_2，α_3），即AP=PΛ即P-1AP=Λ.

【例5.20】　（2000，4）设矩阵，已知A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角形矩阵.

【解】　因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，而λ=2是其二重特征值，故λ=2必有两个线性无关的特征向量，因此方程组（2E-A）x=0的基础解系由两个解向量所构成，故秩r（2E-A）=1.由

由特征多项式

得到矩阵A的特征值：λ_1=λ_2=2，λ_3=6.

对λ=2，由（2E-A）x=0，即

得到特征向量α_1=［-1，1，0］T，α_2=［1，0，1］T

对λ=6，由（6E-A）x=0，即

得到特征向量α_3=［1，-2，3］T

【评注】　求A相似标准形的方法（对可对角化的矩阵）

（0）予处理；

（1）求A的特征值λ_1，λ_2，λ_3；

（2）对每个特征值λi，求（λiE-A）x=0的基础解系，得特征向量α_1，α_2，α_3；

（3）可逆矩阵P=［α_1，α_2，α_3］，则

【例5.21】　（2005，4）设A为3阶矩阵，α_1，α_2，α_3是线性无关的3维列向量，且满足Aα_1=α_1+α_2+α_3，Aα_2=2α_2+α_3，Aα_3=2α_2+3α_3.

（1）求矩阵B使得A［α_1，α_2，α_3］=［α_1，α_2，α_3］B；

（2）求矩阵A的特征值；

（3）求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵.

【解】　（1）按已知条件，有

（2）因为α_1，α_2，α_3线性无关，矩阵P_1=［α_1，α_2，α_3］可逆，所以

知矩阵B的特征值是1，1，4.从而矩阵A的特征值是1，1，4.

（3）对矩阵B，由（E-B）x=0得特征向量

由（4E-B）x=0得特征向量β_3=［0，1，1］T

那么令P_2=［β_1，β_2，β_3］，则有

于是

故当P=P_1P_2=［α_1，α_2，α_3］=［-α_1+α_2，-2α_1+α_3，α_2+α_3］时P-1AP=Λ.

求参数的问题

【例5.22】　已知，则y=______.

【分析】　由于A～B，有

由1是矩阵A的特征值，即

可见y=4.

【例5.23】　（1999，1）设矩阵，其行列式|A|＝－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λo，A*的属于λ_0的一个特征向量为α=［-1，-1，1］T.求a，b，c和λ_0的值.

【解】　由题设，有A*α=λ_0α即有AA*α=λ_0Aα.又因AA*=|A|E=-E.因此λ_0Aα=-α.

（1）-（3）得λ_0=1.代入（2）得b=-3.代入（1）得a=c.

【例5.24】　（2003，2）若矩阵相似于对角矩阵Λ，试确定常数a的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP=Λ.

【解】　矩阵A的特征多项式为

故A的特征值λ_1＝λ_2=6，λ_3=-2.

由于A相似于对角矩阵Λ，故对应于λ_1=λ_2=6应有两个线性无关的特征向量，因此矩阵6E-A的秩应为1，从而有

知a=0.

于是对应于λ_1=λ_2=6的两个线性无关的特征向量可取为

当λ_3=-2时，

解方程组得对应于λ_3=-2的特征向量

令则P可逆，且

【评注】　当已知条件与特征值相关联时，可以由

（1）特征值，特征向量定义

（2）相似的必要条件

（3）相似对角化的理论

等几个方面去思考，寻找突破口来求参数.

用相似求An

提示　若A～Λ.则P-1AP=Λ.从而P-1AnP=Λn故An=PΛnP-1.

【例5.25】　已知，求An.

【解】　先求A的特征值.由A的特征方程

得到A的特征值是λ_1=3，λ_2=0.

2阶矩阵A有两个不同特征值，故A可以对角化.求A的特征向量，有

当λ_1=3时，从（3E-A）x=0，得；

当λ_2=0时，从（0E-A）x=0，得.

【说明】　本题r（A）=1，用特征值对角化方法求An是麻烦的，简捷的解法应当是：

【例5.26】　设.

【分析】　因为A与B相似，有B^100=P-1A^100P，从而可利用B^100间接求出A^100.

反求矩阵A

【例5.27】　（1995，4）设三阶矩阵A满足Aαi=iαi（i=1，2，3），其中列向量α_1=［1，2，2］T，α_2=［2，-2，1］T，α_3=［-2，-1，2］T，试求矩阵A.

【解法一】　由Aα_1=α_1，Aα_2=2α_2，Aα_3=3α_3，知α_1，α_2，α_3是矩阵A不同特征值的特征向量，它们线性无关.利用分块矩阵，有

因为矩阵［α_1，α_2，α_3］可逆，故

【解法二】　因为矩阵A有3个不同的特征值，所以A可相似对角化，有

那么　A=PΛP-1=…　下略

【例5.28】　已知方程组

有无穷多解，矩阵A的特征值是1，-1，0，对应的特征向量依次是α_1=［1，2a，-1］T，α_2=［a-2，-1，a+1］T，α_3=［a，a+3，a+2］T，求矩阵A及A^100.

【解】　对方程组增广矩阵作初等行变换，有

当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解.

若a=-1

线性相关，不合题意.

当a=0时，

按特征值，特征向量定义，有

因为A有3个不同的特征值，故

实对称矩阵

提示　实对称矩阵有哪些特殊的性质？如何用来做题？

【例5.29】　设A是3阶实对称矩阵，秩r（A）=2，若A^2=A，则A的特征值是______.

【分析】　设λ是A的任一特征值，α是属于λ的特征向量，即Aα=λα，α≠0.

那么A^2α=A（λα）=λAα=λ^2α

由A^2=A，有λ^2α=λα，即（λ^2-λ）α=0　且α≠0

故矩阵A的特征值是1或0.

因为A是实对称矩阵，知A～Λ，且Λ由A的特征值所构成，根据秩r（A）=r（Λ），有

所以矩阵A的特征值是1，1，0.

【评注】　因为满足A^2=A的矩阵A不唯一.例如

所以仅条件A^2=A并不能确定矩阵A的特征值.只是知道矩阵A的特征值只能取自1或0.

【例5.30】　n阶矩阵

则秩r（A）=______.

【分析】　因为A是实对称矩阵，A～Λ.只要求出r（Λ）就知r（A），为此由A的特征值入手.因为

而矩阵B的秩为1，有

得到矩阵B的特征值是n，0，0，…，0（n-1个）

因此矩阵A的特征值是n+a-1，a-1，a-1，…，a-1

又因A是实对称矩阵，故

【评注】　求矩阵的秩通常是用初等变换或定义法.例如，由

然后再分三种情况分析判断.

本题的解法是一种特殊情况下的特殊解法.

练习　（2012，1）设α为3维单位向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E-ααT的秩为______.

【例5.31】　设，求正交矩阵P使P-1AP=Λ.

【解】　由A的特征多项式

矩阵A的特征值为λ_1=λ_2=7，λ_3=-2.

对λ=7，由（7E-A）x=0，即

得特征向量α_1=［-1，2，0］T，α_2=［-1，0，1］T.

对λ=-2，由（-2E-A）x=0，即得特征向量α_3=［2，1，2］T.

由于α_1，α_2是同一个特征值的特征向量，现在不正交，故应Schmidt正交化

【评注】　这是基础题，搞清用正交矩阵把实对称矩阵A化为对角矩阵的步骤：

（1）求矩阵A的特征值

（2）求矩阵A的特征向量

（3）单位化，当特征值有重根时，可能还要Schmidt正交化

（4）构造正交矩阵P，得

P-1AP=Λ　（P与Λ次序要协调一致）

这一类题目往往要先处理一些未知的参数.

【例5.32】　已知A是3阶实对称矩阵，特征值是3，-6，0，λ=3的特征向量是α_1=［1，a，1］T，λ=-6的特征向量是α_2=［a，a+1，1］T，求矩阵A.

【解】　因为A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，故

所以　a=-1

设λ=0的特征向量α_3=［x_1，x_2，x_3］T，则

【例5.33】　设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且AB+2B=0，其中

（Ⅰ）求矩阵A的特征值、特征向量.

（Ⅱ）求（A+E）6.

【解】　（Ⅰ）记B=（γ_1，γ_2，γ_3）由AB+2B=0，得

即λ=-2是A的特征值，γ_1，γ_2是A关于λ=-2的线性无关的特征向量，由秩r（A）=2，知λ=0是A的特征值，设α=（x_1，x_2，x_3）T是其特征向量.

因实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，则有

解出γ_3=（1，-1，1）T

故λ_1=λ_2=-2是A的二重特征值，k_1（1，0，-1）T+k_2（1，2，1）T（其中k_1，k_2不为全为0）是λ=-2的所有特征向量.

λ_3=0是A的特征值，k_3（1，-1，1）T，（k_3≠0）是λ=0的所有特征向量.

【例5.34】　（2007，）设3阶对称矩阵A的特征值λ_1=1，λ_2=2，λ_3=-2.α_1=［1，-1，1］T是A的属于λ_1的一个特征向量，记B＝A^5－4A^3＋E，其中E为3阶单位矩阵.

（Ⅰ）验证α_1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

（Ⅱ）求矩阵B.

【解】　（Ⅰ）利用若Aα=λα，则Anα=λnα，我们有

所以α_1是矩阵B属于特征值μ_1=-2的特征向量.

又若Aα_2=λ_2α_2，α_2≠0，Aα_3=λ_3α_3，α_3≠0，且λ_2≠λ_3则α_2，α_3线性无关.

所以μ_2=μ_3=1是矩阵B的二重特征值.因为A是对称矩阵知B是对称矩阵.若α=［x_1，x_2，x_3］T是矩阵B属于特征值μ=1的特征向量.则不同特征值的特征向量相互正交，即　αTα_1=x_1-x_2+x_3=0

所以α_2=［1，1，0］T，α_3=［0，1，1］T是B属于特征值μ=1的特征向量.

综上所述，B的特征值－2，1，1.属于－2的特征向量是k_1［1，-1，1］T，k_1≠0.属于1的特征向量是k_2［1，1，0］T+k_3［0，1，1］T，k_2，k_3不全为0.

（Ⅱ）由Bα_1=-2α_1，Bα_2=α_2，Bα_3=α_3，有B［α_1，α_2，α_3］=［-2α_1，α_2，α_3］

【评注】　要会用正交来求特征向量.如果矩阵A有3个不同的特征值，则需知道两个特征向量才能求出第三个特征向量（参看例5.33）.若特征值有重根，那么知道那个单根的特征向量就可求出重根的所有特征向量.（参看例5.34）

【例5.35】　（定理5.9）设A是实对称矩阵，λ_1与λ_2是A不同的特征值，α_1，α_2分别是属于λ_1与λ_2的特征向量，证明α_1与α_2正交.

【证】　据已知有　AT=A，Aα_1=λ_1α_1，Aα_2=λ_2α_2，λ_1≠λ_2

那么

四、练习题精选

1．填空题

（1）若1是矩阵的特征值，则a=______.

（2）已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则a=______.

（3）A是4阶矩阵，伴随矩阵A*的特征值是1，-2，-4，8，则矩阵A的特征值是______.

2．选择题

（1）矩阵的三个特征值是

（2）与矩阵不相似的矩阵是

3．解答题

（1）已知A是3阶实对称矩阵，特征值是1，1，-2，其中属于λ=-2的特征向量是α=［1，0，1］T，求A^3.

（2）已知λ=2是矩阵的二重特征值，求a的值并求正交矩阵Q使Q-1AQ=Λ.

（3）设α_1，α_2是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明α_1+α_2不是矩阵A的特征向量.

（4）已知A，B均n阶矩阵，且A可逆，证明AB与BA有相同的特征值.

（5）设A是n阶矩阵，A≠O但A^3=O，证明A不能相似对角化.

答案与提示

1．（1）-4　（2）-1　（3）4，-2，-1，.

【提示】　（1）1是A的特征值，即|E-A|=0

（2）因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量，故A的特征值必是二重根

故a=-1.

又若A的特征值是λ，则A*的特征值是，有

而知A的特征值是4，-2，-1，.

2．（1）（A）　　　　（2）（C）

【提示】　（1）易见|A|=0，0必是A的特征值，可排除（D），由∑λi=∑aii=5，可排除（C），对于（A）和（B）可任选一个不同的特征值计算，由于

知λ=1必是特征值，因而应选（A）.

（2）矩阵A的特征值是1，3.，矩阵（A）、（B）、（D）的特征值也均是1，3，它们都可相似对角化，也就都与A相似.

矩阵（C）的特征值是4，0，它不与A相似.因为相似的必要条件是有相同的特征值.

3．（1）设λ=1的特征向量是β=［x_1，x_2，x_3］T，因为A是实对称矩阵，α与β正交　αTβ=x_1+x_3=0

得属于λ=1的特征向量　β_1=［0，1，0］T，β_2=［-1，0，1］T

因为A是实对称矩阵，必可相似对角化，有

（2）A是实对称矩阵，λ=2是二重根，故λ=2必有2个线性无关的特征向量，秩r（2E-A）=1可求出a=2.

由∑λi=∑aii知2+2+λ_3=4+4+4

对λ=2可求出特征向量　α_1=［-1，1，0］T，α_2=［-1，0，1］T

对λ=8可求出特征向量　α_3=［1，1，1］T

为构造正交矩阵α_1，α_2需Schmidt正交化，α_3需单位化

（3）【提示】　用反证法.

（4）（用AB与BA有相同的特征多项式）

（用相似矩阵有相同的特征值）

因为A可逆，有A-1（AB）A=BA即AB～BA，因而AB与BA有相同的特征值.

（5）设λ是A的任一特征值，α是属于λ的特征向量，即

Aα=λα，α≠0.

那么A^3α=λ^3α.又因A^3=O可知λ=0.即矩阵A的特征值是λ=0（n个）

对于齐次方程组（0E-A）x=0，由于

r（0E-A）=r（A）≥1

那么n-r（0E-A）≤n-1，λ=0没有n个线性无关的特征向量.

学习札记

第六章　二次型

一、知识结构网络图

【评注】　二次型的两大板块要复习整理清楚，一个是标准形，另一个是正定性.

（1）了解二次型的概念，掌握用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念.

（2）理解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理的条件和结论，掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形的方法.

（3）理解正定二次型、正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质.

二、基本内容与重要结论

重要概念

定义6.1　含有n个变量x_1，x_2，…，xn的二次齐次函数

称为n元二次型.如规定aij=aji，i，j=1，2，…，n，则二次型有矩阵表示

其中x=［x_1，x_2，…，xn］T，A=［aij］且AT=A是对称矩阵，称A为二次型的矩阵.秩r（A）称为二次型的秩，记为r（f）.

为二次型的矩阵表示.

定义6.2　如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项xixj（i≠j）的系数全是零，即

这样的二次型称为标准形.

在标准形中，如平方项的系数dj为1，-1或0，

则称其为二次型的规范形.

定义6.3　在二次型xTAx的标准形中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数q称为二次型的负惯性指数.

定义6.4　如果

称（6.4）为由x=［x_1，x_2，…，xn］T到y=［y_1，y_2，…，yn］T的坐标变换

【注】　坐标变换（6.4）用矩阵描述，即

或　x=Cy，其中C是可逆矩阵.

定义6.5　两个n阶矩阵A和B，如存在可逆矩阵C，使得

就称矩阵A和B合同，记作AB.并称由A到B的变换为合同变换，称C为合同变换的矩阵.

定义6.6　对二次型xTAx，如果对任何x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型xTAx是正定二次型，并称实对称矩阵A是正定矩阵.

例如，二次型，平方项的系数是-4，如果取x=［0，0，1］T≠0，则有

f（0，0，1）=-4＜0

说明这个二次型不是正定的.二次型的矩阵

也不是正定矩阵.类似地请考查，若取x=［0，1，0］T≠0，有f（0，1，0）=0，由此知A正定的必要条件是aii＞0.

如何判断正定？

主要定理

定理6.1　变量x=［x_1，x_2，…，xn］T的n元二次型xTAx经坐标变换x=Cy后，成为变量y=［y_1，y_2，…，yn］T的n元二次型yTBy，其中B=CTAC.

注意，n元二次型f（x_1，x_2，…，xn）=xTAx经坐标变换x=Cy，有

说明yTBy是二次型的矩阵表示.即以x_1，x_2，…，xn为自变量的二次型经坐标变换x=Cy成为以y_1，y_2，…，yn为自变量的二次型.二次型矩阵由A转换为B，经坐标变换二次型矩阵是合同的.

特别地，若x=Cy是正交变换，即C是正交矩阵，则有

即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似.

定理6.2　任意的n元二次型xTAx都可以通过坐标变换化成标准形

其中di（i=1，2，…，n）是实数.

定理6.3　任一n阶实对称矩阵A，总可以合同于一个对角矩阵，即

定理6.4　（惯性定理）对于一个二次型，不论选取怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准形，其中正平方项的个数p，负平方项的个数q都是由所给二次型唯一确定的.

定理6.5　对任一个n元二次型xTAx，其中A是n阶实对称矩阵，必存在正交变换x=Qy（Q是正交矩阵），使得xTAx化成标准形

这里λ_1，λ_2，…，λn是A的n个特征值.

定理6.6　n元二次型xTAx正定的充分必要条件有：

（1）A的正惯性指数是n；

（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC=E；

（3）A的所有特征值λ（i=1，2，…，n）均为正数；

（4）A的各阶顺序主子式均大于零.

推论　xTAx正定的必要条件是：（1）aii＞0；（2）|A|＞0.

三、典型例题分析选讲

二次型基本概念

【例6.1】　二次型

的矩阵A=______.

【评注】　本题中矩阵不是对称矩阵，因而不是二次型的矩阵，改成对称矩阵A的方法：.

【例6.2】　二次型+2x_2x_3的秩为2，则a=______.

【分析】　二次型f的秩为2，即矩阵A的秩为2.由于

由|A|=（a-1）（a+2）=0，知a=1或-2，易见a=1时r（A）=1，故a=-2.

【例6.3】　二次型f（x_1，x_2，x_3）=（x_1+x_2）2+（x_2-x_3）2+（x_3+x_1）2的正惯性指数p=______.

可见p=2.

【评注】　如果认为二次型的标准形是

从而秩p=3，q=0就不正确了.

有行列式

从而（2）不是坐标变换.那么（1）也就不是标准形.

【例6.4】　（2014，）设二次型4x_2x_3的负惯性指数是1，则a的取值范围______.

【分析】　由配方法

因为负惯性指数q=1，故4-a^2≥0，解出a∈［-2，2］.

二次型的标准形

【例6.5】　（2002，1）已知实二次型经正交变换x=Py可化成标准形，则a=______.

【分析】　二次型xTAx必存在坐标变换x=Cy化其为标准形yTΛy.即实对称矩阵A必存在可逆矩阵C使其与对角矩阵Λ合同，亦即CTAC=Λ.

如果选择正交变换，即C是正交矩阵，那么

说明在正交变换下，A不仅与Λ合同而且A与Λ相似，因此Λ就是A的特征值.另一方面，在二次型yTΛy中，Λ就是标准形平方项的系数.

因此，二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值.

本题中，，即矩阵A的特征值是6，0，0.

利用，可知a+a+a=6+0+0

即a=2.

或者，利用正交变换下二次型的矩阵相似，有

亦可求出a.

练习　（2011，3）设二次型f（x_1，x_2，x_3）=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为______.

【例6.6】　已知二次型的秩为2，［2，1，2］T是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是______.

【分析】　求二次型xTAx在正交变换下的标准形也就是求二次型矩阵A的特征值.由于

从［2，1，2］T是A的特征向量，有

从秩r（A）=2，知|A|=0，于是λ_2=0是A的特征值.再由，有1+（-5）+1=3+0+λ_3，知λ_3=-6是A的特征值.

因此，正交变换下二次型的标准形是：

【例6.7】　已知二次型

（1）写出二次型f的矩阵表达式.

（2）用正交变换把二次型f化成标准形，并写出相应的正交矩阵.

（3）当xTx=2时，求f（x_1，x_2，x_3）的极大值.

【解】　（1）f的矩阵表示为

（2）由矩阵A的特征多项式

得到A的特征值是：0，5，6.

当λ=0时，由（0E-A）x=0，即得基础解系α_1=［5，-1，2］T，即λ=0的特征向量.

当λ=5时，由（5E-A）x=0，即

得基础解系α_2=［0，2，1］T，即λ=5的特征向量.

当λ=6时，由（6E-A）x=0，即

得基础解系α_3=［1，1，-2］T，即λ=6的特征向量.

对于实对称矩阵，特征值不同特征向量已正交，故只需单位化，有

那么，令

经正交变换x=Py，二次型化为标准形

【评注】　要掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，标准形中平方项的系数是二次型矩阵的特征值，所用的正交变换矩阵就是经过改造的二次型矩阵的特征向量.具体解题步骤如下：

（1）写出二次型矩阵A

（2）求矩阵A的特征值

（3）求矩阵A的特征向量

（4）改造特征向量（单位化、Schmidt正交化）γ_1，…，γn

（5）构造正交矩阵P=［γ_1，γ_2，…，γn］

则经坐标变换x=py，得

【注意】　特征值的顺序与正交矩阵P中对应的特征向量的顺序是一致的.

如果涉及到求参数的问题，其方法与特征值中所归纳的方法是一样的.

【例6.8】　已知二次型

的规范形是

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换；

（Ⅲ）计算行列式|A+E|的值.

【解】　（Ⅰ）二次型f的矩阵

得矩阵A的特征值为a+1，a+1，a-2.

因为二次型的规范形是，说明A的特征值为+，+，0.所以a=2.

（Ⅱ）当a=2时

对λ=3，由（3E-A）x=0

得特征向量α_1=（1，1，0）T，α_2=（1，0，1）T.

对λ=0，由（0E-A）x=0

得特征向量α_3=（-1，1，1）T.

因为λ=3时，特征向量α_1，α_2不正交，故需Schmidt正交化.

单位化，有

那么，经正交变换

有.

（Ⅲ）因为，所以故|A+E|=16.

【例6.9】　设三元二次型f（x_1，x_2，x_3）=xTAx的矩阵A满足A^2+2A=O，且α_1=（0，1，1）T是齐次方程组Ax=0的基础解系.

（Ⅰ）求二次型f（x_1，x_2，x_3）的表达式；

（Ⅱ）若二次型xT（A+kE）x的规范形是，求k.

【分析】　求二次型表达式就是求矩阵A，故应由特征值、特征向量开始.

【解】　（Ⅰ）设λ是A的任一特征值α是属于λ的特征向量，即Aα=λα，α≠0.

那么由A^2+2A=0有（λ^2+2λ）α=0，且α≠0，

故A的特征值为0或-2.

又因α_1是Ax=0的基础解系，知r（A）=2，且Aα_1=0=0α_1，α_1是A关于λ=0的特征向量.

因此，A的特征值为0，-2，-2.

设（x_1，x_2，x_3）T是A关于λ=-2的特征向量，那么（x_1，x_2，x_3）T与（0，1，1）T正交，得x_2+x_3=0.

从而α_2=（1，0，0）T，α_3=（0，-1，1）T是λ=-2的特征向量.

所以二次型.

（Ⅱ）因为A的特征值为0，-2，-2，故A+kE的特征值为k，k-2，k-2.

由于规范形为，知　即　0＜k＜2.

【例6.10】　用配方法化二次型

为标准形，并写出所用坐标变换.

【解】

则有.

【例6.11】　用配方法化二次型

为标准形，并写出所用坐标变换.

【解】　在f中不含平方项，由于含有x_1x_2，故可先令

作出平方项，然后再配方即

即经坐标变换

二次型化为标准形.

二次型的正定性

【例6.12】　二次型正定，则t______.

【分析】　二次型矩阵

的顺序主子式应全大于0，即

可见t∈（-2，1）时，二次型正定.

【例6.13】　设A是3阶实对称矩阵，且满足A^2+2A=O，若kA+E是正定矩阵，则k______.

【分析】　由A^2+2A=O知矩阵A的特征值是0或-2，那么kA的特征值是0或-2k，kA+E的特征值是1或1-2k.

又因正定的充分必要条件是特征值全大于0，故k＜.

【例6.14】下列矩阵中，正定矩阵是

【分析】　（A）中a_33=-3＜0，（B）中二阶主子式，（C）中行列式|A|=0，它们均不是正定矩阵.所以应选（D）.

或直接地，（D）中三个顺序主子式Δ_1=2，Δ_2=6，Δ_3=5全大于0，而知（D）正定.

【例6.15】　已知A是n阶对称矩阵，证明矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C使A=CTC.

【证明】　必要性　如果A是正定矩阵，即二次型xTAx是正定二次型，那么存在坐标变换x=C_1y使

所以A是对称矩阵.

x≠0，由于C可逆，知Cx≠0，于是

从而xTAx是正定二次型，即A是正定矩阵.

【评注】　关于充分性也可如下证明：

因为C可逆，那么二次型xTAx经坐标变换x=C-1y，有

可见正惯性指数p=n，故A是正定矩阵.

【例6.16】　已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明A-1是正定矩阵.

【证明】　因为A正定，所以AT=A，那么

于是A-1是对称矩阵.

关于正定性的证明可以有多种思路：

（方法1）用特征值设矩阵A-1的特征值是λ_1，λ_2，…，λn，那么矩阵A的特征值是.由于A正定，知其特征值，从而矩阵A-1的特征值λi（i=1，2，…，n）全大于0.因此矩阵A-1正定.

（方法2）用与E合同因为矩阵A正定，故存在可逆矩阵C使CTAC=E，那么两边取逆，得到

若记P=（C-1）T，则P可逆且PT=C-1，于是

所以A-1与E合同，故A-1正定.

（方法3）用定义，坐标变换因为A正定，那么A可逆，对二次型xTA-1x作坐标变换x=Ay，有

由于A可逆，那么x≠0，恒有y≠0，又因A正定，那么有yTAy＞0，故x≠0恒有xTA-1x＞0，所以A-1正定.

（方法4）用与已知的正定矩阵合同因为A正定，那么A对称且可逆，于是

所以A-1与A合同，即二次型xTA-1x与xTAx合同.它们有相同的正、负惯性指数.由xTAx是正定二次型，故xTA-1x正定，即A-1正定.

【例6.17】　已知A与A-E均是n阶正定矩阵，证明E-A-1是正定矩阵.

【证】　特征值法

（1）由于（E-A-1）T=ET-（A-1）T=E-（AT）-1=E-A-1，知矩阵E-A-1是对称矩阵.

（2）设λ是矩阵A的特征值，那么A-E的特征值是λ-1，E-A-1的特征值是.

由A，A-E正定，知λ＞0，λ-1＞0.故E-A-1的特征值.

所以矩阵E-A-1正定.

【例6.18】　（1999.3）设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵.

【证法1】　定义法

（1）因为BT=（λE+ATA）T=（λE）T+（ATA）T=λE+AT（AT）T=B，所以B是n阶实对称矩阵.

（2）构造二次型xTBx，有

因为x≠ 0.恒有xTx＞0，（Ax）T（Ax）≥0

所以，当λ＞0时，x≠ 0，恒有

即二次型xTBx正定，故B是正定矩阵.

【证法2】　用特征值B的对称性略，设μ是矩阵ATA的任一特征值，α是相应的特征向量，即ATAα=μα，α≠ 0，用αT左乘上式的两端得，

由α≠0，必有αTα＞0，（Aα）T（Aα）≥0，故μ≥0.

因为B=λE+ATA的特征值是λ+μ，可见当λ＞0时必有λ+μ＞0，即B的特征值全大于0.所以B是正定矩阵.

【评注】　要会用定义法，要熟悉内积xTx，（Ax）T（Ax）.本题是当年数学三考的最不好的一个题，得零分者居然高达62％.

【例6.19】　设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明矩阵A-B^2可逆.

【证】　因为A是正定矩阵，知AT=A，B是反对称矩阵BT=-B.于是

构造二次型xT（A-B^2）x，有

所以　xT（A-B^2）x是正定二次型，那么|A-B^2|＞0，矩阵A-B^2可逆.

【例6.20】　已知A是n阶正定矩阵，证明存在n阶正定矩阵B，使

A=B^2.

【证】　因为A是正定矩阵，所以A是实对称矩阵.故存在正交矩阵P使

且　λi＞0　（i=1，2，…，n）.那么

说明矩阵B的特征值是，均大于0.另一方面，由P是正交矩阵P-1=PT，知B是对称矩阵.

从而B是正定矩阵，且满足A=B^2.

【例6.21】　已知A是n阶正定矩阵，n维非零列向量α_1，α_2，…，αs满足，证明α_1，α_2，…，αs线性无关.

因为A正定，α_1≠ 0，有＞0.故必有k_1=0.同理可证k_2=0，…，ks=0.因此向量组α_1，α_2，…，αs线性无关.

矩阵的等价、相似、合同

【例6.22】　矩阵等价、合同但不相似.

因为秩r（A）=r（B），所以A与B等价.

因为A与B特征值不相同，所以A，B不相似.

因为M有相同的正、负惯性指数，所以A与B合同.或直接地

而知A与B合同.

【例6.23】　矩阵不合同.

这是因为：如果A和B合同，则有可逆矩阵C使CTAC=B，那么

当然，更可以直接由xTAx和xTBx的正、负惯性指数不一样来说A与B不合同.

【例6.24】　判断

是否等价、相似、合同.

【分析】　因为秩r（A）=1，r（B）=1，所以A与B等价.

由|λE-A|=λ^3-3λ^2，知矩阵A的特征值是3，0，0，又因A是实对称矩阵.所以A必能相似对角化，且

即A与B相似.

实对称矩阵A～B⇒A与B有相同的特征值

所以本题A与B相似、合同、等价均成立.

【评注】　实对称矩阵A与B相似⇒A与B合同，但A与B合同⇒/A与B相似.

【例6.25】　设A是3阶实对称矩阵，将矩阵A的1，2两行互换后再1、2两列互换得到的矩阵是B，试判断A与B是否等价、相似、合同？

【解】　矩阵A经初等变换得到矩阵B，故A与B必等价.

用初等矩阵描述，有

所以，A与B既相似也合同.

练习　1．举2阶矩阵的例子，它们有相同的特征值但是不相似.

2．（2013）矩阵相似的充分必要条件是

四、练习题精选

1.填空题

（1）二次型的秩r（f）=______.

（2）二次型正定，则t______.

（3）二次型的规范形是______.

2.选择题

（1）对于n元二次型xTAx，下述结论中正确的是

（A）化xTAx为标准形的坐标变换是唯一的

（B）化xTAx为规范形的坐标变换是唯一的

（C）xTAx的标准形是唯一的

（D）xTAx的规范形是唯一的　　　　［　　］

（2）n元二次型xTAx正定的充分必要条件是

（A）存在正交矩阵P，PTAP=E

（B）负惯性指数为零

（C）A与单位矩阵合同

（D）存在n阶矩阵C，使A=CTC　　　　［　　］

3.解答题

（1）已知二次型

的秩为2，求c并用正交变换把f化成标准形写出相应的正交矩阵.

（2）已知A是n阶正定矩阵，证明A的伴随矩阵A*是正定矩阵.

（3）A为n阶实对称矩阵且|A|＜0，证明存在n维列向量x_0，使得

答案与提示

1．（1）2　　　（2）t＞2　　　（3）

【提示】　（1）二次型的秩也就是二次型矩阵的秩

（2）用顺序主子式

（3）求二次型矩阵的特征值，可知正、负惯性指数，即可知规范形.

2．（1）（D）　　　（2）（C）

【提示】　（1）化二次型为标准形即可用正交变换法也可用配方法，所用坐标变换不同，标准形也可以不同，故（A）、（C）均不正确.

化二次型为规范形一般用配方法，或者先正交变换法化为标准形后再用配方法化为规范形，方法不同所用坐标变换也就可不同，故（B）不正确.

规范形实际上由二次型的正、负惯性指数所确定，而正负惯性指数在坐标变换下是不变的（惯性定理6.4），故仅（D）正确.

（2）（A）是充分条件，并不必要.因为P是正交矩阵，那么

表明A的特征值全是1，所以A正定.但A正定时特征值可以不全是1.

（B）是必要条件，并不充分，因为xTAx正定的充要条件是p=n.显然有q=0，但q=0不能保证必有p=n.例如

p=2，q=0，并不是3元正定二次型.

（D）中矩阵C是否可逆不明确，若C不可逆则

矩阵A不可能正定.

关于（C）的直接证明：若A与E合同，即对二次型xTAx存在坐标变换x=Cy，使

那么，x≠ 0，由C可逆，知x=Cy中必有y≠ 0因此，恒有xTAx=yTy＞0

即二次型xTAx正定.

反之，若经坐标变换x=Cy化二次型为标准形

如果dn≤0，那么取y_0=［0，0，…，0，1］T，有x_0=Cy_0≠ 0，而

与xTAx正定相矛盾.故必有di＞0（i=1，2，…，n）于是再经坐标变换

3．（1）二次型矩阵

r（A）=2.A中有2阶子式非0，故r（A）=2⇔|A|=24（c-2）=0

由

可求出A的特征值.

对α_1，α_2要Schmidt正交化，α_3要单位化

有.

（2）由A正定知A是可逆的对称矩阵，又A*=|A|A-1，故

即A*是对称矩阵.

若λ是矩阵A的特征值，则A*的特征值是，由A正定有λ＞0，|A|＞0，故A*的特征值大于0.

（3）由|A|＜0，知r（A）=n，即二次型f=xTAx的秩为n，且f不正定（理由？）

经坐标变换x=Cy化f为规范形

取y_0=［0，0，…，0，1］T，有f（y_0）=-1＜0

学习札记

附录　45分钟水平测试

自测（一）

1．n元方程x_1+2x_2+3x_3+…+nxn=1的通解是______.

2．已知A、B均n阶矩阵，满足AB=A+B，则

（1）如果A可逆，则A+B必可逆

（2）如果A可逆，则AB必可逆

（3）矩阵A-E一定可逆

中，正确的共有

3．设α_1，α_2，α_3，α_4是3维向量，则正确命题是

（A）如果α_1，α_2线性相关，α_3，α_4线性相关，则α_1+α_3，α_2+α_4线性相关

（B）如果α_1，α_2，α_3线性无关，则α_1+α_4，α_2+α_4，α_3+α_4线性无关

（C）如果α_4不能用α_1，α_2，α_3线性表出，则α_1，α_2，α_3一定线性相关

（D）如果α_3不能由α_1，α_2线性表出，则α_1，α_2，α_3线性无关　　　　［　　］

4．已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值并求A^10.

5．已知A是n阶正交矩阵，A*是A的伴随矩阵，证明A*是正交矩阵.

自测（二）

1．若向量组α_1=［4，-1，3，-2］T，α_2=［8，-2，a，-4］T，α_3=［3，-1，4，-2］T，α_4=［a，-2，8，-4］T的秩为2，则a=______.

2．已知，E是4阶单位矩阵，则（E+A+A^2+A^3+A^4+A^5）-1=_____.

3．矩阵的特征值是

总有

5．已知可由线性表出，求a，b的值并当β表示法不唯一时写出β的表达式.

6．设A是n阶实对称矩阵，满足（E-A）（E+A）=O，若秩r（E+A）=k＜n，求行列式|A+tE|的值.

自测（三）

1．设矩阵A是秩为2的4阶矩阵，α_1，α_2，α_3是方程组Ax=b的3个解，其中α_1+α_2=［2，1，-8，10］T，2α_2-α_3=［2，0，-24，29］T，α_2+α_3=［1，0，-3，4］T，则方程组Ax=b的通解是______.

2．已知，矩阵B满足A*BA-2A*B=4E，其中A*是A的伴随矩阵，E是3阶单位矩阵，则矩阵B=______.

3．已知n维向量α_1，α_2，…αs，β_1，β_2，…，βs-1.

如果秩r（α_1，α_2，…，αs，β_1，β_2，…，βs-1）=r（β_1，β_2，…，βs-1）则必有

4．设A是3阶矩阵，特征值是0，1，2，若B=A^3-3A^2+2E，则与B相似的矩阵是

5．设相似，求a，b的值，并求可逆矩阵P使P-1AP=B.

6．已知二次型

（1）求正交变换化二次型为标准形；

（2）判断此二次型是否正定.

学习札记

参考答案与提示

（一）

先搞清解的结构，再确定自由变量，然后赋值求解.

2．（D）

由AB=A+B⇒（A-E）B=A⇒|A-E|·|B|=|A|≠0⇒B可逆⇒AB可逆⇒A+B可逆

由AB=A+B⇒AB-A-B+E=E⇒（A-E）（B-E）=E.

3．（C）

如果α_1=［1，0，0］，α_2=［2，0，0］，α_3=［0，0，2］，α_4=［0，0，3］，则α_1+α_3=［1，0，2］，α_2+α_4=［2，0，3］线性无关.（A）错误.

对于（B），考察向量组［1，0，0］，［0，1，0］，［0，0，1］，

至于（C），因为4个3维向量必线性相关，如若α_1，α_2，α_3线性无关，则α_4必可由α_1，α_2，α_3线性表出，现α_4不能被线性表出，故α_1，α_2，α_3必线性相关.

关于（D），请思考α_1=［1，0，0］，α_2=［2，0，0］，α_3=［0，1，0］.

由|λE-A|=（λ-3）（λ+1）2知λ=-1必有两个线性无关的特征向量，故秩r（-E-A）=1，得a=6.

λ=3特征向量α_1=［1，2，1］T，

λ=-1特征向量α_2=［0，1，0］T，α_3=［1，0，-3］T

5．用定义法证A*（A*）T=E，注意AAT=E，|A^2|=1，A*A=|A|E等的运用.

（二）

1．a=6.

如若求极大线性无关组应如何处理？若向量组的秩是3情况又如何？

【注意】　A^4=O.

或者由　直接求逆.

或者利用（E-A）（E+A+A^2+A^3+A^4+A^5）=E-A^6=E　按定义法处理.

3．（A）.

利用∑aii=∑λi可排除（B）与（D），利用|A|=∏λi由|A|≠0和λ=0不是特征值而排除（C），或由|2E-A|=0？来判断a=2是不是A的特征值.

4．（C）.

因为线性无关，那么其延伸组α_1，α_2，α_3必线性无关.

5．a=1，b=3，β=tα_1+（1-t）α_2+α_3，t为任意常数.

6．|A+tE|=（1+t）k（t-1）n-k.

由A^2=E⇒A的特征值是1或-1

再由A是实对称

可确定A的特征值1（k个），-1（n-k个）.

（三）

【注意】　2α_2-α_3=α_2+（α_2-α_3）是方程组Ax=b的解，

（α_1+α_2）-（α_2+α_3）=α_1-α_3是齐次方程组Ax=0的解，

2（2α_2-α_3）-（α_1+α_2）=2（α_2-α_3）+（α_2-α_1）是Ax=0的解.

2．

由|A|=2，AA*=|A|E矩阵方程化简为

3．（A）

4．（B）.

A的特征值0，1，2⇒A^2的特征值0，1，4⇒A^3的特征值0，1，8⇒B的特征值.

由∑aii=∑bii与|A|=0联立可求a，b.

P应按特征值是0，5，5的顺序排列特征向量.

（2）f不是正定二次型.

先写出二次型矩阵A，再求A的特征值与特征向量，不要忘记Schmidt正交化.

因为特征值不是全大于0，即正惯性指数小于n，所以f不是正定二次型.

学习札记

Table of Contents

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前言

目录

第一章　行列式

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

重要定理

主要公式

方阵的行列式

克拉默法则

三、典型例题分析选讲

数字型行列式

含参数行列式

抽象行列式

矩阵秩的概念

关于|A|=0

代数余子式求和

克拉默法则

四、练习题精选

答案与提示

第二章　矩阵

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

重要定理

主要公式

三、典型例题分析选讲

矩阵运算

伴随矩阵

可逆矩阵

初等矩阵

正交矩阵

矩阵方程

四、练习题精选

答案与提示

第三章　n维向量

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

重要定理

三、典型例题分析选讲

线性相关

线性表出

向量组的秩

矩阵的秩

Schmidt正交化

向量空间

四、练习题精选

答案与提示

第四章　线性方程组

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

主要定理

三、典型例题分析选讲

基础解系

解方程组Αx=b

有解判定、解的结构、性质

公共解、同解

四、练习题精选

答案与提示

第五章　特征值与特征向量

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

基本概念

重要定理

三、典型例题分析选讲

特征值、特征向量

相似、相似对角化

求相似对角化时的可逆矩阵P

求参数的问题

用相似求An

反求矩阵A

实对称矩阵

四、练习题精选

答案与提示

第六章　二次型

一、知识结构网络图

二、基本内容与重要结论

重要概念

主要定理

三、典型例题分析选讲

二次型基本概念

二次型的标准形

二次型的正定性

矩阵的等价、相似、合同

四、练习题精选

答案与提示

附录　45分钟水平测试

自测（一）

自测（二）

自测（三）

参考答案与提示